核心考點03多邊形與平行四邊形目錄考點一：多邊形考點二：多邊形的對角線考點三：多邊形內角與外角考點四：平面鑲嵌（密鋪）考點五：平行四邊形的性質考點六：平行四邊形的判定考點七：平行四邊形的判定與性質考點考點考向1.多邊形2.平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形.考點考點精講一．多邊形（共2小題）1．（2019春?浦東新區校級月考）以線段a＝7，b＝8，c＝9，d＝10為邊作四邊形，可以作（）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數個【分析】根據四邊形具有不穩定性，可知四條線段組成的四邊形可有無數種變化．【解答】解：四條線段組成的四邊形可有無數種變化．故選：D．【點評】本題主要考查四邊形的不穩定性，理清題意，熟記四邊形的不穩定性是解答本題的關鍵．2．（2017春?浦東新區校級期中）如圖，已知五邊形ABCDE中，AB∥ED，∠A＝∠B＝90°，則可以將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有無數條．【分析】過點C作與AB平行的直線將該五邊形分割為一個矩形和一個梯形，經過梯形中位線的中點及矩形對角線的交點的直線可將該五邊形的面積均分；設該直線與邊DE、AB的交點分別為P、Q，線段PQ的中點為O，則經過點O且與邊DE、AB相交的任意一條直線均可將該五邊形的面積均分．【解答】解：將該五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分的直線有無數條．【點評】應把多邊形問題轉換為特殊的四邊形來進行解決．二．多邊形的對角線（共4小題）3．（2022春?楊浦區校級期中）從七邊形的一個頂點出發的對角線有4條．【分析】根據多邊形的對角線的定義：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線，可知n邊形從一個頂點出發可引出（n﹣3）條對角線，據此求解即可．【解答】解：∵n邊形（n＞3）從一個頂點出發可以引（n﹣3）條對角線，∴從七邊形的一個頂點出發可以畫出7﹣3＝4條對角線．故答案是：4．【點評】本題主要考查了多邊形的對角線的定義，n邊形從一個頂點出發可引出（n﹣3）條對角線是需要熟記的內容．4．（2022春?上海期中）十邊形共有35條對角線．【分析】n邊形對角線的總條數為：（n≥3，且n為整數），代入運算即可．【解答】解：十邊形共有：＝35條對角線．故答案為：35．【點評】本題考查了多邊形的對角線的知識，注意掌握公式：n邊形對角線的總條數為：（n≥3，且n為整數）．5．（2022春?徐匯區期末）定義：如果一個凸四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，那么稱這個凸四邊形為“等腰四邊形”，把這條對角線稱為“界線”，已知在“等腰四邊形”ABCD中，AB＝BC＝AD，∠BAD＝90°，且AC為界線，則∠BCD的度數為135°或90°或45°．【分析】由AC是四邊形ABCD的等腰線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖1，圖2，圖3三種情況運用等邊三角形的性質和判定，正方形的性質和判定和30°的直角三角形性質就可以求出∠BCD的度數．【解答】解：∵AC是四邊形ABCD的界線，∴△ACD是等腰三角形．∵AB＝AD＝BC，如圖1，當AD＝AC時，∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC∴△ABC是正三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°．∵∠BAD＝90°，∴∠CAD＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°∴∠BCD＝60°+75°＝135°．如圖2，當AD＝CD時，∴AB＝AD＝BC＝CD．∵∠BAD＝90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°如圖3，當AC＝CD時，過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥CE于F，∵AC＝CD．CE⊥AD，∴AE＝AD，∠ACE＝∠DCE．∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四邊形ABFE是矩形．∴BF＝AE．∵AB＝AD＝BC，∴BF＝BC，∴∠BCF＝30°．∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC．∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCF＝15°，∴∠BCD＝15°×3＝45°．綜上，∠BCD的度數為135°或90°或45°．故答案為：135°或90°或45°．【點評】本題考查了“等腰四邊形”的定義和性質的運用，“等腰四邊形”的判定，等邊三角形的性質和判定的運用，正方形的性質和判定的運用，30°的直角三角形的性質的運用．解答如圖3這種情況容易忽略，解答時合理運用分類討論思想是關鍵．6．（2022春?青浦區校級期中）正十邊形的對角線條數為35條．【分析】需要分三步：第一步，先選一個；第二步再再從和它不相鄰的7個中再選一個；第三步，除掉重復的，根據分步乘法原理可求解．【解答】解：根據題意，十邊形有10個頂點，先選一個，再從和它不相鄰的7個中再選一個，即可構成一條對角線，考慮重復問題，則十邊形的對角線的條數為＝35條．故答案為：35條．【點評】本題考查多邊形的對角線，注意其中對角線的重復問題是解題的關鍵．三．多邊形內角與外角（共4小題）7．（2022春?楊浦區校級期中）一個多邊形的內角和不可能是（）A．1800° B．540° C．720° D．810°【分析】n邊形的內角和是（n﹣2）180°，即多邊形的內角和一定是180的正整數倍，依此即可解答．【解答】解：810°不能被180°整除，一個多邊形的內角和不可能是810°．故選：D．【點評】本題主要考查了多邊形的內角和定理，對于定理的理解是解決本題的關鍵．8．（2022秋?黃浦區校級期末）如果過多邊形的一個頂點共有8條對角線，那么這個多邊形的內角和是1620度．【分析】從多邊形一個頂點可作8條對角線，則這個多邊形的邊數是11，n邊形的內角和可以表示成（n﹣2）?180°，代入公式就可以求出內角和．【解答】解：∵過多邊形的一個頂點共有8條對角線，∴n﹣3＝8，∴n＝11，∴該多邊形邊數為11，∴（11﹣2）?180°＝1620°，∴這個多邊形的內角和為1620°．故答案為：1620．【點評】本題主要考查了多邊形的內角和公式，是需要熟記的內容，比較簡單．9．（2022春?楊浦區校級期中）一個多邊形的每一個外角都等于36°，那么這個多邊形的內角和是1440°．【分析】由多邊形外角的性質可求解多邊形的邊數，再利用多邊形的內角和定理可求解．【解答】解：360°÷36°＝10，（10﹣2）×180°＝1440°．即這個多邊形的內角和是1440°，故答案為1440．【點評】本題主要考查多邊形的內角與外角，求解多邊形的邊數是解題的關鍵．10．（2023?碑林區校級三模）一個多邊形的內角和為1440°，則這個多邊形是10邊形．【分析】設這個多邊形的邊數為n，根據內角和公式得出（n﹣2）×180°＝1440，求出方程的解即可．【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，則（n﹣2）×180°＝1440°，解得：n＝10，即這個多邊形是10邊形，故答案為：10．【點評】本題考查了多邊形的內角與外角，能熟記多邊形的內角和公式是解此題的關鍵，注意：邊數為n（n≥3）的多邊形的內角和＝（n﹣2）×180°．四．平面鑲嵌（密鋪）（共2小題）11．（2022秋?寶山區校級期末）小明家客廳的地面是長6米，寬4.8米的長方形，準備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面．