挑戰2023年中考數學壓軸題之學霸秘笈大揭秘(全國通用)

專題30代數中的新定義問題

典例剖析.

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【例1】(2022?重慶)對于一個各數位上的數字均不為0的三位自然數N,若N能被它的各

數位上的數字之和機整除，則稱N是,〃的“和倍數”.

例如：：247+(2+4+7)=247+13=19,二247是13的“和倍數”.

又如：V2144-(2+1+4)=214+7=30...4,...214不是“和倍數”.

(1)判斷357,441是否是“和倍數”？說明理由；

(2)三位數A是12的''和倍數”，a,b,c分別是數A其中一個數位上的數字，且。>匕

>c.在a,6,c中任選兩個組成兩位數，其中最大的兩位數記為尸(A),最小的兩位數

記為G(A),若F(A)：G(4)為整數,求出滿足條件的所有數A.

16

【例2】(2022秋?西城區校級期中)將〃個0或1排列在一起組成了一個數組，記為A=(“，

Z2.—tn'),其中，fl,及，…，5都取。或1,稱4是一個〃元完美數組(〃22且〃為整

數).

例如：(0,1),(1,1)都是2元完美數組，(0,0,1,1),(1,0,0,1)都是4元完

美數組，但(3,2)不是任何完美數組.定義以下兩個新運算：

新運算1：對于x和y,x*y—(x+y)-|x-j|,

新運算2：對于任意兩個"元完美數組M=(xi,X2,―,X”)和2=(yi,yi,―,y”)，

1

.(xi*yi+x2*)2+…+%*加)，例如：對于3元完美數組M=(1,1,1)和N=(0,

1

0,1),有(0+0+2)=1.

(1)在(0,0,0),(2,0,1),(1,1,1,1),(1,1,0)中是3元完美數組的有：；

(2)設4=(1,0,1),B=(1,1,1),則A<8)8=；

(3)已知完美數組M=(1.1,1,0)求出所有4元完美數組N,使得A/(8)N=2；

(4)現有m個不同的2022元完美數組，機是正整數，且對于其中任意的兩個完美數組

C,D滿足C(8>0=0；則機的最大可能值是多少？寫出答案，并給出此時這些完美數組

的一個構造.

【例31(2022秋?茅箭區校級月考)對x,y定義一種新運算T,規定T(x,y)="等(其

中a,〃是非零常數，且x+y/0),這里等式右邊是通常的四則運算.如：7(3,1)=

ax32+bxl29a+b丁,八arriz+4b

3+13+1m-2

(1)填空：T(4,-1)=(用含a,6的代數式表示)；

(2)若T(-2,0)=-2,且T(5,-1)=6.①求a與人的值；

②若T(3巾-10,-3M=T(-3m,3>m-10),求m的值.

【例4】(2022?安順)在平面直角坐標系中，如果點尸的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為

11

和諧點.例如：點(1,1),(-,-),(-V2,-V2),……都是和諧點.

22

(1)判斷函數y=2尤+1的圖象上是否存在和諧點，若存在，求出其和諧點的坐標；

(2)若二次函數ynaf+Gx+c(a#0)的圖象上有且只有一個和諧點(|,|).

①求“，c的值；

②若IWxW"?時，函數尸^/⑹^+/(aWO)的最小值為-1,最大值為3,求實數〃?

的取值范圍.

【例5】(2022?南通)定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都不大于〃("NO)的點叫做這

111

個函數圖象的階方點例如，點(？-)是函數y=x圖象的階方點”；點(2,

1)是函數)，=|圖象的“2階方點”.

(1)在①(-2,-1)；②(-1,-1)；③(1,1)三點中，是反比例函數y=［圖象的

“1階方點”的有(填序號)；

(2)若y關于x的一次函數y=ar-3a+l圖象的“2階方點”有且只有一個，求a的值；

(3)若y關于x的二次函數)=-(x-〃)2-2〃+1圖象的“”階方點”一定存在，請直

接寫出〃的取值范圍.

滿分訓練.

解答題(共20題)

1.(2022?渝中區校級模擬)材料1：若一個數各個數位上數字之和能被9整除，則這個數

本身也能被9整除；

材料2：如果一個各個數位上的數字均不為0的四位正整數m可以被9整除，且加的百

位上的數字比十位上的數字大2,則稱m為“夠二數”;將m的千位數字與個位數字交換，

百位數字與十位數字交換，得到的數為加，?01)=叱嚅膂，例如：〃?=8424,???

