第14講：平面向量的數量積一．選擇題（共12小題）1．對于向量a→、b→、c→A．若a→?b→=0，則a→=0→或b→=C．若a→2=b→2，則a→=b→或a→=?2．已知向量a→=(?1，1)，b→=(1，m)，a→A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）3．如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點O，記I1=OA→?OB→，I2=OB→?OC→，A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I34．已知AB→⊥AC→，|AB→|=1A．13 B．15 C．19 D．215．在如圖的平面圖形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM→=2MA→，CN→=A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．06．如圖所示，正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長為2，若P為該正八邊形邊上的動點，則A1A．[0，8+62] B．[?22，8+62]7．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則AF→?BCA．?58 B．14 C．18．已知點A，B，C均在半徑為2的圓上，若|AB|＝2，則AC→A．3+22 B．2+22 C．4 9．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則PA→?（PBA．﹣2 B．?32 C．?10．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若點E為邊CD上的動點，則AE→A．2116 B．32 C．2511．如圖，正方形ABCD的中心與圓O的圓心重合，P是圓O上的動點，則下列敘述不正確的是（）A．PA→?PC→+PBB．PA→?PB→+PB→?PC→C．|PA→|+|PB→|+|PC→|+|D．PA→2+PB→2+PC12．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E、F是AD上的兩個三等分點，BA→?CA→=4，BF→?CF→A．4 B．8 C．78 D．二．多選題（共2小題）（多選）13．關于平面向量a→，b→，A．若a→?c→=b→?c→，則a→=b→C．若a→2=b→2，則a→?c→=b→?c→ D．（a→（多選）14．已知O為坐標原點，點P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），則（）A．|OP1→|＝|OP2→| C．OA→?OP3→=OP1→三．填空題（共17小題）15．已知向量a→+b→+c→=0→，|a→|＝1，|b→16．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點M為邊AB的中點，點P在邊BC上，則MP→?CP→的最小值為17．已知a→，b→是單位向量，且夾角為60°，|c18．在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，DE⊥AB且交AB于點E，DF∥AB且交AC于點F，則|2BE→+DF→|的值為；（DE→19．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點O．若AB→?AC→=6AO→?EC→20．如圖所示，O為△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC為鈍角，M為BC邊的中點，則AM→?AO21．已知點O是銳角△ABC的外心，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，A=π3，且cosBsinC?AB22．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，M為DC的中點，若N為菱形內任意一點（含邊界），則AM→?AN23．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD→=λBC→，AD→?AB→=?32，則實數λ的值為，若M，N是線段BC上的動點，且|24．已知點M是邊長為2的正△ABC內一點，且AM→=λAB→+μAC→25．已知△ABC中，AB邊上的中線CM＝2，若動點P滿足AP→=12si26．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P是平面ABC內一點，則PA→?(2PB27．已知a→，b→為單位向量，且a→?b→=0，若c→=228．若向量a→，b→滿足|a→|＝3，|a→?b→|＝5，a29．在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，點E在線段CB的延長線上，且AE＝BE，則BD→?AE→30．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且|λAB→+3(1?λ)AC→|(λ∈R)的最小值為332，若31．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，BA→?CA→=4，BF→?CF→=?1，則