小明從下列尺寸的地磚中要選擇尺寸較大的，應該選的尺寸是（單位：厘米）（）A．30×30 B．40×40 C．60×60 D．80×80【分析】先換算6米＝600cm，4.8米＝480cm，再找600和480的公約數即可得到結論．【解答】解：6米＝600cm，4.8米＝480cm，∴選項中只有60是600和480的公約數，故選：C．【點評】本題考查了圖形的密鋪，找到600和480的公約數是解題的關鍵．12．（2019秋?閔行區校級月考）小明家裝修新房，客廳的地面長是6米，寬4.8米的長方形，準備用整塊的正方形地磚鋪滿客廳的地面，市場上地磚有30×30，40×40，60×60，80×80（單位：厘米×厘米）四種尺寸，小明家想選尺寸較大的地磚，該選哪一種？，并計算需要多少塊地磚可以鋪滿客廳．【分析】小明家裝修新房，準備用整塊正方形的地磚鋪滿客廳的地面，那么正方形地磚的邊長應是客廳的地面長和寬的公因數，而且在這些公因數中要選最大的，在這四種尺寸中邊長30，40，60的都是客廳的地面長和寬的公因數，其中最大的是60，所以選60×60的正方形地磚，然后求出塊數即可．【解答】解：∵用整塊正方形的地磚鋪滿客廳的地面，∴正方形地磚的邊長應是客廳的地面長和寬的公因數，而且是最大的，∴符合要求的是選60×60的正方形地磚；∵6m＝600cm，4.8m＝480cm，∴（600÷60）×（480÷60）＝10×8＝80（塊），需要80塊地磚可以鋪滿客廳【點評】本題主要考查了平面鑲嵌，關鍵是找到符合要求的公因數．五．平行四邊形的性質（共8小題）13．（2022春?浦東新區校級期中）一條邊長為5的平行四邊形，它的對角線長可能是（）A．4和6 B．4和3 C．2和6 D．4和8【分析】根據平行四邊形的性質中，兩條對角線的一半和一邊構成三角形，利用三角形三邊關系判斷可知．【解答】解：A、對角線一半分別是2和3，2+3＝5，故不能構成三角形，故本選項不符合題意；B、對角線一半分別是2和1.5，2+1.5＝3.5＜5，故不能構成三角形，故本選項不符合題意；C、對角線一半分別是1和3，1+3＜5，故不能構成三角形，故本選項不符合題意；D、對角線一半分別是2和4，符合三角形的三邊關系，能構成三角形，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質及三角形的三邊關系，注意平行四邊形中兩條對角線的一半和一邊構成三角形，另外要熟練三角形的三邊關系．14．（2022春?思明區校級期中）平行四邊形ABCD的周長為16cm，∠ABC的角平分線交邊AD所在直線于點E，且AE：ED＝3：2，則邊AB的長度是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．3cm或6cm【分析】分兩種情況，由平行四邊形的性質分別求得答案即可．【解答】解：如圖所示：①當點E在相等AD上時，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵AE：ED＝3：2，設AE＝AB＝3k，DE＝2k，∵平行四邊形ABCD的周長為16cm，∴AB+AD＝8，∴3k+5k＝8，解得k＝1，∴AB＝3cm．②當點E在AD的延長線上時，同理可得AB＝AE＝3k，DE＝2k，∵AB+AD＝8，∴3k+k＝8，∴k＝2，∴AB＝6cm，綜上所述，AB的長為3cm或6cm．故選：D．【點評】此題考查了平行四邊形的性質以及等腰三角形的判定與性質．注意分類討論．15．（2022秋?虹口區校級月考）已知點A（3，3），B（﹣1，1），C（0，2），以A、B、C、D為頂點作平行四邊形，則第四個頂點D的坐標為（4，4）或（2，2）或（﹣4，0）．【分析】分別以AC、AB、BC為對角線通過線段平移的性質可得D點坐標．【解答】解：當以AC為對角線，此時D（4，4）；當以AB為對角線時，此時D（2，2）；當以BC為對角線時，此時點D（﹣4，0）．則第四個頂點D的坐標是（4，4）或（2，2）或（﹣4，0）．故答案為：（4，4）或（2，2）或（﹣4，0）．【點評】本題考查了平行四邊形的性質、平移的性質、坐標與圖形的性質等知識；熟練掌握平行四邊形的性質與平移的性質是解題的關鍵．16．（2022春?楊浦區校級期中）在?ABCD中，AC與BD相交于點O，則下列結論不一定成立的是（）①S△ADO＝S△ABO②△ADB≌△CBD③∠BAD＝2∠BAC④AC＝BDA．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③④【分析】由平行四邊形的性質可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，AD＝BC，AD∥BC，∴①S△ADO＝S△ABO，正確；②△ADB≌△CBD正確；③∠BAD＝2∠BAC，錯誤；④AC＝BD，錯誤．故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的性質是本題的關鍵．17．（2022秋?奉賢區月考）平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，如果AC＝6，BD＝8，AD＝6，那么△OBC的周長是13．【分析】利用平行四邊形的對角線互相平分，求出OD、OA即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC＝AC＝3，OD＝OB＝BD＝4，AD＝BC＝6，∴△△OBC的周長＝OB+OC+BC＝3+4+6＝13，故答案為：13．【點評】本題考查平行四邊形的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．18．（2022秋?黃浦區校級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，則平行四邊形ABCD的周長為20．【分析】由平行四邊形的性質得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再證∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性質得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD，∴∠BAF＝∠DAE＝90°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，AD＝2DF∵BE＝2，DF＝3，∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，∴?ABCD的周長＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，故答案為：20．【點評】此題考查了平行四邊形的性質、含30°角的直角三角形的性質等知識，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．19．（2022秋?虹口區校級月考）如圖，平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，AM＝MD，CE⊥AB，∠CEM＝36°，則∠DME＝162°．【分析】添加輔助線，構造△MDF，利用角邊角證明△AME與△FMD全等，得到M為EF的中點，根據平行四邊形的對邊平行，得到∠BEC等于∠ECF都為直角，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出ME和MC相等，根據等比對等角，得到∠MEC等于∠MCE都等于40°，從而得出∠EMC和∠MCD的度數，再根據AD等于AB的二倍，AD等于MD的二倍，所以MD等于AB，根據平行四邊形的性質得AB＝CD，即MD＝CD，根據等邊對等角求出∠DMC的度數，而要求的角等于上邊求出的∠EMC和∠DMC的和，從而求出答案．【解答】解：延長EM與CD的延長線交于點F，連接CM，∵M是AD的中點，∴AM＝DM，∵ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∵∠BEC＝90°，∴∠ECF＝90°，∠A＝MDF，∵∠AME＝∠DMF，∴△AEM≌△DFM（ASA），∴EM＝FM，∴CM＝EM＝EF，∴∠MEC＝∠MCE＝36°，∴∠EMC＝108°，∠MCD＝54°，∵M為AD中點，AD＝2DC，∴MD＝CD＝AD，∴∠DMC＝∠DCM＝54°，∴∠DME＝∠EMC+∠DMC＝108°+54°＝162°．