圓的基本性質(1)理解圓及其有關概念b

(2)了解弧、弦、圓心角的關系a(3)探索并了解點與圓的位置關系

c⑷探索圓的性質c⑸了解圓周角與圓心角的關系、直徑所對圓周角的特征a⑹了解三角形的外心a6/24/20231知識體系圓基本性質直線與圓的位置關系圓與圓的位置關系概念對稱性垂徑定理圓心角、弧、弦之間的關系定理圓周角與圓心角的關系切線的性質切線的判定弧長、扇形面積和圓錐的側面積相關計算位置分類性質6/24/20232圓的定義辨析籃球是圓嗎？圓必須在一個平面內以3cm為半徑畫圓，能畫多少個？以點O為圓心畫圓，能畫多少個？由此，你發現半徑和圓心分別有什么作用？半徑確定圓的大小；圓心確定圓的位置圓是“圓周”還是“圓面”？圓是一條封閉曲線圓周上的點與圓心有什么關系？6/24/20233點與圓的位置關系你發現點與圓的位置關系是由什么來決定的呢？如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則：點在圓上

d=r點在圓內

d<r點在圓外

d>r6/24/20234經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形叫做圓的內接三角形。問題1：如何作三角形的外接圓？如何找三角形的外心？問題2：三角形的外心一定 在三角形內嗎？∠C＝90°▲ABC是銳角三角形▲ABC是鈍角三角形6/24/20235垂直于弦的直徑及其推論6/24/20236從特殊到一般想一想：將一個圓沿著任一條直徑對折，兩側半圓會有什么關系？性質：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。6/24/20237垂徑定理垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。6/24/20238判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？注意：定理中的兩個條件（直徑，垂直于弦）缺一不可！定理辨析6/24/20239練習OABE若圓心到弦的距離用d表示，半徑用r表示，弦長用a表示，這三者之間有怎樣的關系？6/24/202310變式1：AC、BD有什么關系？變式2：AC＝BD依然成立嗎？變式3：EA＝____,EC=_____。FDFB變式4：______ AC=BD.OA=OB變式5：______ AC=BD.OC=OD變式練習6/24/202311如圖，P為⊙O的弦BA延長線上一點，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半徑。MAPBO輔助線關于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。圓心到弦的距離、半徑、弦長構成直角三角形，便將問題轉化為直角三角形的問題。6/24/202312 （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧； （2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧； （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所對的另一條弧。推論16/24/202313如圖，CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么結論？推論2弧AE＝弧BF圓的兩條平行弦所夾的弧相等。FOBAECD6/24/202314圓心角、弧、弦、

弦心距之間的關系6/24/202315圓的性質圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸。圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。圓還具有旋轉不變性，即圓繞圓心旋轉任意一個角度α，都能與原來的圖形重合。6/24/202316猜想與證明如圖，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`。猜想：弧AB與弧A`B`，AB與A`B`，OC與OC`之間的關系，并證明你的猜想。定理