第14講：平面向量的數量積參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．對于向量a→、b→、c→A．若a→?b→=0，則a→=0→或b→=C．若a→2=b→2，則a→=b→或a→=?【解答】解：a→⊥b→時也有a→?bB正確；設a→=(2，2)，b→=(1，7)，此時a→2=b∵a→?b→=a→?c→得不到b→=c→，如故選：B．2．已知向量a→=(?1，1)，b→=(1，m)，a→A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）【解答】解：由題意得﹣1×1+m＜0且﹣m﹣1≠0，所以m＜1且m≠﹣1．故選：D．3．如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點O，記I1=OA→?OB→，I2=OB→?OC→，A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，∴AC＝22，∴∠AOB＝∠COD＞90°，由圖象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞OA→?OB→＞OC→?即I3＜I1＜I2，方法2：如圖：作線段AC的垂直平分線l，由于DA＜DC，因此A，D在直線l的同側，則OA＜OC，∠ABO＜45°，進而∠AOD＝∠ABO+∠BAO＜90°，在等腰三角形ABD中，OB＜OD，這樣就有I3＝|OC→|?|OD→|cos∠COD＜|OA→|?|OB→|cos∠AOB＝I1故選：C．4．已知AB→⊥AC→，|AB→|=1A．13 B．15 C．19 D．21【解答】解：由題意建立如圖所示的坐標系，可得A（0，0），B（1t，0），C（0，t∵AP→=AB∴PB→=（1t?1，﹣4），∴PB→?PC→=?（1t由基本不等式可得1t+4t≥2∴17﹣（4t+1當且僅當4t=1t即t∴PB→故選：A．5．在如圖的平面圖形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM→=2MA→，CN→=A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【解答】解：解法Ⅰ，由題意，BM→=2MA→，CN∴BMMA=CNNA=2，∴BC∥MN又MN2＝OM2+ON2﹣2OM?ON?cos120°＝1+4﹣2×1×2×（?1∴MN=7∴BC＝37，∴cos∠OMN=OM∴BC→?OM→=|BC→|×|OM→|cos（π﹣∠OMN解題Ⅱ：不妨設四邊形OMAN是平行四邊形，由OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM→=2MA→，CN知BC→=AC→?AB→=3∴BC→?OM→=（﹣3＝﹣3OM→2+3＝﹣3×12+3×2×1×cos120°＝﹣6．故選：C．6．如圖所示，正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8的邊長為2，若P為該正八邊形邊上的動點，則A1A．[0，8+62] B．[?22，8+62]【解答】解：由題意，正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一個內角為135°，且|A1A2→|=|A再由正弦函數的單調性及值域可得，當P與A8重合時，A1A3結合選項可得A1A3故選：B．7．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則AF→?BCA．?58 B．14 C．1【解答】解：如圖，∵D、E分別是邊AB、BC的中點，且DE＝2EF，∴AF→?=(?1=(?5=?5故選：C．8．已知點A，B，C均在半徑為2的圓上，若|AB|＝2，則AC→A．3+22 B．2+22 C．4 【解答】解：如圖，∵A，B，C是半徑為2的圓上三點，|AB|＝2，∴根據余弦定理，cos∠O=O則AB邊所對的圓心角為π2，則∠C根據正弦定理可知：ACsinB∴AC＝22sinB，BC＝22sin（34π?∴AC→?BC→=CA→?CB→=CA×CB×cosC＝22sinB×22sin（34π?B）×2＝22sin（2B?π則當2B?π4=π2，即故選：B．9．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則PA→?（PBA．﹣2 B．?32 C．?【解答】解：建立如圖所示的坐標系，以BC中點為坐標原點，則A（0，3），B（﹣1，0），C（1，0），設P（x，y），則PA→=（﹣x，3?y），PB→=（﹣1﹣x，﹣y），PC則PA→?（PB→+PC→）＝2x2﹣23y+2y2＝2[x2+（y∴當x＝0，y=32時，取得最小值2×（?3方法2：取BC的中點M，AM的中點N，則，PA→?(PB→+PC→當且僅當P與N重合時，取得等號．故選：B．10．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若點E為邊CD上的動點，則AE→A．