./5.研究將鹿群放入草場后草和鹿兩種群的相互作用。草的生長遵從Logistic規律,年固有增長率0.8,最大密度為3000〔密度單位,在草最茂盛時每只鹿每年可吃掉1.6〔密度單位的草。若沒有草,鹿群的年死亡率高達0.9,而草的存在可使鹿的死亡得以補償,在草最茂盛時補償率為1.5。作一些簡化假設,用差分方程模型描述草和鹿兩種群數量的變化過程,就以下情況進行討論：〔1比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的草場兩種情況。〔2適當改變參數,觀察變化趨勢。解：設1．草獨立生存,獨立生存規律遵從Logistic規律；2．草場上除了鹿以外,沒有其他以草為食的生物；3．鹿無法獨立生存。沒有草的情況下,鹿的年死亡率一定；4．假定草對鹿的補償率是草場密度的線性函數；5．每只鹿每年的食草能力是草場密度的線性函數。記草的固有增長率為r,草的最大密度為N,鹿獨立生存時的年死亡率為d,草最茂盛時鹿的食草能力為a,草對鹿的年補償作用為b；第k＋1年草的密度為,鹿的數量為,第k年草的密度為,鹿的數量為。草獨立生存時,按照Logistic規律增長,則此時草的增長差分模型為,但是由于鹿對草的捕食作用,草的數量會減少,則滿足如下方程：〔〔1鹿離開草無法獨立生存,因此鹿獨立生存時的模型為,但是草的存在會使得鹿的死亡率得到補償,則滿足如下差分方程：〔〔2另外,記初始狀態鹿的數量為,草場密度初值為。各個參數值為：,,,,利用MATLAB編程序分析計算該差分方程模型,源程序如下：%定義函數diwuti,實現diwuti-Logistic綜合模型的計算,計算結果返回種群量functionB=diwuti<x0,y0,r,N,b,a,d,n>%描述diwuti-Logistic綜合模型的函數x<1>=x0;%草場密度賦初值y<1>=y0;%鹿群數量賦初值fork=1:n;x<k+1>=x<k>+r*<1-x<k>/N>*x<k>-a*x<k>*y<k>/N;y<k+1>=y<k>+<-d+b*x<k>/N>*y<k>;endB=[x;y];%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clearallC1=diwuti<1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50>;C2=diwuti<3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50>;k=0:50;plot<k,C1<1,:>,'b',k,C1<2,:>,'b',k,C2<1,:>,'r',k,C2<2,:>,'r',>,...axis<[05003000]>;xlabel<'時間/年'>ylabel<'種群量/草場：單位密度,鹿：頭'>title<'圖1.草和鹿兩種群數量變化對比曲線'>gtext<'x0=1000'>gtext<'x0=3000'>gtext<'草場密度'>gtext<'鹿群數量'>》比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的草場兩種情況〔繪制曲如圖1所示：由圖中可以看到,藍色曲線代表草場密度的初始值為1000時,兩種群變化情況；而紅色曲線則代表草場密度的初始值為3000時,兩種群的變化情況。觀察兩種情況下曲線的演變情況,可以發現大約40-50年左右時間后,兩種群的數量將達到穩定。使用MatLab計算可以得到,當,即兩種群數量的平衡點為〔1800,600。為進一步驗證此結論,下面通過改變相關參數,研究兩種群變化情況,找到影響平衡點的因素：〔1改變草場密度初始值；從圖2中可以看到,改變草場的初始密度不會對兩種群數量的平衡點造成影響。〔2改變鹿的數量初值由圖2可以看到,鹿初始的數量的改變在理論上也不會改變最終種群數量的平衡值。但是,我們可以看到,y0=2000的那條曲線〔紫色曲線,在5－15區間內降低到了非常小的值,這顯然是不符合鹿的現實繁殖規律的,因為鹿的種群可持續繁殖的最小數量是存在域值的。當種群數量低于這個值時,在實際情況下,鹿的種群就要滅絕。同樣道理,草場的密度也存在一個最小量的域值,低于這個閾值,草也將滅絕。綜合上面分析,可以在此得出一個結論：最大密度一定的草場所能承載的鹿的數量存在上限。〔3改變草場的最大密度N,畫圖比較結果；如圖4所示,如果草場密度的最大值N發生變化,則最終兩種群數量的平衡點也會發生相應的變化。結論：N值越大,平衡點兩種群的數量就越大；N越小,平衡點兩種群的數量就越小。〔4改變鹿群獨立生存時的死亡率實驗中,改變了鹿單獨生存的死亡率得到如圖5.1和5.2兩幅圖,可以得出結論：鹿單獨生存的死亡率越大,則兩種群數量達到平衡點的時間越短；相反,鹿單獨生存的死亡率越小,則兩種群數量達到平衡點的時間越長〔甚至有可能會