微分中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理＝>羅必荅法則泰勒中值定理函數作圖若f

(x)滿足：f

(

x)

?

C[a,

b];f

(

x)

?

D(a,

b);f

(a)

=

f

(b).則至少$一點x

?

(a,b),使

f

(x)

=

0.y

=

f

(

x)bxy0

af

(a)x注：(1)f

(x)?

C[a,b];表示f(x)在[a,b]連續.(C:Continue)(2)f

(x)?

D(a,b);

表示f(x)在(a,b)可導.(D:Derivative

)幾何意義：滿足定理條件的曲線在(a,b)內存在與x軸至少有一實根平行的切線，f

￠(x)=0羅爾定理拉格朗日(Lagrange)中值定理x1x若f

(x)滿足：f

(

x)

?

C[a,

b];f

(

x)

?

D(a,

b);則至少$一點x

?

(a,b),使,b

-

abxo

ayAy

=

f

(

x)BCDf

(x)=

f

(b)

-

f

(a)或

f

(b)

-

f

(a)

=

f

(x)(b

-

a).幾何意義：滿足定理條件的曲線在(a,b)內必存在切線，其斜率為f

(

b

)

-

f

(

a

)

,b

-

a柯西(Cauchy)中值定理1g(x

)2X

X

=

g(

x)Y

=

f

(

x)o

g(a)Ag(x

)

g(b)BCD則至少$一點x

?

(a,b),g(b)

-

g(a)使得

f

(b)

-

f

(a)

=

f

￠(x)g￠(x)成立.若函數f(x),

g(x)滿足f

(x)、g(x)?

C[a,b];f

(x)、g(x)?

D(a,b),且g￠(x)?0;Yf

(b)f

(a)切線，斜率為f

(b)-f

(a)g(b)

-

g(a)幾何意義：滿足條件的曲線

X

=g(x)在(a,b)內必存在Y

=

f

(

x)定理（洛必達發則）

設xfi

a

xfi

a(2)在某U

0

(a),f

￠(x)、g￠(x)$，且g￠(x)?0;xfi

ag￠(

x)(3)lim

f

￠(x)存在（或￥

）.xfi

axfi

alim

f

(

x)

=

lim

f

￠(

x)

.g(

x)

g￠(

x)則(1)

lim

f

(

x)

=

lim

g(

x)

=

0(￥

);注：a

可為有限數或￥型未定式解法:洛必達法則0一.0

型及￥￥lim-

13

xxfi

0

etan

x

2ln

xxfi

0+00￥例1

lim

tan

x

2

=

0,xfi

0lim

ln

sin

x

=

￥

,xfi

0+lim

ln

sin

xlim(e

3

x

-

1)

=

0,xfi

0型未定式lim

ln

x

=

￥

,xfi

0+￥

型未定式.二、0

￥

,￥

-

￥

,00

,1￥

,￥

0型未定式解法例9解xfi

+￥求

lim

x

-2e

x

.(0

￥

)xfi

+￥

x

2原式=

lim

e(

)￥￥=

+￥

.的類型.關鍵:將其它類型未定式化為洛必達法則可解決0( ),

(

￥

)0

￥￥1.

0

￥

型步驟:

0

￥

10￥

,

或

0

￥

0

1

.x

(

￥

)￥=xlim

exfi

+￥

2

x2xlim

e=xfi

+￥解1sin

x

x-

1

).例11

求lim(xfi

0(

￥

-

￥

)x

sin

xxfi

00(

)0==

0.2.

￥-￥

型步驟:

￥

-

￥

1

-

1

0

-

0

.0

0

0

0原式=

lim

x

-

sin

x

=

lim

x

-

sin

xxfi

0x

2x

2xfi

0

2

xxfi

0lim

1

-

cos

x

=

lim

22

x￥

0

1￥00

0

￥

.取對數

0 ln

0￥

ln1

0

ln￥3.

00

,1￥

,￥

0

型步驟:[f

(x)]g

(x

)=eg(x

)ln

f

(x

)解例12

求

lim

xsin

x

.xfi

0+(

00

)原式=lim

esin

x

ln

xx

fi

0+lim

sin

x

ln

x=

e

xfi

0+xfi

0+

xfi

0+xln

x1xfi

0+lim

sin

x

ln

x

=

lim

x

ln

x

=

lim11(ln

x)2-1xlimxfi

0+=

-

lim

x(ln

x)2xfi

0+0(

)0=例12解xfi

0+求

lim

xsin

x

.(

00

)xfi

0+lim

sin

x

ln

x原式=lim

esin

x

ln

x

=e

xfi

0+lim

sin

x

ln

x

=

lim

x

ln

xxfi

0+

xfi

0+1xxfi

0+=

lim

ln

xxfi

0+1x

2-1lim

x

=

-

lim

xxfi

0+=

0=

e0

=

1.￥(

)￥=例16解求limxfi

￥1xfi

￥原式=lim

1

-sin

x

=lim(1

-sin

x).xfi

￥極限不存在洛必達法則失效.xxfi

￥原式=lim(1

+1

cos

x)=1.注意：洛必達法則的使用條件:

(3)

lim

f

￠(

x)

$g￠(

x).