故答案為：162°．【點評】此題考查了學生平行四邊形的性質以及直角三角形的性質，同時還要注意等腰三角形的性質在做題中的靈活運用，這道題往往會作為中考時填空題或選擇題方面的壓軸題．20．（2022春?楊浦區校級期中）如果把對角線與一邊垂直的平行四邊形稱為“聯想平行四邊形”，現有一個“聯想平行四邊形”的一組鄰邊長為4和2，那么它的最小內角為30度．【分析】由勾股定理求出AC＝2，得出∠B＝30°即可．【解答】解：如圖所示：在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝2，BC＝4時，∠B最小，由勾股定理得：AC＝＝2，∴AC＝AB，∴∠B＝30°，故答案為：30．【點評】本題考查了平行四邊形的性質、“聯想平行四邊形”、勾股定理、直角三角形的性質；熟練掌握“聯想平行四邊形”的性質，求出∠B＝30°是解題的關鍵．六．平行四邊形的判定（共7小題）21．（2022春?青浦區校級期中）如圖，四邊形ABCD中，AB＝DC，將對角線AC向兩端分別延長至點E，F，使AE＝CF．連接BE，DF，若BE＝DF．證明：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】先根據SSS證出△BEA≌△DFC，從而得到∠EAB＝∠FCD，根據等角的補角相等可得∠BAC＝∠DCA，從而得到AB∥DC，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求證四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】證明：在△BEA和△DFC中，∴△BEA≌△DFC（SSS），∴∠EAB＝∠FCD，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥DC，∵AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點評】本題主要考查平行四邊形的判定，解題的關鍵在于先通過全等三角形證出AB∥CD．22．（2022春?浦東新區校級期末）在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AB＝CD，添加下列條件后能判定這個四邊形是平行四邊形的是（）A．∠ADB＝∠CBD B．AO＝CO C．∠ABC＝∠ADC D．AD＝BC【分析】由平行四邊形的判定定理即可得出結論．【解答】解：添加AD＝BC后能判定這個四邊形是平行四邊形，理由如下：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．23．（2022春?徐匯區校級期中）下列不能判斷一個四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對邊平行且相等四邊形 B．兩組對角分別相等的四邊形 C．一組對邊平行，且一組對角相等的四邊形 D．一組對邊相等，且另一組對邊平行的四邊形【分析】由平行四邊形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、∵一組對邊平行且相等四邊形是平行四邊形，∴選項A不符合題意；B、∵兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，∴選項B不符合題意；C、∵一組對邊平行，且一組對角相等的四邊形是平行四邊形，∴選項C不符合題意；D、∵一組對邊相等，且另一組對邊平行不一定是平行四邊形，∴選項D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．24．（2022春?上海期中）下列說法：（1）當多邊形邊數增加1條時，它的內角和增加180°．（2）在四邊形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，那么這個四邊形是平行四邊形．（3）三角形的外角和小于其它多邊形的外角和．（4）n邊形共有（n﹣3）條對角線．（5）四邊形的四個內角至少有一個角不小于直角．其中正確說法的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分別根據多邊形，三角形的外角，平行四邊形的判定以及多邊形的內角和公式逐一判斷即可．【解答】解：（1）當多邊形邊數增加1條時，它的內角和增加180°，說法正確．（2）在四邊形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，那么這個四邊形是平行四邊形，說法錯誤．（3）三角形的外角和等于其它多邊形的外角和，說法錯誤．（4）n邊形共有（n﹣3）條對角線，說法錯誤．（5）四邊形的四個內角至少有一個角不小于直角，說法正確；故選：B．【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定，多邊形的內角與外角以及三角形的外角性質，熟記相關知識是解答本題的關鍵．25．（2022春?靜安區校級期中）在四邊形ABCD中，已知AB＝CD，再添加一個條件還不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A+∠B＝180° D．∠A+∠D＝180°【分析】根據平行四邊形的判定方法分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、∵AB＝CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，此選項不符合題意；B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，此選項不符合題意；C、∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，∵AB＝CD，∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，此選項符合題意；D、∵∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，此選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的判定定理以及平行線的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．26．（2022春?金山區月考）已知一個凸四邊形的一條對角線被另一條對角線平分，請你從下列四個條件中再選取一個作為已知條件，使得這個四邊形一定是平行四邊形．你的選擇是（）A．一組對邊平行 B．一組對角相等 C．一組鄰邊相等 D．一組對邊相等．【分析】根據題意可得OB＝OD，選擇一組對邊平行：AD∥BC，證明△ADO≌△CBO（AAS），可得OA＝OC，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得這個四邊形一定是平行四邊形．其它三個條件都不能得這個四邊形一定是平行四邊形，進而可以解決問題．【解答】解：如圖，根據題意可知：OB＝OD，選擇一組對邊平行：AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，在△ADO和△CBO中，，∴△ADO≌△CBO（AAS），∴OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．故選：A．【點評】本題考查了平行四邊形的判定，解決本題的關鍵是掌握平行四邊形的判定．27．（2022春?上海期中）如圖，在直角坐標系xOy中，點A（2，0）和點B（﹣2，0），直線BC與y軸正半軸交于點C（0，b），過點A作AD⊥BC，垂足為D，聯結OD．