安徽省宿州市十三校2024學年高二上數學期末質量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A. B.C. D.2．等差數列x，，，…的第四項為()A.5 B.6C.7 D.83．已知各項都為正數的等比數列，其公比為q，前n項和為，滿足，且是與的等差中項，則下列選項正確的是（）A. B.C D.4．已知隨機變量X的分布列如表所示，則（）X123Pa2a3aA. B.C. D.5．下列結論中正確的個數為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.36．古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原點，焦點，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長為，則橢圓C的標準方程為（）A. B.C. D.7．“若”為真命題，那么p是（

）A. B.C. D.8．在空間直角坐標系中，，，若∥，則x的值為（）A.3 B.6C.5 D.49．已知等比數列的公比q為整數，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-310．過點，的直線的斜率等于1，則m的值為（）A.1 B.4C.1或3 D.1或411．已知橢圓的中心為，一個焦點為，在上，若是正三角形，則的離心率為（）A. B.C. D.12．下列橢圓中，焦點坐標是的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，右焦點到一條漸近線的距離是，則其離心率的值是______；若點P是雙曲線C上一點，滿足，，則雙曲線C的方程為______14．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.15．已知直線與平行，則實數的值為_____________.16．甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則密碼被成功破譯的概率_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若，求的極值；（2）若有兩個零點，求實數a取值范圍.18．（12分）已知空間三點.（1）求以為鄰邊平行四邊形的周長和面積;（2）若，且分別與垂直，求向量的坐標.19．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點，D為棱上的點.（1）證明：；（2）當時，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值.20．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為F，點A（a，0），且|AF|＝1（1）求橢圓C的方程；（2）過點F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別與直線x＝4交于點P，Q，求∠PFQ的大小21．（12分）已知拋物線的焦點為F，以F和準線上的兩點為頂點的三角形是邊長為的等邊三角形，過的直線交拋物線E于A，B兩點（1）求拋物線E的方程；（2）是否存在常數，使得，如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由；（3）證明：內切圓的面積小于22．（10分）一款小游戲的規則如下：每盤游戲都需拋擲骰子三次，出現一次或兩次“6點”獲得15分，出現三次“6點”獲得120分，沒有出現“6點”則扣除12分(即獲得－12分)（Ⅰ）設每盤游戲中出現“6點”的次數為X，求X的分布列；（Ⅱ）玩兩盤游戲，求兩盤中至少有一盤獲得15分概率；（Ⅲ）玩過這款游戲的許多人發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了．請運用概率統計的相關知識分析解釋上述現象

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】先由cosA的值求出，進而求出，用正弦定理求出b的值.【題目詳解】因為cosA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故選：C2、A【解題分析】根據等差數列的定義求出x，求出公差，即可求出第四項.【題目詳解】由題可知，等差數列公差d＝(x＋2)－x＝2，故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，故第四項為－1＋(4－1)×2＝5.故選：A.3、D【解題分析】根據題意求得，即可判斷AB，再根據等比數列的通項公式即可判斷C；再根據等比數列前項和公式即可判斷D.【題目詳解】解：因為各項都為正數的等比數列，，所以，又因是與的等差中項，所以，即，解得或（舍去），故B錯誤；所以，故A錯誤；所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選：D.4、C【解題分析】根據分布列性質計算可得；【題目詳解】解：依題意，解得，所以；故選：C5、C【解題分析】構造函數利用導數說明函數的單調性，即可判斷大小，從而得解；【題目詳解】解：令，，則，所以在上單調遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以，當且僅當時取等號，故③錯誤；故選：C6、C【解題分析】設出橢圓的標準方程，根據已知條件，求得，即可求得結果.【題目詳解】因為橢圓的焦點在軸上，故可設其方程為，根據題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.7、A【解題分析】求不等式的解集，根據解集判斷p.【題目詳解】由解得-2<x<4，所以p是.故選：A.8、D【解題分析】依題意可得，即可得到方程組，解得即可；【題目詳解】解：依題意，即，所以，解得故選：D9、A【解題分析】由等比數列的性質有，結合已知求出基本量，再由即可得答案.【題目詳解】因為，，且q為整數，所以，，即q=2.所以.故選：A10、A【解題分析】解方程即得解.【題目詳解】由題得.故選：A【題目點撥】本題主要考查斜率的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.11、D【解題分析】根據是正三角形可得的坐標，代入方程后可求離心率.