第五章 三角函數(shù)5.5

三角恒等變換5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第4課時(shí) 二倍角的正弦、余弦、正切公式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)能利用兩角和的正、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重點(diǎn))

2.能利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明．(難點(diǎn))

3.熟悉二倍角公式的常見(jiàn)變形，并能靈活應(yīng)用．(易錯(cuò)點(diǎn))通過(guò)公式的推

導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).借助運(yùn)算求值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自

主

預(yù)習(xí)探

新知2sin

αcos

αcos2α－sin2α

2tan

α

1－tan2α1－2sin2α2cos2α－11－cos

2α

21＋cos

2α

2sin

2α

2sinα(sin

α±cos

α)2B

[2sin15°cos15°＝sin

30°＝1；cos215°－sin215°＝cos

30°＝

32 2

；2sin215°＝1－cos

30°＝1－23；sin215°＋cos215°＝1，故選B.]2．sin

15°cos

15°＝

.141[sin15°cos15°＝2×2sin215°cos15°＝1sin

30°＝

.41

]1

π3.2－cos28＝.2

1

π

1—

4

[2－cos2

＝

－8

2π1＋cos42＝1－1

1

2

2.]2 2－2×

2

＝－

44．若tan

θ＝2則tan

2θ＝

.4－3

2tan

θ

2×2[tan

2θ＝1－tan2θ

1－22＝4＝－3.]合

作

探究提

素養(yǎng)給角求值3π(1)D

[∵cos

7

＝－cos4π2π5π7

，cos

7

＝－cos

7

，π

3π

5π

π

2π

4π∴cos7cos

7

cos

7

＝cos7cos

7

cos

7

＝π

π

2π

4π

8sin7cos7cos

7

cos

7π8sin7＝2π

2π

4π

4sin

7

cos

7

cos

7π8sin7＝4π

4π

2sin

7

cos

7π8sin78πsin

78sin71＝

π＝－8.](2)[解]

①cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos

30°＝

32

.②1－2sin275°＝1－(1－cos

150°)＝cos

150°＝－cos

30°＝－23.③1－tan275°

1－tan275°tan75°

＝2×

2tan75°＝2×1tan

150°＝－2

3.④—1

3sin10° cos

10°cos

10°－

3sin10°＝sin10°cos10°2＝

12cos

10°－

32sin10°sin10°cos10°＝4(sin

30°cos

10°－cos

30°sin

10°)

2sin

10°cos

10°＝4sin20°sin20°＝4.[解](1)cos

36°cos

72°＝2sin

36°cos

36°cos

72°2sin36°＝2sin

72°cos

72°4sin36°＝sin144°

14sin36°＝4.(2)原式＝cos

50°＋

3sin

50°

sin

50°cos

50°2＝

12cos

50°＋

32sin50°12×2sin

50°cos50°1

12sin

100°

2sin

80°＝

2sin

80°

＝2sin

80°＝4.給值求值、求角問(wèn)題[解]

(1)π

3π

3π

π

7π∵2≤α＜

2

，∴

4

≤α＋4＜

4

.

π

43ππ

7π2

4

4∵cosα＋

＞0，∴

＜α＋

＜

，

π

4∴sinα＋

＝－

π

41－cos2α＋

＝－

35451－

2＝－

，π2

π

π

4

4

4

5352425∴cos

2α＝sin2α＋

＝2sinα＋

cosα＋

＝2×－

×

＝－

，π2

π

4sin2α＝－cos2α＋

＝1－2cos2α＋

＝1－2×

352＝

7

25，∴cos2α＋π4＝cos

2α－

2

22

2sin2α＝

22×－25－2

25×

＝－24

2

7

31

250.π(2)∵sin

2α＝－cos2α＋

＝－2cos2α＋

π

2

4－1＝1－2cos2α＋

π

4，

ππ

4

4

sinα－

＝－sin

－α＝－cos2－π

π

4－απ

4

＝－cos

＋α，∴原式可化為1－2cos2α＋

π

4＝－cosα＋

π

4，解得cosα＋

π

4

π

412＝1或cosα＋＝－

.π2∵α∈－

，π2，π44∴α＋

∈－

，π

3π4

，π

π

2π故α＋4＝0或α＋4＝

3

，π

5π即α＝－4或α＝12.