(

)x

￥x

+

cos

x

￥三、泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor

)中值定理x0

?

(a,

b),f

(

x)2002!(

x

-

x

)

+

f

(

x

)=

f

(

x0

)

+

f

￠(

x0

)(

x

-

x0

)

+nn!f

(

n)

(

x

)+

0

(

x

-

x0

)+

Rn

(

x)其中Rn

(x)=0n+1(

x

-

x

)(n

+

1)!f

(

n+1)

(x)(x在x、x0之間)f(x)在(a,b)內具有(n+1)階導數那么"x

?

(a,b),有nk0

n

0

(

x

-

x

)

+

R

(

x)k

=0

k!f

(

k

)

(

x

)f

(

x)

=R

(

x)nn+1=

(

x

-

x0

)(n

+

1)!稱為f

(x)按(x

-x0

)的冪展開的n階泰勒公式f

(

n+1)

(x)0(x在x、x

之間)定理y

=f

(x)?

D(a,b),（函數在（a,b）上可導）若對"x

?

(a,b),有10.f

￠(x)?0,

則，f(x)

在(a,b)上單調上升函數20.

f

￠(

x)

￡

0,則，f(x)

是(a,b)上單調下降函數(

2

)

若"

x

?

(

a

,

b

)

,

f (

x

)

<

0

,

則

f

在(

a

,

b

)內嚴格單調減少f

￠(

x)

>

0xyoy

=

f

(

x)abABxyoy

=

f

(

x)abf

￠(

x)

<

0BA定義設f在(a,b)上有定義，如果

x0

?

(a,

b)

存在d

>

0,"

x

?

(

x0

-

d,

x0

+

d

)(a,b)，有則稱x0f

(

x0

)

>（<）f

(

x),是f(x)的極大（小）值點。f(x)一個極大(小)值。函數的極大值與極小值統稱為極值,函數的極大值與極小值點統稱為極值點.而f

(x0

)是定義設f是定義在(a,b)上的函數，x0

?

(a,b)若f

￠(x0

)=0被稱為是臨界點232例

求y

=

x

-

3x-1由y￠=

2(

x

-

x

3

)＝0，

得x

=

–1x

=0,y￠不存在所以臨界點集為{0,1.-1}極值點臨界點的臨界點不是局部極值點例：y

=x3x

=0

是駐點但是極（駐點）或f

在x0

處不可導時，x0f

的所有臨界點就是臨界點集定理（極值點的必要條件）設f

是定義在(a,b)上的函數，x0

?

(a,b)，x0值點，則必是f

的臨界點。xo

x0+-xy0x-

+定理（2

第一充分條件）設f

(x)在x0連續0且在某U

0

(x

)內可導.010.在x

兩側，f

(

x)的符號不變則x0不是極值點020.在x

兩側，f

(

x)的符號改變

則x0是極值點

且0

x

>

x

x

<

x0f

(

x)

<

0f

(

x)

>

0x0是極小值點oy0

x

>

x

x

<

x0f

(

x)

>

0f

(

x)

<

00x是極大值點設f

(x)在x0處二階可導是極大值點10.若f

(

x

)

<

0

x0020.若f

(

x

)

>

0

x0

0是極小值點定理(第二充分條件)且f

(

x0

)

=

0,則求函數在(a,b)的局部極值的步驟:（1）求函數f

在（a,b）中的臨界點集f

￠(

x)

=

0的點(駐點)或不可導點（2）列表判斷每一個臨界點是否為極值點，A）判斷

f

￠(

x)

在每一個臨界點兩側的正負（3）若是極值點，求出其值（極值）f

￠(

x0

)B)

若 存在，

判斷

f

￠(

x0

)

的正負不可導點駐點或是(a

,b

)內某點—極值點f

的最值點結論：(1) max

f

(

x

)

=

max{

f

(

a

)

,

f

(

b

)

,

f

(

駐點)

,

f

(不可導點)

}a

￡

x

￡bmin

f

(

x

)

=

min

{

f

(

a

)

,

f

(

b

)

,

f

(

駐點)

,

f

(

不可導點)

}a

￡

x

￡b(2)

f

(x

)在(a

,b

)只有一極值,那么,極大也即最大;極小也就是最小。}臨界點最大值與最小值，極值的應用f(x)

在[a,b]上連續或是a

，或是b閉區間[a,b]的最值步驟:1.求臨界點;比較區間端點及臨界點的函數值;最大的就是最大值,最小就是最小值;開區間(a,b)上的函數可能有極值（最值）也可能無極值（最值）注意:如果區間內部只有一個局部極值點,則這個局部極值點就是極值（最值點）.(最大值點或最小值點)不論f

在開區間還是閉區間上，xyoy

=

f

(

x)abx0xyoy

=

f

(

x)x0ab曲線的凹凸性xyoy

=

f

(

x)ayoa問題:如何研究曲線的彎曲方向?