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文檔簡(jiǎn)介
問(wèn)題:你知道趙州橋嗎?它是1400多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋,是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m,你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎?趙州橋主橋拱的半徑是多少?問(wèn)題情境·O可以發(fā)現(xiàn):圓是軸對(duì)稱圖形,任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸.實(shí)踐探究把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折,重復(fù)幾次,你發(fā)現(xiàn)了什么?由此你能得到什么結(jié)論?活動(dòng)一在圓上畫(huà)出直徑CD,弦AB,使CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧?為什么??思考·OABCDE活動(dòng)二線段:
AE=BE⌒⌒弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒猜想:如何證明?·OABCDE已知:如圖,CD是⊙O的直徑,且CD⊥AB.證明:連接OA,OB,則OA=OB∵CD⊥AB∴AE=BE
∴AD=BD,⌒⌒求證:AE=BE且AD=BD,⌒⌒⌒⌒AC=BC⌒⌒AC=BC這種方法是證明一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形的常用方法∴CD為AB的垂直平分線,A關(guān)于直線CD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B.垂徑定理垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.∵
CD是直徑,CD⊥AB,∴
AE=BE,⌒⌒AC
=BC,⌒⌒AD=BD.幾何語(yǔ)言:1,想一想:下列圖形是否具備垂徑定理的條件?如果不是,請(qǐng)說(shuō)明為什么?是不是,因?yàn)闆](méi)有垂直是不是,因?yàn)镃D沒(méi)有過(guò)圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE活動(dòng)三2,如圖,在⊙O中,弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,求⊙O的半徑.·OABE解:答:半徑為5cm.在Rt△AOE中
∵
OE⊥AB
總結(jié):
解決有關(guān)弦的問(wèn)題,經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的弦心距,或作垂直于弦的直徑,連結(jié)半徑等輔助線,為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.歸納總結(jié)問(wèn)題:你知道趙州橋嗎?它是1400多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋,是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m,你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎?趙州橋主橋拱的半徑是多少?問(wèn)題情境ABOCD解:如圖,用AB表示主橋拱,設(shè)AB
所在圓的圓心為O,半徑為R.經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D,與弧AB交于點(diǎn)C,則D是AB的中點(diǎn),C是弧AB的中點(diǎn),CD就是拱高.∴AB=37m,CD=7.23m.解得R≈27.3(m)即主橋拱半徑約為27.3m.=18.52+(R-7.23)2
∴AD=AB=18.5m,OD=OC-CD=R-7.23.
在圓中有關(guān)弦長(zhǎng)a,半徑r,弦心距d(圓心到弦的距離),弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí),常常通過(guò)連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形,利用垂徑定理和勾股定理求解.方法歸納涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法弦a,弦心距d,弓形高h(yuǎn),半徑r之間有以下關(guān)系:弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDOhrd
d+h=r
OABC·活動(dòng)四能否互換結(jié)論和條件呢?如何證明?探究:·OABCDE已知:如圖,CD是⊙O的直徑,AB為弦,且AE=BE.證明:連接OA,OB,則OA=OB∵AE=BE∴CD⊥AB∴AD=BD,⌒⌒求證:CD⊥AB,且AD=BD,⌒⌒⌒⌒AC=BC⌒⌒AC=BC活動(dòng)五垂徑定理推論
平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。∴
CD⊥AB,∵CD是直徑,AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD
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