2116 B．32 C．25【解答】解：如圖所示，以D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，過點B做BN⊥x軸，過點B做BM⊥y軸，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝ABcos60°=12，BN＝ABsin60°∴DN＝1+1∴BM=3∴CM＝MBtan30°=3∴DC＝DM+MC=3∴A（1，0），B（32，32），C（0，設E（0，m），∴AE→=（﹣1，m），BE→=（?32，∴AE→?BE→=32+m2?32m＝（m?當m=34時，取得最小值為故選：A．11．如圖，正方形ABCD的中心與圓O的圓心重合，P是圓O上的動點，則下列敘述不正確的是（）A．PA→?PC→+PBB．PA→?PB→+PB→?PC→C．|PA→|+|PB→|+|PC→|+|D．PA→2+PB→2+PC【解答】解：如圖建立平面直角坐標系，并設正方形邊長為2a，圓的半徑為r，且r＞2然后設P（rcosθ，rsinθ），A（a，a），B（﹣a，a），C（﹣a，﹣a），D（a，﹣a）．∴PA→=(a?rcosθ，a?rsinθ)，PB→=（﹣a﹣rcosθ，a﹣rsinθ），PC→=（﹣a﹣rcosθ，﹣a﹣rsinθ），PD→=（a﹣rcos∴PA→?PB→=r2?2arsinθ，PA→PA→2=2a2+r對于A，原式＝﹣4a2+2r2（定值），故A結論成立；對于B，原式＝4r2（定值），故結論B成立；對于D，原式＝8a2+4r2（定值），故結論D成立．對于C，取θ＝0°時，原式＝2|PA|+2|PB|=2a2+(r?a)2顯然兩式不相等．故C結論不成立．故選：C．12．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E、F是AD上的兩個三等分點，BA→?CA→=4，BF→?CF→A．4 B．8 C．78 D．【解答】解：∵D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，∴BF→=BD→+DF→，CF∴BF→BA→?CA∴DF→2=又∵BE→=BD∴BE→?CE故選：C．二．多選題（共2小題）（多選）13．關于平面向量a→，b→，A．若a→?c→=b→?c→，則a→=b→C．若a→2=b→2，則a→?c→=b→?c→ D．（a→【解答】解：對于A，若c→=0→，則a→?c→=b→對于B，（a→+b→）?c→=a對于C，若a→2=b→2，則|a→|＝|b→|，但（a→?b→）?c對于D，（a→?b→）?c→與向量c→共線，而（b→?c→）?a→與向量a→共線，所以（a→?b→）?故選：ACD．（多選）14．已知O為坐標原點，點P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），則（）A．|OP1→|＝|OP2→| C．OA→?OP3→=OP1→【解答】解：法一、∵P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），∴OP1→=（cosα，sinα），OPOP3→=（cos（α+β），sin（α+AP1→則|OP1→|=cos2α+si|A|A|AP1→|≠|AOA→?OP3→=1×cos（α+β）+0×sin（αOP1?OP2→=cosαcosβ﹣sin∴OA→?OP3→=OA→?OP1→=OP2→?OP3→=cosβcos（α+β）﹣sinβsin（α+β）＝cos[β∴OA→?OP1→≠故選：AC．法二、如圖建立平面直角坐標系，A（1，0），作出單位圓O，并作出角α，β，﹣β，使角α的始邊與OA重合，終邊交圓O于點P1，角β的始邊為OP1，終邊交圓O于P3，角﹣β的始邊為OA，交圓O于P2，于是P1（cosα，sinα），P3（cos（α+β），sin（α+β）），P2（cosβ，﹣sinβ），由向量的模與數量積可知，A、C正確；B、D錯誤．故選：AC．三．填空題（共17小題）15．已知向量a→+b→+c→=0→，|a→|＝1，|b→|＝|c【解答】解：方法1：由a→+b→+c→∴（a→+b→）2＝（?c→）2或（a→+c→）2＝（?b又∵|a→|＝1，|b→|＝|c→|＝2，∴5+2a→?b→∴a→?b→=?12，a→?c→=?12，b→故答案為：?9方法2：a→?b→+b→故答案為：?916．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點M為邊AB的中點，點P在邊BC上，則MP→?CP→的最小值為?【解答】解：建立平面直角坐標系如下，則B（2，0），C（0，2），M（1，0），直線BC的方程為x2+y2=點P在直線上，設P（x，2﹣x），∴MP→=（x﹣1，2﹣x），CP→=（∴MP→?CP→=x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x∴MP→?CP→的最小值為故答案為：?917．已知a→，b→是單位向量，且夾角為60°，|c→|=【解答】解：據題意，設a→∴a→?1∴(=5=5∵?1≤sin(θ+π∴?1∴(a→?故答案為：[?118．