（1）求OD的長；（2）當∠ODA＝30°時，求點C的坐標；（3）在（2）的條件下，已知點E在直角坐標平面內，如果以A、C、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點E的坐標．【分析】（1）根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即可解決問題．（2）首先證明∠CBO＝60°，在Rt△OBC中，根據OC＝OB?tan60°計算即可．（3）點E有三種可能，利用平行四邊形的性質，以及中點坐標公式即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵A（2，0），B（﹣2，0），∴OA＝OB＝2，∴OD＝AB＝2．（2）∵∠ODA＝30°，OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD＝30°，∴∠OBD＝60°，在Rt△OBC中，OC＝OB?tan60°＝2，∴C（0，2）．（3）∵四邊形ADCE1是平行四邊形，∴CM＝AM，DM＝ME1，∵C（0，2），A（2，0），∴M（1，），∴E1（3，），同法可得E2（﹣3，3），E3（1，﹣）．【點評】本題考查平行四邊形的判定、坐標與圖形的性質、銳角三角函數、直角三角形斜邊中線定理、中點坐標公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，考慮問題要全面，不能漏解，屬于中考常考題型．七．平行四邊形的判定與性質（共7小題）28．（2022春?徐匯區期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于點E．若AD＝5cm，BC＝12cm，則CD的長是7cm．【分析】由在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，可判定四邊形ABED是平行四邊形，即可求得CE的長，又由∠B＝70°，∠C＝40°，易判定△CDE是等腰三角形，繼而求得答案．【解答】解：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE＝AD＝5cm，∴CE＝BC﹣BE＝12﹣5＝7（cm），∵∠DEC＝∠B＝70°，∠C＝40°，∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝70°，∴CD＝CE＝7cm．故答案為：7．【點評】此題考查了平行四邊形的性質與判定以及等腰三角形的判定與性質．注意證得四邊形ABED是平行四邊形，△CDE是等腰三角形是關鍵．29．（2022春?上海期中）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．（1）求證：BE＝CD；（2）若BF恰好平分∠ABE，連接AC、DE，求證：四邊形ACED是平行四邊形．【分析】（1）根據平行四邊形的性質得出AD∥BC，AB＝CD，根據平行線的性質得出∠DAE＝∠AEB，求出∠BAE＝∠AEB，根據等腰三角形的判定得出即可；（2）根據等腰三角形的性質得出AF＝EF，求出△ADF≌△ECF，根據全等三角形的性質得出DF＝CF，再根據平行四邊形的判定得出即可．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB，∴BE＝CD；（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，∴AF＝EF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴DF＝CF，又∵AF＝EF，∴四邊形ACED是平行四邊形．【點評】本題考查了平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的判定和平行線的性質等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．30．（2022春?青浦區校級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點P在AD邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點C出發，在CB間往返運動，兩個點同時出發，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止）．在運動以后，當t＝4.8s或8s或9.6s時以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形．【分析】根據平行四邊形的判定可得當DP＝BQ時，以點P、D、Q、B為頂點組成平行四邊形，然后分情況討論，再列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：設經過t秒，以點P、D、Q、B為頂點組成平行四邊形，∵以點P、D、Q、B為頂點組成平行四邊形，∴DP＝BQ，分為以下情況：①點Q的運動路線是C﹣B，方程為12﹣4t＝12﹣t，此時方程t＝0，此時不符合題意；②點Q的運動路線是C﹣B﹣C，方程為4t﹣12＝12﹣t，解得：t＝4.8；③點Q的運動路線是C﹣B﹣C﹣B，方程為12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，解得：t＝8；④點Q的運動路線是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程為4t﹣36＝12﹣t，解得：t＝9.6；綜上所述，t＝4.8s或8s或9.6s時，以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，故答案為：4.8s或8s或9.6s．【點評】此題考查了平行四邊形的判定．求出符合條件的所有情況是解此題的關鍵，注意分類討論思想的應用．31．（2022春?奉賢區校級期中）如圖，在?ABCD中，點E是邊BC的中點，連接DE并延長交AB的延長線于點F，求證：四邊形BFCD是平行四邊形．【分析】根據全等三角形的判定和性質得出BF＝CD，進而利用平行四邊形的判定解答即可．【解答】證明：∵?ABCD中，點E是邊BC的中點，∴BE＝EC，AF∥DC，∴∠FBE＝∠DCE，在△BEF與△CED中，∴△BEF≌△CED（ASA），∴BF＝DC，∴四邊形BFCD是平行四邊形．【點評】此題考查平行四邊形的判定和性質，關鍵是根據全等三角形的判定和性質得出BF＝CD．32．（2022春?徐匯區校級期中）如圖，已知E、F分別為?ABCD的對邊AD、BC上的點，且DE＝BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于點O，求證：EF與MN互相平分．【分析】連接EN、FM，求出EM＝FN，EM∥FN，得出平行四邊形EMFN，根據平行四邊形的性質得出即可．【解答】證明：連接EN、FM，∵EM⊥AC，FN⊥AC，∴∠AME＝∠EMN＝∠FNC＝∠FNM＝90°，∴EM∥FN，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAM＝∠FCN，∵DE＝BF，∴AE＝CF，在△AEM和△CFN中∴△AEM≌△CFN（AAS），∴EM＝FN，∵EM∥FN，∴四邊形EMFN是平行四邊形，∴EF與MN互相平分．【點評】本題考查了平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的應用，解此題的關鍵是推出四邊形EMFN是平行四邊形，題目比較好，難度適中．33．（2022春?浦東新區校級期中）在?ABCD中，E，F分別是AB，DC上的點，且AE＝CF，連接DE，BF，AF．（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的長．