安徽省滁州市鳳陽臨淮、明光三中、關塘中學、定遠三中四校2024學年高二上數學期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若某群體中成員只用現金支付的概率為，既用現金支付也用非現金支付的概率為，則不用現金支付的概率為（）A. B.C. D.2．已知實數滿足方程，則的最大值為（）A.3 B.2C. D.3．已知直線和互相垂直，則實數的值為（）A. B.C.或 D.4．方程表示的曲線是（）A.一個橢圓和一條直線 B.一個橢圓和一條射線C.一條射線 D.一個橢圓5．若，則下列正確的是（）A. B.C. D.6．已知函數，則（）A.1 B.2C.3 D.57．已知是函數的導函數，則（）A0 B.2C.4 D.68．已知A（3，2），點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點P的坐標為（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.9．如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．等比數列的前項和為，前項積為，，當最小時，的值為（）A.3 B.4C.5 D.611．已知函數，的導函數，的圖象如圖所示，則的極值情況為（）A.2個極大值，1個極小值 B.1個極大值，1個極小值C.1個極大值，2個極小值 D.1個極大值，無極小值12．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數字被污損，若乙的總成績是445，則污損的數字是________14．圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，為底面中心，為的中點，動點在圓錐底面內（包括圓周）．若，則點形成的軌跡的長度為______15．一道數學難題，在半小時內，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，兩人試圖獨立地在半小時內解決它，則問題得到解決的概率是________.16．日常生活中的飲用水通常是經過凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化費用不斷増加.已知將噸水凈化到純凈度為時所需費用（單位：元）為.則凈化到純凈度為時所需費用的瞬時變化率是凈化到純凈度為時所需費用的瞬時變化率的___________倍，這說明，水的純凈度越高，凈化費用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在等差數列中，，（1）求數列的通項公式；（2）若的前n項和為，且，，求數列的前n項和18．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值19．（12分）已知點，圓，點Q在圓上運動，的垂直平分線交于點P.（1）求動點P的軌跡的方程；（2）過點的動直線l交曲線C于A、B兩點，在y軸上是否存在定點T，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點T的坐標，若不存在，請說明理由.20．（12分）已知等差數列的前項和為，且，（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和21．（12分）如圖，在三棱柱中，點在底面內的射影恰好是點，是的中點，且滿足（1）求證：平面；（2）已知，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小22．（10分）已知函數，且）的圖象經過點和

.（1）求實數，的值；（2）若，求數列前項和

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參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【題目詳解】由對立事件概率公式可知，該群體中的成員不用現金支付的概率為.故選：A.2、D【解題分析】將方程化為，由圓的幾何性質可得答案.【題目詳解】將方程變形為，則圓心坐標為，半徑，則圓上的點的橫坐標的范圍為：則x的最大值是故選：D.3、B【解題分析】由兩直線垂直可得出關于實數的等式，求解即可.【題目詳解】由已知可得，解得.故選：B.4、A【解題分析】根據題意得到或，即可求解.【題目詳解】由方程，可得或，即或，所以方程表示的曲線為一個橢圓或一條直線.故選：A.5、D【解題分析】根據不等式性質并結合反例，即可判斷命題真假.【題目詳解】對于選項A：若，則，由題意，，不妨令，，則此時，這與結論矛盾，故A錯誤；對于選項B：當時，若，則，故B錯誤；對于選項C：由，不妨令，，則此時，故C錯誤；對于選項D：由不等式性質，可知D正確.故選：D.6、C【解題分析】利用導數的定義，以及運算法則，即可求解.【題目詳解】，，所以，所以故選：C7、D【解題分析】由導數運算法則求出導函數，再計算導數值【題目詳解】由題意，，所以故選：D8、B【解題分析】設點P到準線的距離為，根據拋物線的定義可知，即可根據點到直線的距離最短求出【題目詳解】如圖所示：設點P到準線的距離為，準線方程為，所以，當且僅當點為與拋物線的交點時，取得最小值，此時點P的坐標為故選：B9、D【解題分析】解：，設F1F2=2c，∵△F2AB是等邊三角形，∴∠AF1F2==30°，∴AF1=c，AF2=c，∴a=(c-c)2，e=2c(c-c)=+1，故選D10、B【解題分析】根據等比數列相關計算得到，，進而求出與，代入后得到，利用指數函數和二次函數單調性得到當時，取得最小值.