第零章教學準備

一泰勒展開式

1二項式的展開

f(x)=(l+x『=l+mx+皿蛇皿西Y+…

2一般函數的展開

f(x)=f(Xo)+^^(x-Xo)+^^(X-Xo)2+^^(X-Xo)3+…

特別：X°=O時，f(x)=f(o)+*x+粵/+粵/+…

3二元函數的展開(x=y=O處)

f(x,y)=f(O)+圖唱[+《侏卜+2敘xy+部小...

評注：以上方法多用于近似處理與平衡態處的非線性問題向線

性問題的轉化。在理論力問題的簡單處理中，一般只需近似到

三階以內。

二帝微臺方程

1一階非齊次常微分方程：

y+%y=Q(x)

通解:y=”Rc+jQ(x)eW"旬

注：±[P(x)dx,jQ(xp*%x積分時不帶任意常數，Q⑶可為

常數。

2一個特殊二階微分方程

y^-A2y+B

通解：y=Kcos(Ax+4)+捺

注：K,4為由初始條件決定的常量

3二階非齊次常微分方程

y+^y+by=f(x)

通解：y=y+y*;y為對應齊次方程的特解，為非齊次方程的

一個特解。

非齊次方程的一個特解

(1)對應齊次方程

了+〃夕+by=0

設y=e，"得特征方程/l2+a/l+b=0。解出特解為4，4。

/ix

*若4力4eR貝Uy〕=e5,y2=；y=c,e'

2|X,,,x

*若4=4eR則y1=e*,y2=xe；y=e(c1+xc2)

ax

*若九=a±￡i則Yi=ycos/3x,y2=esin/?x；

ax

y=e(c1cos/7x+c2sin/?x)

(2)若%=a()x2+b()x+Co為二次多項式

*bW0時，可設y*=Ax?+Bx+C

*bwO時，可設y*=Ax'+Bx2+Cx+D

注：以上q,C2，A,B,C,D均為常數，由初始條件決定。

三次量

1矢量的標積

A?B=B?A=|A||B|cos^=AXBX+AyBy+AzBz

注：常用于一矢量在一方向上的投影

2矢量的矢積

AxB=-(BxA)=|A||B|sindln=AxAvAz

MB，Bj

=(AxBy-A2By)i+(AZBX-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k

此處僅討論用矩陣判斷方程組解的分布情形O

allxI+a12x2+aI3x3=0

,a21Xl+a22X2+a23X3=0

a31xl+a32x2+a33x3=O

aila!2a13

令》=a21a22a23

\a3la32a337

*D=0時，方程組有非零解

*D*0時，方程只有零解

第一章牛頓力學的基本定律

方丈布接M地勤。整個力學大屋的地基將病此破

三節羊的人類素密科學葡慧君晶將飄來他的若撲

S幽看。此時關量言語將盡顯英雄本色，微積今更是

鳳憲占盡。

【要直今折與總修】

1質點運動的描述

（1）直線坐標系

亍=xi+yj+zk

C=f=xi+yj+zk

a==r=xi+yj+zk

(2)平面極坐標系

f=rer

￡5=rer+r紜

云=(f—r加唐+(而+2泊)卻

(3)自然坐標系

ij=uel

-_

a=L>etH---en

P

(4)柱坐標系

9

一?一v~_

a=L>et+—en

P

v-pep+pfft0+zez

〈析)上述矢量順序分別為：；,?，蹌，氤；露金??

d爸?.

力限xia

矢量微分：號=況kX品=-寵

dW-

-^=^exe=0

dtkk

(其它各矢量微分與此方法相同)

微分時一定要注意矢量順序

2牛頓定律

慣性定律的矢量表述

ma_=m-^矛-y亍=云F

(1)直角坐標系中

F;=mx

<g=my

月=mZ

(2)極挫標系中

2

Fr=m(r-r^)

■.=m(前+2浮)

Fk=O

(3)自然坐標系中

Fr=m。

2

代=m-

P

R=0

3質點運動的基本定理

幾個量的定義：

動量P=mO

角動量L=fxmt>=rxP

沖量

I=p2-p.