【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到∠A＝∠C，AD＝CB，根據全等三角形的性質和平行四邊形的判定定理即可得到結論；（2）根據平行線的性質和角平分線的定義得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根據勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到結論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，在△DAE和△BCF中，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴DE＝BF，∵AB＝CD，AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即DF＝BE，∵DE＝BF，BE＝DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAF，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠AFD，∴AD＝DF，∵四邊形DEBF是平行四邊形，∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，∴AD＝5，∵AE＝3，DE＝4，∴AE2+DE2＝AD2，∴∠AED＝90°，∵DE∥BF，∴∠ABF＝∠AED＝90°，∴AF＝＝＝4．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質和判定，勾股定理，矩形的性質和判定的應用，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．34．（2022春?上海期中）已知：如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為E、F，AE、CF分別與BD相交于點G、H，聯結AH、CG．求證：四邊形AGCH是平行四邊形．【分析】法1：由平行四邊形對邊平行，且CF與AD垂直，得到CF與BC垂直，根據AE與BC垂直，得到AE與CF平行，得到一對內錯角相等，利用等角的補角相等得到∠AGB＝∠DHC，根據AB與CD平行，得到一對內錯角相等，再由AB＝CD，利用AAS得到三角形ABG與三角形CDH全等，利用全等三角形對應邊相等得到AG＝CH，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可得證；法2：連接AC，與BD交于點O，利用平行四邊形的對角線互相平分得到OA＝OC，OB＝OD，再由AB與CD平行，得到一對內錯角相等，根據CF與AD垂直，AE與BC垂直，得一對直角相等，利用ASA得到三角形ABG與三角形CDH全等，利用全等三角形對應邊相等得到BG＝DH，根據等式的性質得到OG＝OH，利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形即可得證．【解答】證明：法1：在□ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，∵CF⊥AD，∴CF⊥BC，∵AE⊥BC，∴AE∥CF，即AG∥CH，∴∠AGH＝∠CHG，∵∠AGB＝180°﹣∠AGH，∠DHC＝180°﹣∠CHG，∴∠AGB＝∠DHC，∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠CDH，∴△ABG≌CDH，∴AG＝CH，∴四邊形AGCH是平行四邊形；法2：連接AC，與BD相交于點O，在□ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，∠ABE＝∠CDF，AB∥CD，∴∠ABG＝∠CDH，∵CF⊥AD，AE⊥BC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴∠BAG＝∠DCH，∴△ABG≌CDH，∴BG＝DH，∴BO﹣BG＝DO﹣DH，∴OG＝OH，∴四邊形AGCH是平行四邊形．【點評】此題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2022春·上海嘉定·八年級校考期中）下列命題中不正確的是（

）A．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D．對角線相等的四邊形是平行四邊形【答案】D【分析】根據平行四邊形的判定方法逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，故選項正確，不符合題意；B、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故選項正確，不符合題意；C、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故選項正確，不符合題意；D、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故選項錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定方法，熟記平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．2．（2022春·上海奉賢·八年級校聯考期中）在下列給出的條件中，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB＝BC，CD＝DA B．ABCD，AD＝BCC．ABCD，∠A＝∠C D．∠A＝∠B，∠C＝∠D【答案】C【分析】根據平行四邊形的判定進行判斷即可得出結論．【詳解】解：如圖所示，根據平行四邊形的判定A、根據AB＝BC，CD＝DA不能推出四邊形ABCD是平行四邊形，故A項錯誤B、根據ABCD，AD＝BC不能推出四邊形ABCD是平行四邊形，故B項錯誤D、∵∠A=∠B，∠C=∠D且∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，但不能推出其他條件，也不能推出四邊形ABCD是平行四邊形，故D項錯誤C、∵AB//CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AB//CD，∴可以推出四邊形ABCD是平行四邊形，故C項正確故選：C．【點睛】平行四邊形的定義和判定定理．3．（2022春·上海寶山·八年級校考階段練習）已知平行四邊形ABCD的兩條對角線AC和BD相交于點O，長度分別等于8cm和12cm，如果邊BC長等于6cm，那么△BOC的周長等于（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【分析】根據平行四邊形的性質可得，的長度，即可得．【詳解】解：如圖所示，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴的周長為：（cm）,故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，解題的關鍵是掌握平行四邊形對角線互相平分．4．（2022春·上海普陀·八年級校考期中）一個凸多邊形的內角中最多有幾個銳角(

