廣西壯族自治區貴港市一德中學2021年高二數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：

按照上面的規律，第個“金魚”圖需要火柴棒的根數為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.圓心在曲線上，且與直線相切的面積最小的圓的方程為（）A．B．C．

D．參考答案：A3.若函數f(x)＝有零點，則實數b的取值范圍是

()A．（1,）

B．(,1

C．（0,）

D．(,0參考答案：C略4.在△ABC中，已知a=x，b=2，B=45°，如果三角形有兩解，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．0＜x＜2參考答案：A【考點】正弦定理．【專題】計算題；轉化思想；分析法；解三角形．【分析】由題意判斷出三角形有兩解時，A的范圍，通過正弦定理及正弦函數的性質推出x的范圍即可．【解答】解：由AC=b=2，要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，半徑為2的圓與BA有兩個交點，當A=90°時，圓與AB相切；當A=45°時交于B點，也就是只有一解，∴45°＜A＜135°，且A≠90°，即＜sinA＜1，由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a=x==2sinA，∵2sinA∈（2，2）．∴x的取值范圍是（2，2）．故選：A．【點評】此題考查了正弦定理，正弦函數的圖象與性質，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵，屬于中檔題．5.已知等比數列的前n項和為A，前2n項和為B，公比為q，則的值為（）A．q B．q2 C．qn﹣1 D．qn參考答案：D【考點】等比數列的前n項和；等比數列的通項公式．【分析】根據題意，分析可得=，由等比數列通項公式可得，an+1=a1qn，an+2=a2qn，…a2n=anqn，將其代入=中，計算可得答案．【解答】解：根據題意，等比數列的其前n項和為A，前2n項和為B，即A=Sn=a1+a2+…+an，B=S2n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a2n，B﹣A=an+1+an+2+…+a2n，則=，又由an+1=a1qn，an+2=a2qn，…a2n=anqn，故==qn；故選：D．6.已知函數f（x）=x3在點P處的導數值為3，則P點的坐標為（）A．（﹣2，﹣8） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣2，﹣8）或（2，8） D．（﹣1，﹣1）或（1，1）參考答案：D【考點】導數的運算．【專題】計算題．【分析】求出f（x）的導數，令導數等于3，求出P的橫坐標，代入f（x）求出P的縱坐標．【解答】解：∵f′（x）=3x2令3x2=3解得x=±1代入f（x）的解析式得P（1，1）或（﹣1，﹣1）故選D【點評】本題考查導數的運算法則、考查如何求函數的導函數值：先求出導函數，在將自變量的值代入．7.在100個零件中，有一級品20個，二級品30個，三級品50個，從中抽取20個作為樣本：①采用隨機抽樣法，將零件編號為00，01，02，…，99，抽出20個；②采用系統抽樣法，將所有零件分成20組，每組5個，然后每組中隨機抽取1個；③采用分層抽樣法，隨機從一級品中抽取4個，二級品中抽取6個，三級品中抽取10個。則（）

A.采用不同的抽樣方法，這100個零件中每個被抽到的概率各不相同

B.①②兩種抽樣方法，這100個零件中每個被抽到的概率都是，③并非如此

C.①③兩種抽樣方法，這100個零件中每個被抽到的概率都是，②并非如此

D.不論采取哪種抽樣方法，這100個零件中每個被抽到的概率都是參考答案：D8.盒中有只螺絲釘，其中有只是不合格的，現從盒中隨機地抽取個，那么恰有兩只不合格的概率是（

）A

B

C

D參考答案：B略9.已知等差數列{an}的公差d≠0,若a5、a9、a15成等比數列,那么公比為（

）A

B

C

D參考答案：C10.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a2=4，S10=110，則的最小值為（）A．7 B．8 C． D．參考答案：D【考點】等差數列的前n項和；數列的函數特性．【分析】設等差數列{an}的公差為d，由已知易得an和Sn，代入可得，由基本不等式可求．【解答】解：設等差數列{an}的公差為d，則，解得故an=2+2（n﹣1）=2n，Sn=2n+=n2+n所以==≥=，當且僅當，即n=8時取等號，故選D【點評】本題考查等差數列的通項公式和求和公式，涉及基本不等式求最值，屬基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則 參考答案：12.給出下列命題：①直線l的方向向量為=（1，﹣1，2），直線m的方向向量=（2，1，﹣），則l與m垂直；②直線l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），則l⊥α；③平面α、β的法向量分別為=（0，1，3），=（1，0，2），則α∥β；④平面α經過三點A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t=1．其中真命題的是．（把你認為正確命題的序號都填上）參考答案：①④【考點】平面的法向量．【分析】①根據直線l、m的方向向量與垂直，得出l⊥m；②根據直線l的方向向量與平面α的法向量垂直，不能判斷l⊥α；③根據平面α、β的法向量與不共線，不能得出α∥β；④求出向量與的坐標表示，再利用平面α的法向量，列出方程組求出u+t的值．【解答】解：對于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴?=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直線l與m垂直，①正確；對于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴?=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l∥α或l?α，②錯誤；對于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴與不共線，∴α∥β不成立，③錯誤；對于④，∵點A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；則u+t=1，④正確．綜上，以上真命題的序號是①④．故答案為：①④．13.已知z=2x+y，x，y滿足且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是