8+4+2+4=18=9X2,4-2=2,A8424是“夠二數”,F(8424)=改)-"^+如、=6

(1)判斷1314,6536是否是“夠二數”，請說明理由，如果是“夠二數”，請計算尸(機)

的值；

(2)若一個四位正整數幾=麗是“夠二數”，且々為5的倍數，請求出所有的“夠

F(n)

二數”〃的值.

2.(2022?九龍坡區校級模擬)對于任意一個四位數〃?，若滿足千位上的數字與個位上的數

字之和是百位上的數字與十位上的數字之和的2倍，則稱這個四位數“為“倍和數”、例

如：

，〃=6132,：6+2=2X(1+3),二6132是倍和數”；

%=1374,；1+4#2X(3+7),二1374不是“倍和數”;

(1)判斷1047和4657是否為“倍和數”?并說明理由.

(2)當一個“倍和數”，"千位上的數字與個位上的數字不相等，且千位上的數字與個位

上的數字之和等于8時，記這個“倍和數”利的千位上的數字與個位上的數字之差的絕

對值為7(〃?),記百位上的數字與十位上的數字之差的絕對值為R(m),令G(nz)=僦，

當G(〃?)能被3整除時，求出滿足條件的所有“倍和數”m.

3.(2022?兩江新區模擬)材料一：若一個兩位數恰好等于它的各位數字之和的4倍，則稱

這個兩位數為“巧數”.

材料二：一個四位數N=麗滿足各個數位數字都不為0,且它的千位數字與百位數字

組成的兩位數同，以及十位數字與個位數字組成的兩位數下均為“巧數”，則稱這個四位

數為“雙巧數”.若p=衣-bd,q=ad—be,則記F(N)=q-p.

(1)請任意寫出兩個“巧數”，并證明任意一個“巧數”的個位數字是十位數字的2倍；

(2)若s,/都是“雙巧數”，其中s=3010+100x+10y+z,尸1100加+400+10幾+2小(K,

z,1WW4,且x,y,z,tn,n,r均為整數)，規定K(s,f)

=黑，當/(s)+F(/)=12時，求K(s,t)的最大值.

4.(2022?大足區模擬)對任意一個四位正整數〃?，如果〃?的百位數字等于個位數字與十位

數字之和，根的千位數字等于十位數字的2倍與個位數字之和，那么稱這個數，”為“和

諧數”.例如：皿=7431,滿足1+3=4,2X3+1=7,所以7431是“和諧數”.例如：，*

=6413,滿足1+3=4,但2X1+3=5￥6,所以6413不是"和諧數".

(1)判斷8624和9582是不是“和諧數”，并說明理由；

(2)若，〃是“和諧數”，且m與22的和能被13整除，求滿足條件的所有“和諧數”

5.(2021?北硝區校級模擬)定義一種新運算：對于實數x、y,有L(x,y)=ax+by(其中

a,。均為非零常數)，由這種運算得到的數稱之為線性數，記為L(x,y),其中x,y叫

做線性數的一個數對，若實數x,)，都取正整數，稱這樣的線性數為正格線性數，這時的

x,y叫做正格線性數的正格數對.

31

(1)若L(x,y)=2x+7y,則L(3,-2)=_______,L(一，-1)=_______；

2/

(2)已知L(5,工)=毀，L(2,-)=8.

335

①若LCm-\,m+2)為正格線性數，求滿足66<L(m-1,m+2)<99的正格數對有

哪些？

②若正格線性數L(x,y)=55,滿足這樣的正格數對中，有滿足問題①的數對嗎，若有,

請找出；若沒有，請說明理由.

6.(2022秋?岳麓區校級期中)對x定義一種新運算E,規定E(x)=(ax+2)(26x-3),

其中a,b是非零常數.如：當”=1,6=1時，E(x)=(x+2)(2x-3)—2x2+x-6.

1

(1)當a,b滿足(a—分2+|b+6|=0時，計算E(x)；

(2)已知E(2-3x)=_2x_竽,請求出，的值;

F(x)-2x(6%+3)<2/c

(3)若當a=3,6=2時,關于x的不等式組恰好有5個

4E(2+x)-E(2x-1)<228

整數解，求k的取值范圍.