)A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據任意凸多邊形的外角和是可知它的外角中，最多有個鈍角，則內角中，最多有個銳角．【詳解】解：一個凸多邊形的內角中，最多有個銳角．理由是：因為凸多邊形的外角和是度，在外角中最多有個鈍角，如果超過個，則和一定大于度，多邊形的內角與外角互為鄰補角，所以外角中最多有個鈍角，內角中就最多有個銳角．故選：C．【點睛】本題考查多邊形的內角和外角，注意每個內角與其相鄰的外角是鄰補角，由于多邊形的外角和是不變的，所以要分析內角的情況可以借助外角來分析．5．（2022春·上海·八年級校考期中）下列說法：（1）多邊形邊數增加條時，它的內角和增加；（2）在四邊形中，對角線AC，BD交于點O，，，那么這個四邊形是平行四邊形；（3）三角形的外角和小于其它多邊形的外角和；（4）邊形共有條對角線；（5）四邊形的四個內角至少有一個角不小于直角．其中正確說法的個數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別根據多邊形，三角形的外角，平行四邊形的判定以及多邊形的內角和公式逐一判斷即可．【詳解】解：（1）當多邊形邊數增加1條時，它的內角和增加180°，說法正確．（2）在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，且OA=OC，OB=OD，那么這個四邊形是平行四邊形，原說法正確．（3）三角形的外角和等于其它多邊形的外角和，原說法錯誤．（4）n邊形共有條對角線，原說法錯誤．（5）四邊形的四個內角至少有一個角不小于直角，說法正確；故選：C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，多邊形的內角與外角以及三角形的外角性質，熟記相關知識是解答本題的關鍵．6．（2022春·上海·八年級校考期中）已知四邊形ABCD，有以下四個條件：①；②；③；④．從這四個條件中任選兩個，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法種數共有（）A．6種 B．5種 C．4種 D．3種【答案】C【分析】根據平行四邊形的判定定理判斷即可．【詳解】根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可構成①③；根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可構成②④；根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可構成①②或③④，一共有4種組合，故選C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．7．（2022春·上海浦東新·八年級校考期中）如圖，在平行四邊形中，平分交于點，平分交于點，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據平行四邊形的性質可知，又由平分可得，則可得，同理可證，繼而可求得．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，∴AD∥BC，CD=AB=3，，平分，，則，，同理可證：，則．故選A．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的判定，在平行四邊形中，當出現角平分線時，一般可構造等腰三角形，進而利用等腰三角形的判定即可解題．8．（2022春·上海·八年級校考階段練習）下列說法正確的是（

）A．n邊形的內角和是360度B．多邊形的外角和就是這個多邊形所有外角的和C．平行四邊形的對邊相等D．平行四邊形對角互補【答案】C【分析】根據多邊形內角和和外交和、平行四邊形的性質逐項判斷即可．【詳解】解：A、n邊形的內角和是(n-2)·180°，故本選項錯誤；B、多邊形的外角和是對每一個內角取一個外角，這些外角的和是360度，故本選項錯誤；C、平行四邊形的對邊相等，故本選項正確；D、平行四邊形對角相等，故本選項錯誤．故選C．【點睛】本題考查了多邊形內角和和外交和、平行四邊形的性質，解決此題的關鍵是熟練的掌握以上性質．二、填空題9．（2023秋·上海青浦·八年級校考期末）若一個多邊形從一個頂點可以引8條對角線，則這個多邊形的內角和是______．【答案】1620°【分析】設多邊形邊數為n，根據n邊形從一個頂點出發可引出（n?3）條對角線可得n?3＝8，計算出n的值，再根據多邊形內角和（n?2）?180（n≥3）且n為整數）可得答案．【詳解】解：設多邊形邊數為n，由題意得：n?3＝8，n＝11，內角和：180°×（11?2）＝1620°．故答案為1620°．【點睛】本題主要考查了多邊形的對角線，以及多邊形內角和，關鍵是掌握n邊形從一個頂點出發可引出（n?3）條對角線，多邊形內角和公式（n?2）?180（n≥3）且n為整數）．10．（2022春·上海楊浦·八年級校考期末）如果一個正多邊形的內角和是，則這個正多邊形是正______邊形．【答案】六【分析】根據多邊形的內角和公式求解即可．【詳解】設這個正多邊形是正n邊形，則，解得：．∴這個正多邊形是正六邊形．故答案為：六．【點睛】本題考查多邊形的內角和公式．掌握n邊形的內角和為是解題關鍵．11．（2022春·上海普陀·八年級校考期中）一個正多邊形的內角和等于1440°，則此多邊形是________邊形．【答案】10##十【分析】設這個多邊形的邊數為n，根據內角和公式得出（n2）×180°=1440，求出方程的解即可．【詳解】解：設這個多邊形的邊數為n，則（n2）×180°=1440°，解得：n=10，即這個多邊形是10邊形，故答案為：10．【點睛】本題考查了多邊形的內角與外角，能熟記多邊形的內角和公式是解此題的關鍵，注意：邊數為n（n≥3）的多邊形的內角和=（n2）×180°．12．（2023秋·上海青浦·八年級校考期末）如圖，平行四邊形中，，垂足分別是E、F，，則平行四邊形的周長為_______．【答案】20【分析】由平行四邊形的性質得，再證，然后由含角的直角三角形的性質得即可解答．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴平行四邊形的周長，故答案為：20．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、含30°角的直角三角形的性質等知識點，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．13．（2022春·上海·八年級校考階段練習）一個邊形的內角和是，那么______．【答案】【分析】根據多邊形的內角和公式：，進行計算即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：；故答案為：．【點睛】本題考查多邊形的內角和．熟練掌握多邊形的內角和為，是解題的關鍵．14．（2022秋·上海靜安·八年級新中初級中學校考期末）如果一個多邊形的內角和為，那么過這個多邊形的一個頂點可作___________條對角線．【答案】4【分析】根據多邊形的內角和是，可以求出多邊形的邊數，再根據多邊形的一個頂點的對角線的條數與邊數的關系：一個頂點的對角線條數等于邊數減3，即可得解．【詳解】解：根據題意，得，解得：，那么過這個多邊形的一個頂點可作條對角線．【點睛】本題考查根據多邊形的內角和計算公式求多邊形的邊數，過多邊形的一個頂點的對角線的條數邊數．15．（2022春·上海嘉定·八年級校考期中）如圖，在?中，點在邊上，以為折痕，將向上翻折，點正好落在上的點處．若的周長為，的周長為，則的長為______．【答案】6【分析】根據翻折變換的性質、平行四邊形的性質證明，此為解題的關鍵性結論；運用的周長為，求出的長，即可解決問題．【詳解】解：如圖，四邊形為平行四邊形，，；由題意得：，；的周長為，的周長為，，，，即，，即；，故答案為：．【點睛】該題主要考查了翻折變換的性質、平行四邊形的性質等幾何知識點及其應用問題，解題的方法是準確找出圖形中隱含的等量關系；解題的關鍵是靈活運用翻折變換的性質、平行四邊形的性質等幾何知識點來分析、判斷、解答．16．（2022春·上海·八年級校考期中）如圖，在平行四邊形中，于點，于點，，且，則平行四邊形的周長為______．【答案】【分析】要求平行四邊形的周長就要先求出、的長，利用平行四邊形的性質和勾股定理即可求出結果．【詳解】解：，，，則，，設，則，在中，根據勾股定理可得，，同理可得：，則平行四邊形的周長是，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，解題關鍵是利用平行四邊形的性質結合等腰直角三角形的性質、勾股定理來解決有關的計算和證明．17．（2022春·上海徐匯·八年級校考期中）在中，對角線和交于點，，，，那么的周長為______．【答案】【分析】根據平行四邊形的性質，可得OC=，OD=，從而得解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，的周長．