2024學年湖南省衡陽縣創新實驗班數學高二上期末監測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.2．定義在R上的偶函數在上單調遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.3．有一個圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點，則關于下列命題：①鉛垂的側面積為150cm2；②一只螞蟻從P點出發沿鉛垂側面爬行一周、最終又回到P點的最短路徑的長度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確4．如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與是異面直線以上四個結論中，正確結論的序號是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④5．已知數列滿足，則滿足的的最大取值為（）A.6 B.7C.8 D.96．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題7．已知命題:，命題:則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要8．已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則（）A. B.C. D.9．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，左焦點、右頂點和下頂點分別為，坐標原點到直線的距離為，則的面積為（）A. B.4C. D.10．在棱長均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.611．設.若，則＝（）A. B.C. D.e12．直線被橢圓截得的弦長是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．長方體中，，，已知點H，A，三點共線，且，則點H到平面ABCD的距離為______14．已知數列滿足，且．則數列的通項公式為_______15．等差數列前項之和為，若，則________16．已知等差數列中，，則=_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線，圓.（1）求證：直線l恒過定點；（2）若直線l的傾斜角為，求直線l被圓C截得的弦長.18．（12分）噪聲污染已經成為影響人們身體健康和生活質量的嚴重問題，為了解聲音強度D（單位：）與聲音能量I（單位：）之間的關系，將測量得到的聲音強度D和聲音能量I的數據作了初步處理，得到如圖所示的散點圖：參考數據：其中，，，，，，，，（1）根據散點圖判斷，與哪一個適宜作為聲音強度D關于聲音能量I的回歸模型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）求聲音強度D關于聲音能量I回歸方程（3）假定當聲音強度D大于時，會產生噪聲污染．城市中某點P處共受到兩個聲源的影響，這兩個聲通的聲音能量分別是和，且．已知點P處的聲音能量等于與之和．請根據（2）中的回歸方程，判斷點P處是否受到噪聲污染，并說明理由參考公式：對于一組數據，其回歸直線斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：19．（12分）已知函數滿足.（1）求的解析式，并判斷其奇偶性；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數a的取值范圍.20．（12分）在二項式展開式中，第3項和第4項的二項式系數比為.（1）求n的值及展開式中的常數項；（2）求展開式中系數最大的項是第幾項.21．（12分）已知拋物線的焦點到準線的距離為2.（1）求C的方程：（2）過C上一動點P作圓兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形PAMB面積的最小值.22．（10分）已知直線l：x-y+2=0，一個圓的圓心C在x軸正半軸上，且該圓與直線l和y軸均相切（1）求該圓的方程；（2）若直線x+my-1=0與圓C交于A、B兩點，且|AB|=，求m的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】根據題設可得關于的不等式，從而可求的取值范圍.【題目詳解】設公差為，因為，，所以，即，從而.故選：A.2、B【解題分析】，再根據函數的奇偶性和單調性可得或，解之即可得解.【題目詳解】解：，由題意可得或即或，解得或故選：B.3、C【解題分析】根據圓錐的側面展開圖為扇形，由扇形的面積公式計算即可判斷①，在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計算即可判斷②.【題目詳解】直徑為10cm，母線長為15cm.底面圓周長為.將其側面展開后得到扇形半徑為cm，弧長為，則扇形面積為，①錯誤.將其側面展開，則爬行最短距離為，由弧長公式得展開后扇形弧度數為,作，，又,,cm,②正確.故選：C4、C【解題分析】根據平面展開圖可得原正方體，根據各點的分布逐項判斷可得正確的選項.