力矩M=fxF

沖量矩a=工一1=’回出

動能T=—1nw2

2

(1)動量定理

dt

一方向上動量守恒:—e,=Fe=0

dtf

(2)動量矩定理M=—

dt

(3)動能定理屋=01亞0=蟲

dtdt

4機戒能守恒定理

T+V=E

〈析〉勢函數V：dV=—dx+—dy+—dz=-Fdr

6xdydz

SVTav-ev「、

FE=-(Z——1+——+——k)

dxdydz

dVdV2

穩定平衡下的勢函數：3=0；…>0

dxdx

x=x

ox=x0

此時勢能處極小處％

'VM<E<0質點再平衡點附近振動

且能量滿足<0<E質點逃逸-8

Vm<E質點逃逸+oo

【解敢演示】

1細桿0L繞固定點0以勻角速率。轉動，并推動小環C在固定的

鋼絲AB上滑動，。點與鋼絲間的垂直距離為d,如圖所示。求

小環的速度。和加速度五。

解：依兒何關系知：x=dtan6

_.Td(vrd2+x2T

又因為:L>=xi=——--i=-----<yi

cos-，d

2橢圓規尺AB的兩端點分別沿相互垂直的直線0x與Oy滑動，

已知B端以勻速c運動，如圖所示。求橢圓規尺上M點的軌道

方程、速度及加速度的大小u與a。

解：依題知：yB=(b+d)cos6>

且：3B=-C=-(b+d)?sin6

c

得：0=

(b+d)sin。

又因M點位置：xM=bsin6,yM=dcos^

故有：uM=xMi+lyMj=b(9cos6>i-d(9sin6>j

becot3-deT

代入(*)式得:b+d，-b+dJ

即：u-c.7b2cot2(9+d2

b+d

_,be?rbe2

aM=%=_z?,2/)1=i

(Ub+d)sin0(b+d)2sin2^

3一半徑為r的圓盤以勻角速率。沿一直線滾動，如圖所示。求

圓盤邊上任意一點M的速度。和加速度9(以0、M點的連線與

鉛直線間的夾角。表示)；并證明加速度矢量總是沿圓盤半徑

指向圓心。

解：設0點坐標為(<yRt+x0,R)。則M點坐標為

(ct)Rl+x()+RsinR+Rcos0)

l

故：=xMi+yMj=(tyR+R<ycos6)i-R

222

aM=uM=-R(ysinOi-R(ycos0\=-R6y(sin0\+cos9j)

4一半徑為r的圓盤以勻角深度3在一半經為R的固定圓形槽內作

無滑動地滾動，如圖所示，求圓盤邊上M點的深度u和加速度a(用

參量。,中表示)。

解：依題知：0=—五=一旦

R-rR-r

且0點處:ek=cos(/9-(p)er-sin(<9-碎e

貝I」：

&=Go+GM

=(R-r)eR+rer

=[(R-r)cos(8一夕)+r]er-(R-r)sin(6-0)。

0=不

=&(0_@)sin(8-^)er+[(R-r)cos(g—(p)+門況°一(R—r)(0-0)cos(6-0)&+(R—r)Jsin(g-0后

=一rosin/—(p)er+rco[l-cos(6一夕)]卻

a=t5

=ny(0-0)cos(6-(p)er-vcoOsin(6-(p)ke-xa>{(p-0)sin(6--TCDO\\-cos(6-^)]er

=ny0cos(。一夕)6-r690sin(。一°)&一

.2

=~~|[(r-R)-rcos(6-夕)]er+rsin(6-(p)e0}

5已知某質點的運動規律為：y=bt,6=at,a和b都是非零常數。

(1)寫處質點軌道的極坐標方程；(2)用極坐標表示出質點

的速度。和加速度云。

W：(l)y=rsin^=bt=—

得：r=—^csc^e

ar

小一二basin。一a6cose_b夕一

(2u=r=--------------；---------e+---------ae〃

asin_0rasin。

=焉［(1一"3夕尼+維］

6已知一質點運動時，經向和橫向的速度分量分別是入r和口0,

這里U和人是常數。求出質點的加速度矢量限

解:由題知：u=2rer+〃絢

且：r三Arj。=

故：a=d=Arer+Ar0eo+/LL01O-jL/00er

二(&一〃加用+(疝+〃)慶〃

=（22r-巴匕R+即入+幺）卻

rr

7質點作平面運動，其速率保持為常量，證明質點的速度矢量與

加速度矢量正交。

證明：設速度為0=電。

mil_di?_v~_

貝1J：a=—e+—e=-e

出r。n。n

由于。與短為正交矢量。即得證。

8一質點沿心臟線「=E1+3。）以恒定速率v運動，求出質點的速

度。和加速度限

解：設D=i€r+r況@=樂"（一sin。后+樂（1+cos。）吃

且有：[^/c(-sin^)]2+[^/c(l+cos(9)r]2-u2

解得：0=一^-

2cos-K

2

得：i=dK(-sine)=-Dsing,rd="cos9

則：u-t?(-sin-^erH-cos^e0)