故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的對邊相等，對角線互相平分是解題的關鍵．18．（2022春·上海·八年級校考期末）若一個正多邊形的內角是外角的3倍，則這個正多邊形的邊數為__________．【答案】8【分析】設正多邊形的邊數為，利用多邊形的內角和公式和外角和定理即可解答．【詳解】解：設正多邊形的邊數為，由題意得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查多邊形的內角和與外角和，熟記多邊形的內角和公式及外角和為是解題的關鍵．19．（2022秋·上海楊浦·八年級校考期中）如圖，在中，的垂直平分線分別交于D、E兩點，并且相交于點F，且，則的度數是_______．【答案】##20度【分析】根據四邊形內角和是求出，再根據線段垂直平分線的性質得出，結合三角形內角和可得，繼而計算即可．【詳解】∵的垂直平分線分別交于D、E兩點，并且相交于點F，且，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了四邊形的內角和，三角形的內角和定理及線段垂直平分線的性質定理，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解題的關鍵．20．（2022秋·上海青浦·八年級校考期末）如圖，平行四邊形中，，，垂足分別是、，，，，則平行四邊形的周長為______．【答案】20【分析】根據四邊形的內角和為，求得；根據平行四邊形的對邊平行，可得與互補，即可求得，在直角三角形中求得的長，同理求得的長，繼而求得平行四邊形的周長；【詳解】解：∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴的周長為＝，故答案：20．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊平行且相等．還考查了直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半，正確求得∠B和∠DAF的度數是關鍵．21．（2023秋·上海青浦·八年級校考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分線交AD于點E，交CD的延長線于點F，則DF＝_____cm．【答案】3【分析】先證明CB=CF，再結合平行四邊形的性質，計算即可．【詳解】因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以BC=AD，ABCF，AB=CD，所以∠ABF=∠BFC，因為BF平分∠ABC，所以∠ABF=∠CBF，所以∠BFC=∠CBF，所以CB=CF，因為CF=CD+DF，所以AD=AB+DF，所以AB=7-4=3(cm)，故答案為：3．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，角的平分線的意義，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．22．（2022春·上海楊浦·八年級校考期中）如果把對角線與一邊垂直的平行四邊形成為“聯想平行四邊形”，現有一個“聯想平行四邊形”的一組鄰邊長為4和2，那么它的最小內角為_____度．【答案】30【分析】在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=，BC=4時，∠B最小，根據含30°角的直角三角形的性質即可求解．【詳解】如圖所示：在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=，BC=4時，∠B最小，由勾股定理得：，∴，∴在Rt△ABC中，∠B=30°，故答案為：30．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、“聯想平行四邊形”、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質；熟練掌握“聯想平行四邊形”的性質，根據含30°角的直角三角形的性質求出∠B＝30°，是解題的關鍵．23．（2022春·上海楊浦·八年級校考期末）如圖，的對角線與相交于點，將翻折使點與點重合，點落在點，已知（是銳角），那么的度數為______．（用的代數式表示）【答案】##【分析】先畫出圖形，由折疊的性質證明≌，繼而可得是直角三角形，，根據，可求的度數．【詳解】解：如圖所示：由折疊的性質可得：，，在和中，，≌（SAS），，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換的性質以及平行四邊形的性質，解決問題的關鍵是掌握：翻折前后對應邊相等、對應角相等，解題時注意：平行四邊形的對角線互相平分．24．（2022春·上海奉賢·八年級校考期末）如圖，已知平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，AE⊥BE，若AB＝2，則平行四邊形ABCD的周長為_____．【答案】【分析】欲求平行四邊形ABCD的周長則求出AD+BC的值即可，根據平行四邊形的性質和已知條件得到平行四邊形ABCD的周長＝2AB+AD+BC＝2AB+DE+CE＝3AB＝6，即可得到問題答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，ABCD，AB＝CD，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠CEB＝∠ABE，∠BAE＝∠DEA，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠CBA，∴∠CEB＝∠CBE，∴△BCE是等腰三角形，∴CE＝BC，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠ABC+∠EAB＝90°，∴∠ABC+2∠EAB＝∠ABC+∠DAB，即∠EAB＝∠DAB，∴AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE，∴平行四邊形ABCD的周長＝2AB+AD+BC＝2AB+DE+CE＝3AB＝6，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性、等腰三角形的判定和性質，證明AE是∠DAB的角平分線是解題的關鍵也是解題的難點．三、解答題25．（2022春·上海·八年級期中）如圖，E、F是平行四邊形對角線上的兩點，且．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【分析】連接AC，交BD于點O，由“平行四邊形ABCD的對角線互相平分”得到OA=OC，OB=OD；然后結合已知條件證得OE=OF，則“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，即可得出結論．【詳解】證明：連接AC，交BD于點O，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的性質，熟記對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解決問題的關鍵．26．（2022春·上海·八年級校考期中）如圖，已知ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的角平分線．求證：AE=CF．【答案】證明見解析【分析】先根據平行四邊形的性質可得，再根據角平分線的定義可得，根據平行線的性質可得，從而可得，然后根據平行線的判定可得，最后根據平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形的性質即可得證．【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，分別是的角平分線，，，又，，，，四邊形是平行四邊形，．