【題目詳解】不失一般性，可設橢圓的方程為：，為半焦距，為右焦點，因為且，故，故，，整理得到，故，故選：D.12、B【解題分析】根據給定條件逐一分析各選項中的橢圓焦點即可判斷作答.【題目詳解】對于A，橢圓的焦點在x軸上，A不是；對于B，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，B是；對于C，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，C不是；對于D，橢圓，即，焦點在y軸上，半焦距，其焦點為，D不是.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.##1.5②.【解題分析】求得焦點到漸近線的距離可得，計算即可求得離心率，由雙曲線的定義可求得，計算即可得出結果.【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，焦點到漸近線的距離為，又，，，，.雙曲線上任意一點到兩焦點距離之差的絕對值為，即，，即，解得：，由，解得：,.雙曲線C的方程為.故答案為：；.14、2【解題分析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進而可求得答案【題目詳解】因為平面的法向量為，平面的法向量為，，所以∥，所以存實數使，所以，所以，解得，所以，故答案為：215、或【解題分析】根據平行線的性質進行求解即可.【題目詳解】因為直線與平行，所以有：或，故答案為：或16、【解題分析】根據題意，由相互獨立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進而由對立事件的概率性質分析可得答案【題目詳解】解：根據題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼概率，故該密碼被成功破譯的概率故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極小值為，無極大值（2）【解題分析】(1)利用導數求出，分別令、，進而得到函數的單調區間，即可求出極值；(2)利用導數討論、0時函數的單調性，進而得出函數的最小值小于0，解不等式即可.【小問1詳解】函數的定義域為，時，.令，解得，∵在上，，在上，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴的極小值為，無極大值.【小問2詳解】，當時，，∴在上單調遞增，此時不可能有2個零點.當0時.令，得，∵在上，，在上，），∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴的最小值為.∵有兩個零點，∴，即，∴.經驗證，若，則，且，又，∴有兩個零點.綜上，a的取值范圍是.18、（1）周長為，面積為7.（2）或.【解題分析】（1）根據點，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距離，可以求出周長，再利用向量的夾角公式求出夾角的余弦值，根據平方關系得到正弦值，再利用即可求解；（2）首先設出，根據題意可得出的方程組，解出滿足條件所有的值即可求解.【小問1詳解】由題中條件可知，，,，.所以以為鄰邊的平行四邊形的周長為.因為，因為，所以.所以.故以以為鄰邊的平行四邊形的面積為：.【小問2詳解】設，則，，因為，且分別與垂直，得，解得或所以向量的坐標為或.19、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）由題意建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量證明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因為三棱柱是直三棱柱，且，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設，則，所以，所以，所以【小問2詳解】因為，所以，所以，設平面一個法向量為，則，令，則，設直線BF與平面DEF所成角為，則，所以直線BF與平面DEF所成角的正弦值為20、（1）（2）∠PFQ＝90°【解題分析】（1）由題意得求出a，c，然后求解b，即可得到橢圓方程（2）當直線l的斜率不存在時，驗證，即∠PFQ＝90°．當直線l的斜率存在時，設l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．聯立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由題意，知Δ＞0恒成立，設M（x1，y1），N（x2，y2），利用韋達定理，結合直線MA的方程為．求出、．利用向量的數量積，轉化求解即可【小問1詳解】由題意得解得a＝2，c＝1，從而，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0），則，，故，即∠PFQ＝90°當直線l的斜率存在時，設l：y＝k（x﹣1），其中k≠0聯立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0由題意，知Δ＞0恒成立，設M（x1，y1），N（x2，y2），則，直線MA的方程為，令x＝4，得，即，同理可得所以，因為0，所以∠PFQ＝90°綜上，∠PFQ＝90°21、（1）；（2）存在，1；（3）證明見解析.【解題分析】(1)根據幾何關系即可求p；(2)求解為定值1，即可求λ＝1；(3)先求的面積，再由(為三角周長)可求內切圓半徑r.【小問1詳解】由題意焦點到準線的距離等于該正三角形一條邊上的高線，因此，∴拋物線E的方程為【小問2詳解】設直線的斜率為，直線方程為，記，，消去，得由，得且，，，，因此，即存在實數滿足要求【小問3詳解】由(2)知，，點F到直線AB的距離，∴的面積記的內切圓半徑為r，∵，∴∴內切圓的面積小于22、（Ⅰ）分布列見解析（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解題分析】（Ⅰ）先得到可能的取值為，，，，根據每次拋擲骰子，出現“6點”的概率為，得到每種取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）計算出每盤游戲沒有獲得15分的概率，從而得到兩盤中至少有一盤獲得15分的概率；（Ⅲ）設每盤游戲得分為，