.i.o.oi.e.e

a-v=——8ocos—6r-dosin—金——6vsin—e?-6vcos—e

222222r

3吟-,。-、

—(-er-tan-e,)

9已知質點按r=ea',，=/t運動，分別求出質點加速度矢量的切向

和法向分量，經向分量和橫向分量。

解：（1）極坐標系下：

由「=6H，="得：t=常用=§

且設：i?=rer+

則：v-Ji?+/町er=fer+r&e

22a,

=(a-r^)eer+2a^e%

則：徑向與橫向的分量分別為(。2-力2)*，2aBec0

10質點以恒定速率C沿一旋輪線運動，旋輪線方程為

x=R((9+sinO'),y=-R(l+cos0)。證明質點在y方向做等加速運動。

解：依題意：C2=x2+y2=R2(l+cos^)26>2+R2^2sin2^

得：?=—

2Rcos—

2

則：ay=y=R(&2cosO+dsin。)

2

「2—sinsin—

￡4n2____2

4R<2。、0)

cos—cos—

22

C2

-4R

11一質點沿著拋物線y2=2px運動，如圖所示，其切向加速度的量

值是法向加速度值的-2k倍。若此質點從正焦弦的一端點(%,p)

以速率u出發，求質點到達正焦弦的另一端點(%，-p)時的速率

VO

解：建立自然坐標系有："真+3

FlduciL>2ciodsciudscide

Fl：——=-2k—=-2k---=-2k-----=-2k。——

dtp夕dtds出dt

而

—=-2kd^

V

積分得：o=ue-2k。(代入%=u)

又因為：y2=2px在(%',p)點處斜率：

12豎直上拋一小球，設空氣阻力恒定。證明小球上升的時間比下落

返回至原地點的時間短0

解：設空氣阻力為f,且小球初速為“，質量為沒，則有:

上升時間：

g+

上升高度：h

2(g+

下落時間：t2

用

即得證。

13質量為m的質點自離地面h高度處下落。若空氣阻力與質點速度

的平方成正比，比例常數為C,試討論此質點下落過程中的運動狀況。

解：設加速度為a,速率為0,則：ma=mg-Ct/=mt）

得：潑廠dt積分并代入.。時…有:

s/m

a=8ge方原Jg%（l+e"夙尸（1原）<0

知：質點一直在做向下的變加速運動，且加速度越來越小。

14將一質量為m的質點以初速度?與水平線成a角拋出，此質點受

到的空氣阻力是其速度的mk倍，這里k是常數。試求當質點的速度與

水平線之間的夾角又為a角度時所需時間。

解：依牛頓第二運動定律有：mvx=-mkux,mvy=-mg-mkuy

積分并代入初始條件：f=0時：%=%sin0,L>Ov=v0cos6

解得：u=ucos0e~kl,u-(usin0+—)e~k,--

x0vokk

當再次夾角為a時：—=-tana

可解出：y4n（l+弛姐堂）

k8

15一質量為m的質點用一長度為/的不可伸長的輕繩懸掛于一小環

上，小環穿于一固定的水平鋼絲上，其質量為3%。開始時，小環靜

止質點下垂，處于平衡態。今若沿鋼絲的水平方向給質點以大小為

歷的初速度，證明若輕繩與鉛垂線之間的夾角是。時，小環在鋼絲

上仍不滑動，則鋼絲與小環間的摩擦系數至少是幾，此時繩中的張

力為3=3mgcos0o

解：依gm4=；〃?為2-mg/(l-cos6)

