高中物理解題方法之9：幾何法（原卷版）江蘇省特級教師戴儒京內容提要：高考物理學科能力有一個是：應用數學知識處理物理問題的能力。本文談幾何知識和方法在物理中的應用，包括在力學和電磁學中的應用。關鍵詞：物理能力，數學應用，幾何知識，幾何方法。高考大綱（物理）中規定，高考物理考查的學科能力有：理解能力推理能力分析綜合能力應用數學知識處理物理問題的能力實驗能力。數學知識，主要有代數和幾何等幾個部分，本文談幾何知識和方法在物理中的應用。有一位教科所的物理老師講過：解物理題就是畫圖，會畫圖就會解題，不會畫圖就不會解題；畫圖正確就能解題正確，畫圖錯誤一定解題錯誤。此言雖然不太準確，但也不無道理。一、相對運動中的幾何關系例1.如圖所示，傾角為α的斜面A被固定在水平面上，細線的一端固定于墻面，另一端跨過斜面頂端的小滑輪與物塊B相連，B靜止在斜面上．滑輪左側的細線水平，右側的細線與斜面平行．A、B的質量均為m．撤去固定A的裝置后，A、B均做直線運動．不計一切摩擦，重力加速度為g．求：（1）A固定不動時，A對B支持力的大小N；（2）A滑動的位移為x時，B的位移大小s；（3）A滑動的位移為x時的速度大小vA.二、力做功中的位移問題例2.如圖所示，兩個半圓柱A、B緊靠著靜置于水平地面上，其上有一光滑圓柱C，三者半徑均為R.C的質量為m，A、B的質量都為，與地面的動摩擦因數均為μ.現用水平向右的力拉A，使A緩慢移動，直至C恰好降到地面.整個過程中B保持靜止.設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g.求：（1）未拉A時，C受到B作用力的大小F；（2）動摩擦因數的最小值μmin；（3）A移動的整個過程中，拉力做的功W.三、力的合成和分解中的角度問題例3.如圖所示，釘子A、B相距5l，處于同一高度．細線的一端系有質量為M的小物塊，另一端繞過A固定于B．質量為m的小球固定在細線上C點，B、C間的線長為3l．用手豎直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時BC與水平方向的夾角為53°．松手后，小球運動到與A、B相同高度時的速度恰好為零，然后向下運動．忽略一切摩擦，重力加速度為g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：（1）小球受到手的拉力大小F；（2）物塊和小球的質量之比M:m；（3）小球向下運動到最低點時，物塊M所受的拉力大小T．四、彈力做功與位移的關系例4.如圖所示，輕質彈簧一端固定，另一端連接一小物塊，O點為彈簧在原長時物塊的位置．物塊由A點靜止釋放，沿粗糙程度相同的水平面向右運動，最遠到達B點．在從A到B的過程中，物塊（A）加速度先減小后增大（B）經過O點時的速度最大（C）所受彈簧彈力始終做正功（D）所受彈簧彈力做的功等于克服摩擦力做的功五、電場問題例1.空間有一勻強電場，在電場中建立如圖所示的直角坐標系O-xyz，M、N、P為電場中的三個點，M點的坐標（0，a，0），N點的坐標為（a,0,0），P點的坐標為（a,,）。已知電場方向平行于直線MN，M點電勢為0，N點電勢為1V，則P點的電勢為A.VB.VC.VD.V例2.abc30°勻強電場中有a、b、c三點．在以它們為頂點的三角形中，∠a＝30°、∠c＝90°,．電場方向與三角形所在平面平行．已知a、b和c點的電勢分別為V、V和abc30°A．V、VB．0V、4VC．V、D．0V、V例3.a、b、c、d是勻強電場中的四個點，它們正好是一個矩形的四個頂點。電場線與矩形所在的平面平行。已知a點的電勢是20V，b點的電勢是24V，d點的電勢是4V，如圖。由此可知，c點的電勢為（）A、4VB、8VC、12VD、24V例4．勻強電場中的三點A、B、C是一個三角形的三個頂點，AB的長度為1，D為AB的中點，如圖所示。已知電場線的方向平行于所在平面，A、B、C三點的電勢分別為、和，設場強大小為E，一電量為的正電荷從D點移到C點電場力所做的功為，則…（）、、、、例5．圖中A、B、C、D是勻強電場中一正方形的四個頂點，已知A、B、C三點的電勢分別為UA＝15vUB＝3v，UC＝-3V由此可得D點電勢UD＝________V。例6.（1）靜電場可以用電場線和等勢面形象描述。a．請根據電場強度的定義和庫侖定律推導出點電荷Q的場強表達式；b．點電荷的電場線和等勢面分布如圖所示，等勢面S?、S?到點電荷的距離分別為r?