7.(2022春?五華區校級期中)閱讀材料：對實數a、b,定義T(a,b)的含義為，當

b時T(a,b)=a+b；當a>匕時，T(a,b)=a-b.例如：7(1,3)=1+3=4,T(.2,

-1)-2-<-1)=3；

根據以上材料，回答下列問題：

(1)若7(%2+[,-])=6,則m=；

(2)已知x+y=8,且x>y,求T(4,x)-T(4,y)的值.

8.(2022春?巴中期末)定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1,我們就稱這兩個方程

為“美好方程”.例如：方程2x-1=3和x+l=0為“美好方程”.

(1)請判斷方程4x-(x+5)=1與方程-2y-y=3是否互為“美好方程”；

(2)若關于x的方程:+機=0與方程3x-2=x+4是“美好方程”，求m的值；

111

(3)若關于x方程與=/+l=3x+k是“美好方程”，求關于y的方程

202220222022

(y+2)+l=3y+&+6的解.

9.(2022春?岳麓區校級期末)對a,。定義一種新運算T,規定：T(a,b)=(2a-b)Cax

-勿)(其中x,y均為非零實數).例如：7(1,1)=x-y.

(1)已知關于x,y的方程組3)=a+3,若,求2x-y的取值范圍；

(7(2,0)=8a

(2)在(1)的條件下，已知平面直角坐標系上的點A(x,y)落在坐標軸上，將線段

04沿x軸向右平移2個單位，得線段04，坐標軸上有一點B滿足三角形BOA的面積

為15,請直接寫出點B的坐標.

10.(2022春?遵義期末)我們規定.關于x,y的二元一次方程ar+by=c,若滿足a+6=c,

則稱這個方程為“幸福”方程.例如：方程2x+3y=5,其中a=2,h=3,c=5,滿足

=c,則方程2x+3y=5是“幸福”方程，把兩個“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程

組.根據上述規定，回答下列問題，

(1)判斷方程3x+5y=8“幸福”方程(填“是”或“不是”)；

(2)若關于x,y的二元一次方程日+(&-1)y=9是“幸福”方程，求女的值；

⑶若是關于x,)，的“幸福”方程組像:黑'P廠”1的解，求4P+7q的

值.

11.(2022秋?開福區校級期中)定義：若一個函數圖象上存在縱坐標是橫坐標2倍的點，

則把該函數稱為“青一函數”，該點稱為“青一點”，例如：“青一函數"y=x+l,其“青

一點”為(1，2).

(1)①判斷：函數y=2x+3“青一函數”(填“是”或“不是”)；

②函數y=［的圖象上的青一點是；

(2)若拋物線y=(m-1)/+血％+上有兩個“青一點”，求機的取值范圍；

(3)若函數y=x2+(m—k+2)x+E3的圖象上存在唯一的一個“青一點”，且當-

lW，"W3時，〃的最小值為k,求無的值.

12.(2022秋?雨花區期中)2022年10月16日，習近平總書記在中共二十大會議開幕式上

作報告發言，在闡述第四個要點“加快構建新發展格局，著力推動高質量發展”時，提

出了兩個“高水平”，即“構建高水平社會主義市場經濟體制”和“推進高水平對外開放”

在數學上，我們不妨約定：若函數圖象上存在不同的兩點A(Xi,>1)、B(X2,”)(xi

#m)，滿足縱坐標相等，即yi=?,則稱點4、8為這個函數的一對“高水平點”，稱這

個函數為“高水平函數

(1)若點P(2022,p)和點Q(q,2023)為“高水平函數"y=|x+l|圖象上的一對“高

水平點”，求p+4的值；

(2)關于x的函數)，=履+方(鼠b為常數)是“高水平函數”嗎？如果是，指出它有多

少對“高水平點”，如果不是，請說明理由；

(3)若點、M(1,m)>N(3,〃)、P(xo,yo)都在關于x的“高水平函數"

(〃、b、c為常數，且。>0)的圖象上，點M、尸為該函數的一對“高水平點”，且滿足

m<n<c,若存在常數w,使得式子：w+上>-%)2-xo+2恒成立，求w的取值范圍.

