第八章第七節一、方向導數

機動目錄上頁下頁返回結束二、梯度三、物理意義方向導數與梯度一、方向導數定義:若函數則稱為函數在點P處沿方向l

的方向導數.在點處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:機動目錄上頁下頁返回結束記作定理:則函數在該點沿任意方向

l

的方向導數存在,證明:由函數且有在點P可微,得機動目錄上頁下頁返回結束故機動目錄上頁下頁返回結束對于二元函數為,)的方向導數為特別:?當l與x軸同向?當l與x軸反向向角例1.求函數

在點P(1,1,1)沿向量3)的方向導數.機動目錄上頁下頁返回結束解:向量l的方向余弦為例2.

求函數在點P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方向導數.解:將已知曲線用參數方程表示為它在點P的切向量為機動目錄上頁下頁返回結束例3.設是曲面在點P(1,1,1)處指向外側的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向導數.在點P處沿求函數機動目錄上頁下頁返回結束二、梯度方向導數公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向導數取最大值：機動目錄上頁下頁返回結束1.定義即同樣可定義二元函數稱為函數f(P)在點P處的梯度記作(gradient),在點處的梯度機動目錄上頁下頁返回結束說明:函數的方向導數為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義函數筆在一娃點的紅梯度叨垂直維于該接點等駱值面程(或爛等值泊線)期,機動注目核錄享上頁和下明頁叢返回必結諸束稱為輝函數f的等值亭線.則L*上點P處的法向符量為同樣抵,趴對應勁函數有等值頓面(雕等量嶺面)當各偏導躁數不涌同時刑為零聞時,其上點P處的蓬法向寒量為指向述函數娛增大沉的方馳向.3.衛梯殃度的疼基本部運算咳公式機動鋪目僚錄閘上頁還下賀頁逼返回求結品束例4螺.證:試證機動栽目咱錄挪上頁垃下娛頁氣返回齒結障束處矢徑r的模,三、捧物理宮意義函數(物理量的分布)數量洋場(數湖性函未數)場向量巡壽場(矢倍性函但數)可微往函數梯度場(哥勢庭)如:亮溫抗度場碌,且電位竿場等如:館力筆場,決速度族場等(向術量場魄)注意池:任意響一個餃向量貼場不裁一定極是梯姻度場宜.機動糧目島錄鄭上頁墾下娃頁宏返回曾結綿束例5街.已知尊位于口坐標禁原點拆的點林電荷q在任雷意點試證證:利用抄例4撐的結培果這說猜明場足強:處所罵產生假的電東位為垂直銳于等漢位面印,且指籃向電閉位減茄少的務方向漁.機動林目胡錄裳上頁所下撕頁昨返回璃結踢束內容途小結1.訂方蜓向導脹數?三元諷函數在點沿方讓向l(方向功角的方穿向導慶數為?二元血函數在點的方墻向導跡數為沿方踩向l(方向變角為機動朱目牢錄敞上頁僅下值頁喪返回禿結限束2.痕梯珠度?三元苗函數在點處的暮梯度貝為?二元花函數在點處的漲梯度閑為3.必關誦系方向完導數凳存在偏導鑄數存留在??可微機動巡壽目爭錄允上頁孔下塑頁門返回辮結堆束梯度在方向l上的投影.思考示與練刊習1.假設挖函數(1)寨求餃函數顯在點M(菜1,咬1乞,頃1監)處沿理曲線在該霸點切扁線方胡向的劑方向泛導數笛;(2)鄰求勵函數庸在M(太1,澤1固,違1奇)處的梯度與(萌1)時中切線妨方向的夾襖角.2.P7白3題垂16機動蟲目匆錄吃上頁猜下鵲頁傍返回漫結歷束曲線1.王(豪1)在點解答租提示仿:機動穗目輸錄幻玉上頁行下顏頁訊返回賤結招束函數沿l的方向導數M(1蛙,1獨,1郊)處切裙線的忽方向襪向量機動匠目勒錄煎上頁堆下雷頁劫返回般結累束2.P7扎3題16P5姥1細2，斑3，盜6，刊7，掉8，訊9，叔10作業第八削節捷目聾錄串上頁夾下襯頁辜返回宋結扮束備用共題1.函數在點處的梯度解:則注意x,y,z具有件輪換社對稱構性(9哲2考衫研)機動亮目拍錄啊上頁亂下愛頁機返回割結太束指向B(艱3,