相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。在同圓或等圓中，OABCA'B'C'6/24/202317圓心角所對的弧相等，圓心角所對的弦相等，圓心角所對弦的弦心距相等。推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。題設結論在同圓或等圓中(前提)圓心角相等（條件）定理推論6/24/2023181°圓心角1°弧CDn°圓心角n°弧把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的圓心角是1°的角。1°的圓心角所對的弧叫做1°的弧。圓心角的度數和它所對的弧的度數相等。一般地，n°的圓心角對著n°的弧。弧的度數6/24/202319圓周角6/24/202320圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角。圓心角:頂點在圓心的角.看清要點6/24/202321一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半定理化歸化歸圓周角定理分類討論完全歸納法數學思想6/24/2023221、已知∠AOB＝75°，求：∠ACB2、已知∠AOB＝120°，求：∠ACB3、已知∠ACD＝30°，求：∠AOB4、已知∠AOB＝110°，求：∠ACB6/24/202323推論定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。也可以理解為：一條弧所對的圓心角是它所對的圓周角的二倍；圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半。弧相等，圓周角是否相等？反過來呢？什么時候圓周角是直角？反過來呢？直角三角形斜邊中線有什么性質？反過來呢？6/24/202324OBADEC如圖，比較∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小同弧所對的圓周角相等如圖，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么關系？反過來呢？DCEBFAO等弧所對的圓周角相等；在同圓中，相等的圓周角所對的弧也相等DCEO1BFAO2如圖，⊙O1和⊙O2是等圓，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么關系？反過來呢？等圓也成立6/24/202325推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。思考：1、“同圓或等圓”的條件能否去掉？2、判斷正誤：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個圓周角中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等。FED6/24/202326推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3 如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。什么時候圓周角是直角？反過來呢？直角三角形斜邊中線有什么性質？反過來呢？6/24/202327關于等積式的證明如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OP⊥AB，弦PD交AB于C，求證：PA2＝PC·PDCDPBAO經驗：證明等積式，通常利用相似；找角相等，要有找同弧或等弧所對的圓周角的意識；6/24/202328如圖，弦AB和CD交于點P,且CD是∠ACB的平分線問題（1）：你能找出圖中相等的圓周角和相等的線段嗎?問題（2）：圖中有哪些相似的三角形？問題（3）：若點C在圓上上運動（不和A，B重合），在此運動過程中，哪些線段是不變的，哪些線段發生了改變？6/24/202329如圖，弦AB和CD交于點P,且CD是∠ACB的平分線問題（4）：若弦AB=,∠BAD=30°,在點C運動的過程中,四邊形ADBC的最大面積為多少?此時∠CAD等于多少度?6/24/202330如圖，弦AB和CD交于點P,且CD是∠ACB的平分線問題（5）：若弦AB=,∠BAD=30°,在點C運動的過程中,當∠CAD等于多少度時,四邊形ADBC是梯形?證明你的理由6/24/2023312、如圖，在△ABC中，∠A＝40°

O是△ABC的外心，則∠BOC＝.80°如果O為內心，∠BOC＝110°CABO1、判斷：三點確定一個圓（）練習6/24/2023323.如圖所示，矩形ABCD與⊙O交于點A、B、F、E，DE＝1cm,EF=3cm,則AB＝

cm。4.若AB分圓為1∶5兩部分，則劣孤AB所對的圓周角為( )A.30°B.150°C.60°D.120°

5A6/24/2023336.下列說法中，正確的是( )A.到圓心的距離大于半徑的點在圓內B.圓周角等于圓心角的一半C.等弧所對的圓心角相等D.三點確定一個圓C5、如圖所示，是中國共產主義青年團團旗上的圖案，點A、B、C、D、E五等分圓，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數是( )A.180°B.150°C.135°D.120°

A6/24/2023347、已知⊙O的面積為16π.（1）若PO＝2.8，則點P在⊙O_______.（2）若PO＝4，則點P在⊙O_______.（3）若PO＝5.8，則點P在⊙O_______.（1）Ｒ＝＿＿時，⊙Ｃ與ＡＢ相切．（2）Ｒ＿＿時，⊙Ｃ與ＡＢ相交．（3）Ｒ＿＿時，⊙Ｃ與ＡＢ相離．8、如圖，Rt?ABC的斜邊AB＝１０，AB＝６，

BＣ＝８，以Ｃ為圓心作圓，半徑為Ｒ．6/24/202335例1；(1)如圖,已知AB、CD是⊙O的兩條弦,OE、OF分別為AB、CD的弦心距,如果AB=CD,則可得出(至少填寫兩個)∠AOB=∠COD,OE=OFOAEBCFD圖1ABCO圖2(2)如圖2,在⊙O中,弦AB=1.8cm,∠ACB=30°,則⊙O的直徑等于(3)如圖3,AB是半圓O的直徑,E是弧CB的中點,OE交弦BC于點D,已知BC=8cm,DE=2cm.則AD的長為cmAOBECD圖33.6cm6/24/202336例題講解例2、如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑。C6/24/202337例題講解