。參考答案：14.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為____________參考答案：315.橢圓若橢圓的對稱軸在坐標軸上，兩焦點與兩短軸端點正好是正方形的四個頂點，又焦點到同側長軸端點的距離為，則橢圓的方程為

．參考答案：【考點】橢圓的標準方程．【專題】計算題；分類討論；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】由題意推出橢圓的關系，b=c，利用焦點到同側長軸端點距離為，求出a，b，即可求出橢圓的方程．【解答】解：因為橢圓的對稱軸在坐標軸，兩焦點與兩短軸的端點恰好是正方形的四個頂點，所以b=c，a=b，又焦點到同側長軸端點距離為，即a﹣c=，即a﹣b=，解得a=，b=c=1，所以當焦點在x軸時，橢圓的方程為：=1；當焦點在y軸時，橢圓的方程為=1．故答案為：．【點評】本題考查橢圓的方程的求法，橢圓的基本性質，考查計算能力，屬于中檔題．16.用0到9這10個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為

參考答案：328略17.過拋物線y=f（x）上一點A（1，0）的切線的傾斜角為45°則f′（1）=

．參考答案：1【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程；63：導數的運算．【分析】確定點A即為切點，再根據函數的導數就是函數在此點的切線的斜率，利用斜率與傾斜角的關系，從而來求出f′（1）．【解答】解：∵點A（1，0）滿足拋物線，∴點A即為切點．∵切線的傾斜角為45°，∴y′=f′（1）=tan45°=1．故答案為1．【點評】本題考查函數的導數的幾何意義，同時考查了直線的傾斜角和斜率的關系，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）甲、乙、丙三種食物的維生素含量及成本如下表所示食物類型甲乙丙維生索C(單位／kg)300500300維生素D(單位／kg)700100300成本(元／kg)543某工廠欲將這三種食物混合成100kg的混合食物，設所用食物甲、乙、丙的重量分別為xkg、ykg、zkg．（1）試用含x、y的式子表示混合食物的成本P（元）；（2）若混合食物至少需含35000單位維生素C及40000單位維生素D，問x、y、z取什么值時，混合食物的成本最少?參考答案：（本小題滿分14分）甲、乙、丙三種食物的維生素含量及成本如下表所示食物類型甲乙丙維生索C(單位／kg)300500300維生素D(單位／kg)700100300成本(元／kg)543某工廠欲將這三種食物混合成100kg的混合食物，設所用食物甲、乙、丙的重量分別為xkg、ykg、zkg．（1）試用含x、y的式子表示混合食物的成本P（元）；（2）若混合食物至少需含35000單位維生素C及40000單位維生素D，問x、y、z取什么值時，混合食物的成本最少?（1）解：依題意得

……………2分

由，得，代入，

得.

……………4分依題意知、、要滿足的條件為

………7分把代入方程組得……10分如圖可行域（陰影部分）的一個頂點為.…12分讓目標函數在可行域上移動,由此可知在處取得最小值.………13分∴當(kg),(kg),(kg)時,混合食物的成本最少.…14分略19.（本小題滿分12分）已知a，b，c是全不相等的正實數，求證：.參考答案：（方法一）

∵a,b,c全不相等，∴全不相等

∴＞2，＞2，＞2

三式相加得，＞6

∴＞3

即＞（方法二）要證＞3只需證明＞3即證＞6

而事實上，由a,b,c是全不相等的正實數，∴＞2，＞2，＞2

∴＞6∴＞3得證。

20.（本題滿分10分）若，求證：.參考答案：見解析………5分

所以，原不等式得證。………………10分21.（本題滿分12分）如圖，S(1，1)是拋物線為上的一點，弦SC、SD分別交軸于A、B兩點，且SA=SB。（1）求證：直線CD的斜率為定值；（2）延長DC交軸于點E，若，求的值。參考答案：22.某中學食堂定期從糧店以每噸1500元的價格購買大米，每次購進大米需支付運輸費

100元．食堂每天需用大米l噸，貯存大米的費用為每噸每天2元（不滿一天按一天計），假

定食堂每次均在用完大米的當天購買．（1）該食堂隔多少天購買一次大米，可使每天支付的總費用最少？（2）糧店提出價格優惠條件：一次購買量不少于20噸時，大米價格可享受九五折（即原價的95%），問食堂可否接受此優惠條件？請說明理由．參考答案：【考點】基本不等式在最值問題中的應用．【分析】（1）設每n天購一次，即購n噸，則庫存總費用為2[n+（n﹣1）+…+2+1]=n（n+1）．即可得到平均每天費用y1=，利用基本不等式即可得出最小值．（2）若接受優惠，每m天購一次，即購m噸（m≥20），則平均每天費用y2=．利用導數研究其單調性，即可得出其最小值．【解答】解：（1）設每n天購一次，即購n噸，則庫存總費用為2