在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，DE⊥AB且交AB于點E，DF∥AB且交AC于點F，則|2BE→+DF→|的值為1；（DE→+DF【解答】解：如圖，設BE＝x，∵△ABC是邊長為1等邊三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE=3x，DC＝1﹣2x∵DF∥AB，∴△DFC是邊長為1﹣2x等邊三角形，DE⊥DF，∴（2BE→+DF→）2＝4BE→2+4BE→?DF→+DF→則|2BE→∵（DE→+DF→）?DA→=（DE=(3x)2+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5＝5(x?310)2+11∴（DE→+DF→）?故答案為：1，112019．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點O．若AB→?AC→=6AO→?EC→，則AB【解答】解：設AO→=λAD→AO→=AE→+EO＝（1﹣μ）AE→+μAC∴λ2=1?μ∴AO→=1EC→6AO→?EC→=6×14=32（=?1∵AB→?AC∴12AB→∴ABAC故答案為：320．如圖所示，O為△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC為鈍角，M為BC邊的中點，則AM→?AO【解答】解：（如圖）取AB、AC的中點D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC，∵M是邊BC的中點，∴AM→=1∴AM→?AO→==AD由數量積的定義可得AD→?AO→=|AD而|AO→|cos＜AD→，AO同理可得AE→故AD→故答案為：5．21．已知點O是銳角△ABC的外心，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，A=π3，且cosBsinC?AB→+【解答】解：分別取AB，AC的中點D，E，連接OD，OE，可得AB→?OA→=?AB→?12AB→=?12設△ABC的外接圓的半徑為R，由正弦定理可得asinA=b由cosBsinC兩邊點乘OA→，可得cosBsinC?（AB→?OA→）+cosCsinB?（AC→即?12?csinC?ccosB?12?bsinB?bcos所以?12?2R（ccosB+bcosC）＝2λR所以﹣（c?a2+c2?b2所以﹣a＝2λR，所以λ=?a2R=?sin故答案為：?322．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，M為DC的中點，若N為菱形內任意一點（含邊界），則AM→?AN【解答】解：如圖，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，由于菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，M為DC的中點，故點A（0，0），則B（2，0），C（3，3），D（1，3），M（2，3）．設N（x，y），N為菱形內（包括邊界）一動點，對應的平面區域即為菱形ABCD及其內部區域．因為AM→=(2，3)，AN→=（x，y），則令z＝2x+3y，則由圖象可得當目標函數z＝2x+3y過點C（3，3）時，z＝2x+3此時z=2×3+3故答案為9．23．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD→=λBC→，AD→?AB→=?32，則實數λ的值為16，若M，N是線段BC上的動點，且|MN【解答】解：以B為原點，以BC為x軸建立如圖所示的直角坐標系，∵∠B＝60°，AB＝3，∴A（32，3∵BC＝6，∴C（6，0），∵AD→=λ∴AD∥BC，設D（x0，33∴AD→=（x0?32，0），AB→∴AD→?AB→=?32（x0?32∴D（52，3∴AD→=（1，0），∴AD→∴λ=1∵|MN→設M（x，0），則N（x+1，0），其中0≤x≤5，∴DM→=（x?52，?332），∴DM→?DN→=（x?52）（x?32）+274=x2﹣4x+故答案為：16，1324．已知點M是邊長為2的正△ABC內一點，且AM→=λAB→+μAC→，若λ+μ=【解答】解：以A為原點，AB和AB的垂線分別為x和y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則A（0，0），B（2，0），C（1，3），設M（x，y），∵AM→∴（x，y）=λ(2，0)+μ(1，3)，即∴MB=(2=4(μ?16)∴當μ=16時，MB→故答案為：1325．已知△ABC中，AB邊上的中線CM＝2，若動點P滿足AP→=12si【解答】解：由題意可得：AB→∴AP→=sin2θ?AM→所以P、M、C三點共線，即點P在CM上，而PA→+PB→＝2|PM→||PC→∵|PM|PM→||故答案為：﹣226．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P是平面ABC內一點，則PA→?(2PB→+【解答】解：建立平面坐標系如圖所示：則A（﹣1，0），B（1，0），C（0，3），設P（x，y），PA→=（﹣1﹣x，﹣y），PB→=（1﹣x，﹣y），PC→=2PB→+PC→=（2﹣3x∴PA→?(2PB→+PC→)=3x2+x﹣2+3y2?3y＝3（x+∴當x=?16，y=36時，故答案為：?727．已知a→，b