、r?。我們知道，電場線的疏密反映了空間區域電場強度的大小。請計算S?、S?上單位面積通過的電場線條數之比N1/N2。（2）觀測宇宙中輻射電磁波的天體，距離越遠單位面積接收的電磁波功率越小，觀測越困難。為了收集足夠強的來自天體的電磁波，增大望遠鏡口徑是提高天文觀測能力的一條重要路徑。2016年9月25日，世界上最大的單口徑球面射電望遠鏡FAST在我國貴州落成啟用，被譽為“中國天眼”。FAST直徑為500m，有效提高了人類觀測宇宙的精度和范圍。a．設直徑為100m的望遠鏡能夠接收到的來自某天體的電磁波功率為P?，計算FAST能夠接收到的來自該天體的電磁波功率P?；b．在宇宙大尺度上，天體的空間分布是均勻的，僅以輻射功率為P的同類天體為觀測對象，設直徑為100m望遠鏡能夠觀測到的此類天體數目是N0，計算FAST能夠觀測到的此類天體數目N。電場問題小結：1.已知某些點的電勢，求另一些（個）點的電勢，可考慮用幾何方法，主要是平面幾何方法。2.用幾何方法解物理問題的關鍵是作輔助線。3.在用幾何方法解物理問題中要重視幾何圖形的物理意義，如電場線和等勢線或等勢面。4.沿電場線電勢降落最陡。5.同一條等勢線上各點電勢相等。6.電場線與等勢線垂直。7.勻強電場的電場線相互平行并距離相等，在電場線上，距離相等，電勢差也相等；勻強電場的等勢線也相互平行并距離相等的等勢線間電勢差相等。六．帶電粒子在磁場中運動問題例1.【題目】15.（16分）一臺質譜儀的工作原理如圖所示.大量的甲、乙兩種離子飄入電壓力為U0的加速電場，其初速度幾乎為0，經過加速后，通過寬為L的狹縫MN沿著與磁場垂直的方向進入磁感應強度為B的勻強磁場中，最后打到照相底片上。已知甲、乙兩種離子的電荷量均為+q，質量分別為2m和m，圖中虛線為經過狹縫左、右邊界M、N的甲種離子的運動軌跡.不考慮離子間的相互作用.（1）求甲種離子打在底片上的位置到N點的最小距離x；（2）在答題卡的圖中用斜線標出磁場中甲種離子經過的區域，并求該區域最窄處的寬度d；（3）若考慮加速電壓有波動，在（）到（）之間變化，要使甲、乙兩種離子在底片上沒有重疊，求狹縫寬度L滿足的條件.例2.如圖所示，真空中四個相同的矩形勻強磁場區域，高為4d，寬為d，中間兩個磁場區域間隔為2d，中軸線與磁場區域兩側相交于O、O′點，各區域磁感應強度大小相等．某粒子質量為m、電荷量為+q，從O沿軸線射入磁場．當入射速度為v0時，粒子從O上方處射出磁場．取sin53°=0.8，cos53°=0.6．（1）求磁感應強度大小B；（2）入射速度為5v0時，求粒子從O運動到O′的時間t；（3）入射速度仍為5v0，通過沿軸線OO′平移中間兩個磁場（磁場不重疊），可使粒子從O運動到O′的時間增加Δt，求Δt的最大值．例3.如圖，在y>0的區域存在方向沿y軸負方向的勻強電場，場強大小為E，在y<0的區域存在方向垂直于xOy平面向外的勻強磁場。一個氕核11H和一個氘核21H先后從y軸上y=h點以相同的動能射出，速度方向沿x軸正方向。已知11H進入磁場時，速度方向與x軸正方向的夾角為60°，并從坐標原點O處第一次射出磁場。11H的質量為m，電荷量為q不計重力。求（1）11H第一次進入磁場的位置到原點O的距離（2）磁場的磁感應強度大小（3）12H第一次離開磁場的位置到原點O的距離例4.一足夠長的條狀區域內存在勻強電場和勻強磁場，其在平面內的截面如圖所示：中間是磁場區域，其邊界與y軸垂直，寬度為l，磁感應強度的大小為B，方向垂直于平面；磁場的上、下兩側為電場區域，寬度均為，電場強度的大小均為E，方向均沿x軸正方向；M、N為條形區域邊界上的兩點，它們的連線與y軸平行。一帶正電的粒子以某一速度從M點沿y軸正方向射入電場，經過一段時間后恰好以從M點入射的速度從N點沿y軸正方向射出。不計重力。（1）定性畫出該粒子在電磁場中運動的軌跡；（2）求該粒子從M點射入時速度的大小；（3）若該粒子進入磁場時的速度方向恰好與x軸正方向的夾角為，求該粒子的比荷及其從M點運動到N點的時間。例5.如圖，從離子源產生的甲、乙兩種離子，由靜止經加速電壓U加速后在紙面內水平向右運動，自M點垂直于磁場邊界射入勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁場左邊界豎直。已知甲種離子射入磁場的速度大小為v1，并在磁場邊界的N點射出；乙種離子在MN的中點射出；MN長為l。不計重力影響和離子間的相互作用。求：（1）磁場的磁感應強度大小；（2）甲、乙兩種離子的比荷之比。