【題目詳解】由平面展開圖可得原正方體如圖所示：由圖可得：為異面直線，與不是異面直線，是異面直線，故①②錯誤，④正確.連接，則為等邊三角形，而，故或其補角為與所成的角，因為，故與所成的角為，故③正確.綜上，正確命題的序號為：③④.故選：C.【題目點撥】本題考查正方體的平面展開圖，注意展開圖中的點與正方體中的頂點的對應關系，本題屬于容易題.5、B【解題分析】首先地推公式變形，得，，求得數列的通項公式后，再解不等式.【題目詳解】因為，兩邊取倒數，得，整理為：，，所以數列是首項為1，公差為4的等差數列，，，因為，即，得，解得：，,所以的最大值是7.故選：B6、B【解題分析】根據正弦函數的性質判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【題目詳解】因為的值域為，所以命題為假命題因為，所以命題為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B7、B【解題分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【題目詳解】解：若，則或，即或，所以是的必要不充分條件故選：B8、C【解題分析】根據橢圓的定義可得，由即可求解.【題目詳解】由，可得根據橢圓的定義，所以.故選：C9、C【解題分析】設，根據題意，可知的方程為直線，根據原點到直線的距離建立方程，求出，進而求出，的值，以及到直線的距離，再根據面積公式，即可求出結果.【題目詳解】設，由題意可知，其中，所以的方程為，即所以原點到直線的距離為，所以，即，；所以直線的方程為，所以到直線的距離為；又，所以的面積為.故選：C.10、C【解題分析】設，，，利用結合數量積的運算即可得到答案.【題目詳解】設，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C11、D【解題分析】由題可得，將代入解方程即可.【題目詳解】∵，∴,∴，解得.故選：D.12、A【解題分析】直線y＝x+1代入，得出關于x的二次方程，求出交點坐標，即可求出弦長【題目詳解】將直線y＝x+1代入，可得，即5x2+8x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2，∴y1＝﹣1，y2，∴直線y＝x+1被橢圓x2+4y2＝8截得的弦長為故選A【題目點撥】本題查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】在長方體中，以點A為原點建立空間直角坐標系，利用已知條件求出點H的坐標作答.【題目詳解】在長方體中，以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，因點H，A，三點共線，令，點，則，又，則，解得，所以點到平面ABCD的距離為.故答案為：14、【解題分析】倒數型求數列通項公式，第一步求倒數，第二步構造數列，求通項.【題目詳解】因為，所以，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，所以故答案為：.15、【解題分析】直接利用等差數列前項和公式和等差數列的性質求解即可.【題目詳解】由已知條件得,故答案為：.16、4【解題分析】由等差數列的通項公式求出公差，進而求出.【題目詳解】設該等差數列的公差為，則，所以.故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）直線方程變形后令的系數等于0消去參數即可求得定點坐標.（2）先求出圓心C到直線l距離，然后用勾股定理即可求得弦長.【小問1詳解】，聯立得：即直線l過定點（.【小問2詳解】由題意直線l的斜率，即，∴，圓，圓心，半徑，圓心C到直線l的距離，所以直線l被圓C所截得的弦長為.18、（1）更適合（2）（3）點P處會受到噪聲污染，理由見解析【解題分析】（1）直接判斷即可；（2）令，先算線性回歸方程再算非線性回歸方程；（3）利用基本不等式計算出的最小值，再與60比較即可.【小問1詳解】更適合【小問2詳解】令，則，，D關于W的回歸方程是，則D關于I的回歸方程是【小問3詳解】設點P處的聲音能量為，則因為所以當且僅當，即時等號成立所以，所以點P處會受到噪聲污染19、（1），是奇函數（2）【解題分析】(1)由求出，進而求得的解析式，利用奇偶函數的定義判斷函數的奇偶性即可；(2)根據冪函數的單調性可得函數的單調性，求出函數的最小值，將不等式恒成立轉化為對任意使得恒成立即可.【小問1詳解】因為，所以，所以.所以.的定義城為，且，所以是奇函數.【小問2詳解】因為，在上均為增函數，所以在上增函數，所以.對任意，不等式恒成立，則，所以，即實數a的取值范固為.20、（1），常數項為（2）5【解題分析】（1）求出二項式的通項公式，求出第3項和第4項的二項式系數，再利用已知條件列方程求出的值，從而可求出常數項，（2）設展開式中系數最大的項是第項，則，從而可求出結果【小問1詳解】二項式展開式的通項公式為，因為第3項和第4項的二項式系數比為，所以，化簡得，解得，所以，令，得，所以常數項為【小問2詳解】設展開式中系數最大的項是第項，則，，解得，因為，所以，所以展開式中系數最大的項是第5項21、（1）（2）【解題分析】(1)根據拋物線方程求出交點坐標和準線方程，求出p即可；(2)設，利用兩點坐標求距離公式求出，根據四邊形PAMB的面積得到關于的二次函數，結合二次函數的性質即可得出結果.