【題目詳解】顯然，由題意得：，，兩式相除得：，將代入，解得：，所以，所以，，所以，其中單調遞增，所以當時，取得最小值.故選：B11、B【解題分析】根據圖象判斷的正負，再根據極值的定義分析判斷即可【題目詳解】由，得，令，由圖可知的三個根即為與的交點的橫坐標，當時，，當時，，即，所以為的極大值點，為的極大值，當時，，即，所以為的極小值點，為的極小值，故選：B12、A【解題分析】根據充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【題目詳解】若，則，即或，推不出；反過來，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】設污損的葉對應的成績是x，由莖葉圖可得445＝83＋83＋87＋x＋99，解得x＝93，故污損的數字是3.考點：莖葉圖.14、【解題分析】建立空間直角坐標系設，，，，于是，，因為，所以，從而，，此為點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內的長度為15、【解題分析】分甲解決乙不能解決，甲不能解決乙能解決，甲能解決乙也能解決三類，利用獨立事件的概率求解.【題目詳解】因為甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，所以問題得到解決的概率是，故答案為：16、①.②.快【解題分析】根據導數的概念可知凈化所需費用的瞬時變化率即為函數的一階導數，即先對函數求導，然后將和代入進行計算，再求，即可得到結果，進而能夠判斷水的純凈度越高，凈化費用增加的速度的快慢【題目詳解】由題意，可知凈化所需費用的瞬時變化率為，所以，，所以，所以凈化到純凈度為時所需費用的瞬時變化率是凈化到純凈度為時所需費用的瞬時變化率的倍；因為，可知水的純凈度越高，凈化費用增加的速度越快.故答案為：，快.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】(1)根據給定條件求出數列的公差即可求解作答.(2)由已知條件求出數列的通項，再利用錯位相減法計算作答.【小問1詳解】等差數列中，，解得，則公差，所以數列的通項公式為：.【小問2詳解】的前n項和為，，，則當時，，于是得，即，而，即，，因此，數列是首項為2，公比為2的等比數列，，由(1)知，，則，因此，，，所以數列的前n項和.18、（1）證明見解析；（2）【解題分析】(1)利用面面垂直的性質，證得平面，進而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內過點A作Ax⊥AB，以A為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量而得解.【題目詳解】（1）因為，為中點，所以，因為是矩形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC內過點A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點A為坐標原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖：則，，，，，則，所以，，，，由（1）知，為平面的一個法向量，設平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因為二面角為銳角，則二面角的余弦值為.【題目點撥】思路點睛：二面角大小求解時要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角19、（1）；（2）存在，T(0，1)﹒【解題分析】(1)根據橢圓的定義，結合即可求P的軌跡方程；(2)假設存在T(0，t)，設AB方程為，聯立直線方程和橢圓方程，代入＝0即可求出定點T.【小問1詳解】由題可知，，則，由橢圓定義知P的軌跡是以F1、為焦點，且長軸長為的橢圓，∴，∴，∴P的軌跡方程為C：；【小問2詳解】假設存在T(0，t)滿足題意，易得AB的斜率一定存在，否則不會存在T滿足題意，設直線AB的方程為，聯立，化為，易知恒成立，∴(*)由題可知，將(*)代入可得：即∴，解，∴在y軸上存在定點T(0，1)，使以AB為直徑的圓恒過這個點T.20、（1）（2）【解題分析】（1）設等差數列公差為d，首項為a1，根據已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項公式即可得答案；（2）根據等差、等比數列的前n項和公式，利用分組求和法即可求解【小問1詳解】解：設等差數列公差為d，首項為a1，由題意，有，解得，所以；【小問2詳解】解：，所以21、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法求二面角的平面角.【小問1詳解】因為點在底面內的射影恰好是點，所以面.因為面,所以.因為是的中點，且滿足．所以，所以.因為，所以，即,所以.因為,面,面,所以平面.【小問2詳解】∵面，∴直線與底面所成角為，即.因為，所以由（1）知，，因，所以，.如圖示，以C為原點，為x、y、