新高考數學的平面向量多選題含解析一、平面向量多選題1．已知向量，，設函數，則下列關于函數的性質的描述正確的是（）A．的最大值為 B．的周期為C．的圖象關于點對稱 D．在上是增函數【答案】ABD【分析】運用數量積公式及三角恒等變換化簡函數，根據性質判斷.【詳解】解：，當，時，的最大值為，選項A描述準確；的周期,選項B描述準確；當時，，所以的圖象關于點對稱，選項C描述不準確；當時，，所以在上是增函數，選項D描述準確.故選：ABD.【點睛】本題考查三角恒等變換，正弦函數的圖象與性質，屬于中檔題.2．已知邊長為4的正方形的對角線的交點為，以為圓心，6為半徑作圓；若點在圓上運動，則（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】以為坐標原點，線段，的垂直平分線分別為、軸建立平面直角坐標系，再利用向量坐標的線性運算以及向量數量積的坐標運算即可求解.【詳解】作出圖形如圖所示，以為坐標原點，線段，的垂直平分線分別為、軸建立平面直角坐標系；觀察可知，，，，，設，則，故，，，故，故，.故選：BC3．數學家歐拉在年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設點??分別是的外心?重心?垂心，且為的中點，則（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】向量的線性運算結果仍為向量可判斷選項A；由可得，利用向量的線性運算，再結合集合判斷選項B；利用故選項C不正確，利用外心的性質可判斷選項D，即可得正確選項.【詳解】因為是的重心，是的外心，是的垂心，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，所以，對于選項A：因為是的重心，為的中點，所以，又因為，所以，即，故選項A正確；對于選項B：因為是的重心，為的中點，所以，，因為，所以，，即，故選項B正確；對于選項C：，故選項C不正確；對于選項D：設點是的外心，所以點到三個頂點距離相等，即，故選項D正確；故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用已知條件得，利用向量的線性運算結合可得出向量間的關系.4．如圖，B是的中點，，P是平行四邊形內（含邊界）的一點，且，則下列結論正確的為（）A．當時，B．當P是線段的中點時，，C．若為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段D．的最大值為【答案】BCD【分析】利用向量共線的充要條件判斷出A錯，C對；利用向量的運算法則求出，求出，判斷出B對，過作，交于，作，交的延長線于，則，然后可判斷出D正確.【詳解】當時，，則在線段上，故，故A錯當是線段的中點時，，故B對為定值1時，，，三點共線，又是平行四邊形內（含邊界）的一點，故的軌跡是線段，故C對如圖，過作，交于，作，交的延長線于，則：；又；，；由圖形看出，當與重合時：；此時取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故D正確故選：BCD【點睛】結論點睛：若，則三點共線.5．如圖，已知長方形中，，，，則下列結論正確的是（）A．當時，B．當時，C．對任意，不成立D．的最小值為4【答案】BCD【分析】根據題意，建立平面直角坐標系，由，根據向量坐標的運算可得，當時，得出，根據向量的線性運算即向量的坐標運算，可求出，即可判斷A選項；當時，，根據平面向量的夾角公式、向量的數量積運算和模的運算，求出，即可判斷B選項；若，根據向量垂直的數量積運算，即可判斷C選項；根據向量坐標加法運算求得，再根據向量模的運算即可判斷D選項.【詳解】解：如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸建立平面直角坐標系，則，，，，由，可得，A項，當時，，則，，設，又，所以，得，故，A錯誤；B項，當時，，則，，故，B正確；C項，，，若，則，對于方程，，故不存在，使得，C正確；D項，，所以，當且僅當時等號成立，D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查平面向量的坐標運算，數量積運算和線性運算，考查運用數量積表示兩個向量的夾角以及會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，熟練運用平面向量的數量積運算是解題的關鍵.6．在平行四邊形中，，，，交于F且，則下列說法正確的有（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據向量的線性運算，以及向量的夾角公式，逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【詳解】對于選項A：，故選項A不正確；對于選項B：易證，所以，所以，故選項B正確；對于選項C：，即，所以，所以，解得：，，因為，所以，故選項C正確；對于選項D：，故選項D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：選項B的關鍵點是能得出，即可得，選項D的關鍵點是由于和的模長和夾角已知，故將和用和表示，即可求出數量積.7．下列說法中錯誤的為（）A．已知，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是B．向量，不能作為平面內所有向量的一組基底C．若，則在方向上的投影為D．非零向量和滿足，則與的夾角為60°【答案】ACD【分析】由向量的數量積?向量的投影?基本定理與向量的夾角等基本知識，逐個判斷即可求解.【詳解】對于A，∵，，與的夾角為銳角，∴，且(時與的夾角為0)，所以且，故A錯誤；對于B，向量，即共線，故不能作為平面內所有向量的一組基底，B正確；對于C，若，則在方向上的正射影的數量為，故C錯誤；對于D，因為，兩邊平方得，則，，故，而向量的夾角范圍為，得與的夾角為30°，故D項錯誤.故錯誤的選項為ACD故選：ACD【點睛】本題考查平面向量基本定理及向量的數量積，向量的夾角等知識，對知識廣度及準確度要求比較高，中檔題.8．已知數列{an}，，，在平面四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點E，且，當n≥2時，恒有，則（）A．數列{an}為等差數列 B．C．數列{an}為等比數列 D．【答案】BD【分析】證明，所以選項B正確；設（），易得，顯然不是同一常數，所以選項A錯誤；數列{}是以4為首項，4為公比的等比數列，所以，所以選項D正確，易得，選項C不正確.【詳解】因為，所以，所以,所以，所以選項B正確；設（），則當n≥2時，由，所以，所以，，所以，易得，顯然不是同一常數，所以選項A錯誤；因為-=4，，所以數列{}是以4為首項，4為公比的等比數列，所以，所以選項D正確，易得，顯然選項C不正確.故選：BD【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，考查等比數列等差數列的判定，考查等比數列通項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9．下列各式結果為零向量的有（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】對于選項，,所以該選項不正確；對于選項，，所以該選項不正確；對于選項，,所以該選項正確；對于選項，，所以該選項正確.【詳解】對于選項，,所以該選項不正確；對于選項，，所以該選項不正確；對于選項，,所以該選項正確；對于選項，，所以該選項正確.故選：CD【點睛】本題主要考查平面向量的加法和減法法則，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10．設、是兩個非零向量，則下列描述正確的有（）A．若，則存在實數使得B．若，則C．若，則在方向上的投影向量為D．若存在實數使得，則【答案】AB【分析】根據向量模的三角不等式找出和的等價條件，可判斷A、C、D選項的正誤，利用平面向量加法的平行四邊形法則可判斷B選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】當時