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題關鍵．27．（2022春·上海·八年級期中）如圖，以的邊、為邊，作等邊和等邊，連接，．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】證明見解析【分析】根據平行四邊形的性質，得出，，，再根據等邊三角形的性質，得出，，再根據角之間的數量關系，得出，再根據，得出，再根據全等三角形的性質，得出，再根據平行四邊形的判定定理，即可得出結論．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵和是等邊三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質、定理．28．（2022春·上海徐匯·八年級校考期中）如圖，已知、分別為?的對邊、上的點，且，于，于，交于點，求證：與互相平分．【答案】見解析【分析】連接、，利用于，于，推出EMFN，根據AAS證明△AEM≌△CFN，得到EM=FN，證明四邊形是平行四邊形，由此得到結論．【詳解】證明：連接、，，，，∴EMFN，四邊形是平行四邊形，∴ADBC，，，，，在和中≌，，∵EMFN，四邊形是平行四邊形，與互相平分．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正確掌握平行四邊形的判定定理和性質定理及全等三角形的判定定理是解題的關鍵．29．（2022春·上海·八年級校考期中）如圖，在直角坐標系中，點和點，直線與軸正半軸交于點，過點作，垂足為，聯結．(1)求的長；(2)當時，求點的坐標；(3)在的條件下，已知點在直角坐標平面內，如果以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)2(2)(3)，，【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出答案；（2）根據含角的直角三角形及可求出及邊長，即可求出答案；（3）根據題意作圖，結合直角三角形，角度，勾股定理，即可求出答案．（1）解：如圖所示，∵，∴，∵，，∵，即點是的中點，在,∴．故答案是：．（2）解：∵，，∴，∴，在中，，∴．故點的坐標是：．（3）解：如圖1所示，過點作，∵四邊形是平行四邊形，由（2）可知，∴，且，過點作軸于，，∴．如圖2所示，連接，過點作，∵四邊形是平行四邊形，過點作軸于，∴．如圖3所示，連接，過點作，∵四邊形是平行四邊形，∴同理得，故點的坐標是：，，．【點睛】本題主要考查的是平行四邊形的性質，結合平面直角坐標系，直角三角形，勾股定理考查坐標點的確定，理解和掌握平行四邊形的性質，解直角三角形的知識是解題的關鍵．30．（2022春·上海·八年級校考期中）如圖，OA，OB的長分別是關于x的方程x2-15x+50=0的兩根，且OA＞OB．請一起解決下列問題：(1)求直線AB的函數表達式；(2)如果P為線段AB上一點，而且BP=AB，聯結OP，求OP的函數的表達式；(3)在（2）的條件下，點Q為坐標平面內一點，如果以B、P、O、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點Q的坐標．【答案】(1)直線AB的函數表達式為y=x+5；(2)OP的函數的表達式為y=-x；(3)Q的坐標為（-8，-4）或（8，4）或（-8，6）．【分析】（1）先解方程可得A、B坐標，再用待定系數法即可求出直線AB的函數表達式；（2）過P作PC⊥y軸于C，利用三角形的面積公式可求得PC=8，從而可得P（-8，1），再用待定系數法得OP的函數的表達式為y=-x；（3）分三種情況：①以OB、PQ為一組對邊，②以OP、BQ為一組對邊，③以OP、BQ為一組對邊，分別畫出圖形，根據平移的知識，即可得Q的坐標為（-8，-4）或（8，4）或（-8，6）．（1）解：解方程x2-15x+50=0得x=10或x=5，∵OA＞OB，∴A（-10，0），B（0，5），設直線AB的函數表達式為y=kx+b，將A（-10，0），B（0，5）代入得：，解得，∴直線AB的函數表達式為y=x+5；（2）解：過P作PC⊥y軸于C，如圖：∵A（-10，0），B（0，5），∴S△ABO=OA×OB=25，AB==5，BP=AB，∴S△PBO=S△ABO=20，∵S△PBO=OB×PC=20，∴PC=8，當x=-8時，y=x+5=1，∴P（-8，1），設OP的函數的表達式為y=k'x，將P（-8，1）代入得：-8k'=1，解得k'=-，∴OP的函數的表達式為y=-x；（3）解：由（1）（2）可知B（0，5）、P（-8，1）、O（0，0），①以OB、PQ為一組對邊，如圖：把線段OB平移到QP，則B（0，5）平移到P（-8，1），O（0，0）平移到Q，∴Q（-8，-4）；②以OP、BQ為一組對邊，如圖：把線段OP平移到QB，則P（-8，1）平移到B（0，5），O（0，0）平移到Q，∴Q（8，4）；③以OP、BQ為一組對邊，如圖：O（0，0）平移到B（0，5），則P（-8，1）平移到Q，∴Q（-8，6），綜上所述，Q的坐標為（-8，-4）或（8，4）或（-8，6）．【點睛】本題考查一次函數綜合應用，涉及待定系數法，平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是分類思想和數形結合思想的應用．31．（2023春·上海·八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中．一次函數y=-2x+12的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點A的直線交y軸正半軸于點M．且點M為線段OB的中點．(1)求直線AM的解析式；(2)在直線AM上有一點P，且，求點P的坐標；(3)在坐標平面內是否存在點C，使以A、B、M、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點P的坐標為(0，6)或(12，-6)(3)存在，點C的坐標為(6，-6)或(6，6)或(-6，18)【分析】（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B的坐標，由點M為線段OB的中點可得出點M的坐標，根據點A，M的坐標，利用待定系數法即可求出直線AM的函數解析式；（2）分兩種情況：①由點M為線段OB的中點．可得，即可得出點P于點M重合，②根據，即可得答案；（3）存在點C，使以A、B、M、C為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：①以AM，BC為對角線；②以AB，CM為對角線；③以AC，BM為對角線，根據平移的性質求解即可．【詳解】（1）解：當x=0時，y=-2x+12=12，∴點B的坐標為（0，12），當y=0時，-2x+12=0，解得：x=6，∴點A的坐標為（6，0）．∵點M為線段OB的中點，∴點M的坐標為（0，6）．設直線AM的函數解析式為y=kx+b（k≠0），將A（6，0），M（0，6）代入y=kx+b，得，解得：∴直線AM的函數解析式為y=-x+6；（2）解：①∵點M為線段OB的中點．∴，∴點P于點M重合，∴點P的坐標為（0，6）；②如圖，∵點A的坐標為（6，0）．點M的坐標為（0，6）．∴×6×6=18，∵，∴，設點P的坐標為：（x，-x+6），∴×6x-18=18，解得x=12，∴點P的坐標為（12，-6）；∴點P的坐標為（0，6）或（12，-6）；（3）解：分三種情況考慮（如圖所示）：存在點C，使以A、B、M、C為頂點的四邊形是平行四邊形，∵A（6，0），B（0，12），M（0，6），①以AM，BC為對角線，根據平移的性質，得點C（6，-6），②以AB，CM為對角線，根據平移的性質，得點C（6，6），③以AC，BM為對角線，根據平移的性質，得點C（-6，18），綜上，點C的坐標為（6，-6）或（6，6）或（-6，18）．【點睛】本題是一次函數綜合題，考查了一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式、三角形的面積以及平行四邊形的性質，解題的關鍵是注意掌握輔助線的作法，注意