例3、如圖，在⊙O中，AC=BD，(1)圖中有哪些相等關系？(2)如果∠1=45°，求∠2的度數。(3)如果AD是⊙O的直徑，∠1=45°求∠BDA的度數．6/24/202338例4:如圖,AC是⊙O的直徑,弦BD交AC于點E.ABDCEO△ADE～△BCE嗎？說明理由;(2)若CD=OC,求sinB的值.解:△ADE～△BCE∵∠A=∠B,∠D=∠C∴△ADE～△BCE(1)(2)若CD=OC,則AC=2DC,又∵AC是⊙O的直徑∴∠ADC=90°6/24/202339【例5】如圖，A是半徑為5的⊙O內的一點，且OA=3，過點A且長小于8的弦有()A.0條B.1條C.2條D.4條 A【解析】這題是考察垂徑定理的幾何題，先求出垂直于OA的弦長BC=2=8即過A點最短的弦長為8，故沒有弦長小于8的弦，∴選(A)典型例題解析6/24/202340典型例題解析【例6】在直徑為400mm的圓柱形油槽內，裝入一部分油，油面寬320mm，求油的深度.【解析】本題是以垂徑定理為考查點的幾何應用題，沒有給出圖形，直徑長是已知的，油面寬可理解為截面圓的弦長，也是已知的，但由于圓的對稱性，弦的位置有兩種不同的情況，如圖(1)和(2)圖(1)中OC==120(mm)∴CD=80(mm)圖(2)中OC=120(mm)∴CD=OC+OD=320(mm)6/24/202341【例7】如圖，O是∠CAE平分線上的一點，以點O為圓心的圓和∠CAE的兩邊分別交于點B、C和D、E，連結BD、CE.

求證：(1)BC=DE(2)AC=AE(3)DB∥CE. 典型例題解析6/24/202342【解析】(1)要證弧相等，即要證弦相等或弦心距離相等，又已知OA是∠CAE的平分線，聯想到角平分線性質，故過O分別作OG⊥AC于G，OH⊥AE于H，∴OG=OH∴BC=DE(2)由垂徑定理知：BC=DE，G、H分別是BC、DE的中點.再由△AOG≌△AOHAG=AHAB=ADAC=AE.(3)AC=AE∠C=∠E，再根據圓的內接四邊形的性質定理知∠C=∠ADB∠E=∠ADBBD∥CE.6/24/202343課時訓練1.如圖，設⊙O的半徑為r，弦AB的長為a，弦心距OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD為h，下面的說法或等式：①r=d+h②4r2=4d2+a2③已知：r、a、d、h中的任兩個可求其他兩個，其中正確的結論的序號是()

A.①B.①②C.①②③D.②③C6/24/2023442.下列命題中，正確的是（多項選擇題）( )A.一個點到圓心的距離大于這個圓的半徑，這個點在圓外B.一條直線垂直于圓的半徑，這條直線一定是圓的切線C.兩圓的圓心距等于它們的半徑之和，這兩個圓有三條公切線D.圓心到一條直線的距離小于這個圓的半徑，這條直線與圓有兩個交點 A、C、D6/24/2023453.如圖所示，已知RtΔABC中，∠C=90°,AC=,BC=1,若以C為圓心，CB為半徑的圓交AB于P，則AP＝

。6/24/2023464.如圖所示，弦AB的長等于⊙O的半徑，點C在AmB上,則∠C=

。30°6/24/2023475.半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長為，那么這條弦所對的圓周角為( )A.60°B.120°C.45°D.60°或120°D6.(2003年·江蘇蘇州市)如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，若它的一個外角∠DCE=70°，則∠BOD=( )A．35°B.70°C．110°D.140° D6/24/202348

例1(1)⊙O的半徑為2,點P是⊙O外一點,OP的長為3,那么以P為圓心,且與⊙O相切的圓的半徑一定是()A.1或5B.1C.5D.1或4(2)若半徑分別為2與6的兩個圓有公共點,則圓心距d的取值范圍是()

A.d＜8B.d≤8C.4＜