例6.如圖所示，在水平線ab下方有一勻強電場，電場強度為E，方向豎直向下，ab的上方存在勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，磁場中有一內、外半徑分別為R、的半圓環形區域，外圓與ab的交點分別為M、N。一質量為m、電荷量為q的帶負電粒子在電場中P點靜止釋放，由M進入磁場，從N射出，不計粒子重力。（1）求粒子從P到M所用的時間t；（2）若粒子從與P同一水平線上的Q點水平射出，同樣能由M進入磁場，從N射出，粒子從M到N的過程中，始終在環形區域中運動，且所用的時間最少，求粒子在Q時速度的大小。六、幾何光學中的幾何方法光學知識，在標準課程教科書中是選修3-4的內容，在高考試卷中是選考題之一，大部分學校和考生不選擇選修3-4，也就不考光學題，因此是幾乎被高考遺忘的高考題。所以在物理教學類雜志中，涉及光學的文章也就少而又少。光學分為兩部分內容：幾何光學和物理光學，幾何光學研究光的反射和折射，以及全反射等，物理光學研究光的性質，也就是光是什么？粒子還是波？其內容包括光的干涉、衍射、偏振等。關于幾何光學的高考題，離不開用數學中的幾何知識和方法去解，包括邊和角，三角形，多邊形等。每年的高考題中，都有幾題。且看近2年的高考題。例1.（1）（5分）如圖，△ABC為一玻璃三棱鏡的橫截面，∠A=30°，一束紅光垂直AB邊射入，從AC邊上的D點射出，其折射角為60°，則玻璃對紅光的折射率為_____。若改用藍光沿同一路徑入射，則光線在D點射出時的折射角______（“小于”“等于”或“大于”）60°。例2.如圖，是一直角三棱鏡的橫截面，，，一細光束從BC邊的D點折射后，射到AC邊的E點，發生全反射后經AB邊的F點射出。EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中點。不計多次反射。（i）求出射光相對于D點的入射光的偏角；（ii）為實現上述光路，棱鏡折射率的取值應在什么范圍？例3.如圖，某同學在一張水平放置的白紙上畫了一個小標記“·”(圖中O點)，然后用橫截面為等邊三角形ABC的三棱鏡壓在這個標記上，小標記位于AC邊上。D位于AB邊上，過D點做AC邊的垂線交AC于F。該同學在D點正上方向下順著直線DF的方向觀察。恰好可以看到小標記的像；過O點做AB邊的垂線交直線DF于E；DE=2cm，EF=1cm。求三棱鏡的折射率。(不考慮光線在三棱鏡中的反射)例4.如圖，由透明介質構成的半球殼的內外表面半徑分別為R和.一橫截面半徑為R的平行光束入射到半球殼的內表面，入射方向與半球殼的對稱軸平行，所有的入射光線都能從半球殼的外表面射出。已知透明介質的折射率為。求半球殼外表面上有光線射出區域的圓形邊界的半徑。不考慮多次反射。例5.如圖，一玻璃工件的上半部是半徑為R的半球體，O點為球心；下半部是半徑為R、高位2R的圓柱體，圓柱體底面鍍有反射膜。有一平行于中心軸OC的光線從半球面射入，該光線與OC之間的距離為0.6R。已知最后從半球面射出的光線恰好與入射光線平行（不考慮多次反射）。求該玻璃的折射率。例6.如圖，一半徑為R的玻璃半球，O點是半球的球心，虛線OO′表示光軸（過球心O與半球底面垂直的直線）。已知玻璃的折射率為1.5。現有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光線能從球面射出（不考慮被半球的內表面反射后的光線）。求：（i）從球面射出的光線對應的入射光線到光軸距離的最大值；（ii）距光軸的入射光線經球面折射后與光軸的交點到O點的距離。總結：從以上例題可以看出：幾何知識和方法在解物理題中有廣泛的應用，在力學中，從力的合成和分解，到功和能中的力做功的位移，在電磁學中，帶電粒子在磁場中的圓周運動，從找圓心求半徑，到求圓心角求時間，都要用到幾何知識和幾何方法。更何況還有一部分內容就是幾何光學，關于光的反射和折射以及全反射題目，更是用幾何知識和幾何方法解。有的物理題難，不是難在物理上，而是難在數學上，特別是幾何上。要搞清楚空間關系，非要畫圖不可。畫了圖，還要寫出幾何關系式，例如三角形邊角關系公式，三角函數公式，等等。高中物理解題方法11之1：分析法與綜合法（原卷版）(解析版)高中物理解題方法11之2：隔離法和整體法（原卷版）(解析版)高中物理解題方法11之3：逆向思維法（原卷版）(解析版)高中物理解題方法11之4：辨析法（原卷版）(解析版)高中物