13.(2022秋?惠水縣期中)九年級數學興趣小組在課外學習時遇到這樣一個問題：

定義：如果二次函數y=m/+bix+ci(mWO,ai,b\,ci是常數)與丫=〃2/+歷^+<?2(“2

W0,42,bl,Cl是常數)滿足41+。2=0,b\=b2,Cl+C2=0,則這兩個函數互為“旋轉

函數”.求函數y=2f-3x+l的“旋轉函數”.

小組同學是這樣思考的，由函數y=27-3x+l可知，m=2,b\=-3,ci=l,根據ai+及

=0,b\=bi,ci+c2=0,求出“2,b2,C2就能確定這個函數的"旋轉函數

請參照小組同學的方法解決下面問題：

(1)函數y=7-4x+3的“旋轉函數”是；

(2)若函數y=5x2+(/?-1)x+n與y--57-nx-3互為"旋轉函數"，求(tn+n)2022

的值；

(3)己知函數y=2(x-1)(x+3)的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,點

A,B,C關于原點的對稱點分別是Ai,Bi,Ci,試求證：經過點Ai,Bi,Ci的二次函

數與y=2(x-1)(x+3)互為“旋轉函數”.

14.(2022秋?長沙期中)在平面直角坐標系中，我們不妨把縱坐標是橫坐標3倍的點稱為

“一中點”，例如點(1,3),(2,6),(V3-1,3V3-3),……都是"一中點”.例如：

拋物線-4上存在兩個“一中點”Pi(4,12),Pi(-1,T).

(1)在下列函數中，若函數圖象上存在“一中點”，請在相應題目后面的括號中打“J”,

若函數圖象上不存在“一中點”的打“義”.

①y=2x-1；②y=/T；③y=f+4.

122

(2)若拋物線丫=4/+(-/M+3)x-^m2-m+\上存在"一中點”，且與直線y=3x相交

于點A(xi,yi)和B(.X2,”)，令，=xj+x22,求，的最小值；

(3)若函數)，=//+(匕-c+3)x+a+c-2的圖象上存在唯一的一個"一中點"，且當-1

W6W2時，a的最小值為c,求c的值.

15.(2022春?雨花區校級月考)定義：若關于x的一元二次方程加+云+。=0(”/0)的兩

個實數根為也如(xi<%2),分別以XI,眼為橫坐標和縱坐標得到點M(XI,X2),則

稱點M為該一元二次方程的衍生點.

(1)若方程為/-3x=0,求出該方程的衍生點"的坐標；

(2)若關于x的一元二次方程為7-(5瓶+1)x+5,*=0的衍生點為M,過點M向x軸

和y軸作垂線，兩條垂線與坐標軸恰好圍成一個正方形，求機的值；

(3)是否存在6,c,使得不論k(Z#0)為何值，關于x的方程/+法+C=0的衍生點M

始終在直線y=H+2(A+3)的圖象上？若有，請求出從c的值；若沒有，請說明理由.

16.(2022秋?如皋市校級月考)定義：一個函數圖象上若存在橫、縱坐標相等的點，則稱

該點為這個函數圖象的“1倍點”，若存在縱坐標是橫坐標的2倍的點，則稱該點為這個

函數圖象的“2倍點”.例如，點(-1,-1)是函數y=4x+3圖象的“1倍點”，點(一|,

-3)是函數y=4x+3圖象的“2倍點

(1)函數y=7-8的圖象上是否存在“2倍點”？如果存在，求出“2倍點”；

(2)若拋物線上有且只有一個“1倍點”E,該拋物線與x軸交于“、N兩

點(點M在點N的左側).當”>1時，求：

①C的取值范圍；

②直接寫出/EMN的度數.

17.(2022秋?開福區月考)在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標與縱坐標相等的點稱

為“立信點”，例如點(-1,-1),(0,0),(2022,2022)…，都是“立信點”.

(1)①函數y=-2x+l圖象上的“立信點”坐標為；

②函數y=$+2x-圖象上的“立信點”坐標為.

(2)若二次函數y=/+2(A+2)x+k1的圖象上存在A(xi,xi),B(X2,X2)兩個“立

信點”和一+—=-1且求k的值；

X1x2

(3)若二次函數y=o?+6x+l(a,b是常數，a>0)的圖象上有且只有一個“立信點”，

令s=^+4a,當時，s有最小值試求f的值.

18.(20