7

252425[解]

由例2(1)解析知sin

4α＝2sin

2αcos

2α＝2×

×－

＝－336625.2．將例2(1)的條件改為sinπ4－x＝

5

13，0＜x＜4π

4

cos

＋xπ，求

cos

2x

的值．π0π4[解]

∵0＜x＜π，∴

－x∈

，

.4

44又sin

－x＝13π

5，∴cosπ4－x＝1213.又cos

2x＝sinπ2－2xπ4＝2sin

－x

co

π

4

s

－x＝25×12

120×13

13＝169，cosπ

4＋xπ

π2

4＝sin

－

＋x＝sinπ4－x＝

5

13，120169

24∴原式＝

5

＝13.13類(lèi)似的變換還有：π2

π

π

4

4

cos

2x＝sin

＋2x＝2sin

＋xcos

＋x，π2π

4

sin

2x＝cos

－2x＝2cos2

－x－1，2π

π4

sin

2x＝－cos

＋2x＝1－2cos2

＋x等.提示：通常要切化弦后再進(jìn)行變形．2．證明三角恒等式時(shí)，通常的證明方向是什么？提示：由復(fù)雜一側(cè)向簡(jiǎn)單一側(cè)推導(dǎo)．化簡(jiǎn)證明問(wèn)題【例3】

(1)化簡(jiǎn)：＋1

1tan

θ＋1 tan

θ－1＝.(2)證明：3tan

12°－3sin12°(4cos212°－2)＝－4

3.[思路點(diǎn)撥]

(1)通分變形．(2)切化弦通分，構(gòu)造二倍角的余弦→二倍角的正弦→約分求值(1)－tan2θ(tan

θ＋1)(tan

θ－1)

tan2θ－1

1－tan2θtan

θ－1＋tanθ＋1

2tanθ

2tanθ[原式＝

＝

＝－

＝－tan

2θ.](2)[證明]

左邊＝ 3sin

12°－3cos

12°

cos12°2sin

12°(2cos212°－1)＝2312sin12°－

32cos

12°2sin12°cos12°cos24°＝＝2

3sin(12°－60°)sin24°cos24°－2 3sin48°

12sin

48°＝－4 3＝右邊，所以原等式成立．[證明]

(1)左邊＝1＋cos(2A＋2B)2—1－cos(2A－2B)2＝cos(2A＋2B)＋cos(2A－2B)

2＝1(cos

2Acos

2B－sin

2Asin

2B＋cos

2Acos

2B＋sin

2Asin

2B)2＝cos

2Acos

2B＝右邊，∴等式成立．

(2)法一：左邊＝cos2θ1－sin2θ

2cos

θ＝cos2θ－sin2θ＝cos

2θ＝右邊．法二：右邊＝cos

2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ1－sin2θ2cos

θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左邊．當(dāng)

堂

達(dá)標(biāo)固

雙基)1．思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角．((2)存在角α，使得sin

2α＝2sin

α成立．(

)(3)對(duì)于任意的角α，cos

2α＝2cos

α都不成立．(

)[提示]

(1)×.二倍角的正弦、余弦公式對(duì)任意角都是適用的，而二2π

π倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±4＋kπ(k∈Z)，故此說(shuō)法錯(cuò)誤．(2)√.當(dāng)α＝kπ(k∈Z)時(shí)，sin

2α＝2sin

α.1－

32時(shí)，cos

2α＝2cos

α.(3)×.當(dāng)cos

α＝[答案]

(1)×(2)√(3)×2．已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(

)A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4B

[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝323

3(2cos2x－1)＋2＋1＝2cos

2x5＋2，則f(x)的最小正周期為π