得：=2〃2gcos0

則:FT=mu%+mgcos0=3mgcos0

3mgeos8singsin202tan6

//=F-T------=-------------=--------=------

,32n.3cos22^+23+tan20

茸r上+萬加g3mgeosO+-mg

又因為：如=2(3+tan2e2tan26)=0

dtanO(3+tan2O'y

得：tan0-43

故：tan6=G

即得證。

16滑輪上繞有輕繩，繩端與一彈簧的一個端點聯結，彈簧的另一端

掛一質量為m的質點，如圖所示。當滑輪以勻角速率轉動時;質點以

勻速率/下降。若滑輪突然停止轉動，試求彈簧的最大伸長及彈簧中

的最大張力。已知彈簧作用力為W時的靜止伸長友。

解：(注：此題中W=mg)設最大伸長為4,有：女=巡=上

4)4)

依能量守恒：=［呻)2+Mg(4”-4)

解得：4”=4)+%歷

則：小=心=卻+"。西)

17兩個相同的輕質彈簧，勁度系數為的自然長度是/。，在它們中

間豎直地串接一質量為m的質點。彈簧的另外兩端點分別固定于A點

和B點，如圖所示，A、B間的高度差是3%。設開始時質點靜止于

AB的中點，求質點的運動規律。

17解：質點運動時勢能

V=-mgx+gk(x-\)+gk(-"x)=-mgx+kx2+^-

在平衡時：—=-mg+2kx=0

dx

得：x°=邂

2k

且運動時受力滿足：F=-—=mg-2kx=mx

dx

代入初始條件：t=0,x=0,A=Xo

18兩個質量都是m的質點A和質點B用一自然長度為/。的輕質彈簧

相連，置于一光滑水平桌面上，如圖所示。彈簧的勁度系數為3兩

質點處于靜止狀態，彈簧呈自然長度；而后，質點B沿AB方向受到

一大小為《的恒力作用。分別求處質點A和質點B的運動規律。

F

18解：依受力分析知IA-^A=1<(XB-XA-10)..?…?

FB=mxB=k(210+xA-xB)……*

*1+*2得：X+X=-1

ABm0

2

積分得：XA+xB=-^-t+10

代入*1得：x=—(―t2-2X)

Am2mA

積分得：XA=，(當"+cosot-l)

同理：＜B="(4^2+310-2XB)

m2m

積分得：xB=12-(---cos0t+5)

42

另解：先將AB及彈簧看成一系統，其質心做一受恒力kl的作用，再

將A與B理解成繞質心做周期性振動，可得A的運動規律為質心運動

與A振動的合運動，B亦然。計算亦很簡單！

19一質點從一光滑圓柱表面最高處，自靜止下滑，如圖所示。問質

點滑至何處將脫離圓柱表面？

解：將脫離時滑過相應角度為此時滿足：嚴gr(,cos6)=3mr設

mgr?2=mgrcos。

2

可解得：0-arccos—

3

20一鋼絲彎成尖端朝上的擺線：x=a(0-sine),z=a(l+cos°),上面穿

有一質量為m的小環。今若小環在鋼絲的最低處獲得大小為/的初速

度，開始沿擺線滑動。求出當小環的速度與水平線成a角度時，小環

的速率。。已知小環與鋼絲的摩擦系數為〃。

解：小環運動時一，依受力分析知:其

對鋼絲的正壓力為N=mgcosdf+mt^/

sin69(p

又因為:-------=-cot—

1-cos(p2

得：(p=2a+7i

dl=dVx2+z2=2asind^9=4acosada

彳弋入：(p=2a+7c、p==4asin"=4acosa

da2

得：N=mgcosa+nw/ac°sa

則損失能量：dQ=〃Ndl=〃(mgcosa+%。〃)4acosada

/NdCObCZ

再依能量守恒：dlT+Q+V%^。

得：T+2〃T+2mga(〃cos2a+sin2。+〃)=0

T=-mt>2=[C-2mgaj(〃cos2a+sin2a+....*

2

(其111V=mgz=mga(l+coscp))

現進行積分：e-2m=e%a

1

2pa

jcos2aeda=ucos2。+2jsin2cre2//ttd^z)

1

kin2ae2"*da=sin2a+2jcos2ae2^ada)

2Z/

fcos2ae"°da=(——rcos2^e2//a

J2(4+i)

解出:

代入*1得：

2a2/ja2

T=-mu=e-^{C-e[//sinla+(//一l)cos2a+(/?+1)]}.......*2

2/T+l

2

代入t=0,a=0,T()=Lmq2得：C=—mp0+

22LI~+1

再將C代入*2得：

—mt>2=din%2+2"乎1〃―把-2"a_m^-asin2o?+(/z2-l)cos2a+(//2+1)]

224+1//'+1

故：。={((V+l^L)e-2〃a一_[〃sin2a+(儲_1)cos2a+("+1)]作

〃一+1〃一+]

21如圖所示，用細線將一質量為m，的圓環懸掛起來，環上套有兩個

質量都是m的小環，它們可以在大環上無摩擦地滑動。若兩小環同時

從大環頂部由靜止向兩邊滑動，證明如果m〉3n%,大環將升起；此

時角6是多少？

解：小環因重力對m，的壓力N=mgcos。。而小環運動所需向心力必由

m，對m的彈力F與重力提供，滿足：N+F=Q(法向)

r

又依能量守恒知：gmt?=mg(l-cos6)

且依兩環的對稱性知，大環受合力向上，且大小為：

2

F合=2(巴幺-N)cos0=2[2mg(l-cos0)-mgcos0]cos0

當大環升起須滿足：%>m，g

故得方程：2mg(2-3cos。)cos。>m，g

<-3cos20+2cos0=-3(cos--)2+-<-

2m333

故：m>3叱

當滿足m>3叱時，升起時角度滿足3cos2。-2cos6+畀<0

解出：如卜^)3<如卜黑)

則剛升起時：0=arccosfj(1+^1-^-)]

第三章非慣性參考系

系擁廬山真面目，兄狼身在此山中。地球的，度

多彩，宇宙的繁殺，也許在送里可山略見一鶴。春先

無限，帝君且數千里目，別忘了去量語言在此將人致

盤彩。

【要點今新馬總修】

1相對運動

k=7+產

_drdr#drdrf_

dtdtdtdtdt

=D+0'+5x產

^_dv_dvd(7+3x〃)

a——t?

dtdtdt

,/

^^-4-+^-^+—xf+^x—+(wx(v+6)xr)

2

dt力2dtdt

=a,+a'+^xr'+3x(^xr,)+2axv'

=可+1+4

〈析〉僅此三式便可以使“第心說”與“日心說”歸于一家。

(1)平動非慣性系(而=0)

a=a'+atEP:ma'=F+(~mat)

(2)旋轉非慣性系(i=0)

萬二萬'+3x產+3x(3x/)+2由xO'

2地球自轉的效應(以地心為參考點)

mf=F-mg-1m(bxr

寫成分量形式為:

mx=Fx+2mcoysin2

<my=Fy-2mco(xsin4+之cosA)

mi=F_-mg+2ma)ycosZ

〈析〉坐標系選取物質在地面上一定點0為坐標原點，X軸指向南方,

Y軸指向東方，鉛直方向為Z軸方向。m?=F-mg-2ma)xir為旋

轉非慣性系齊一=〃斤+〃?切x尸+加<5x(萬x尸)+2〃湯x不在d)co,rR

條件下忽略"點x7與用后x?x了)所得。正因如此，地球上的物體運動

均受著地球自轉而帶來的科氏力-2加灰尸的作用，也正是它導致了

氣旋，反氣旋，熱帶風暴，信風，河岸右側沖刷嚴重，自由落體，傅

科擺等多姿多彩的自然現象。

〈注〉自由落體偏東的推導時，取F=0,且須應用級數展開，對小

量。作近似

12

cos2a>t?1——(2(y/)-,sinIcot?2cot

2

【解敢演示】

1一船蓬高4米，在雨中航行時，它的雨篷遮著蓬的垂直投影后2m

的甲板;但當停航時.，甲板上干濕兩部分的分界線卻在蓬前3m處,

如果雨點的速率是8米每秒，求船航行時的速率？

解：取湖面為慣性坐標系，如右圖所示建立坐標系

依幾何關系，設雨點相對湖面速度為0,=,]+§：(%)

船相對雨點的速度為3，7+￡:(%)

則：船相對湖面的航行速度U=D,+D'=ST(%)

則：u=8%

2.河的寬度為d,水的流速與離開河巖的距離成正比。巖邊水的

流速為0,河中心處水的流速為c。河中一小船內的人，以相對

于水流恒定的速率”，垂直于水流向岸邊劃去。求小船的舫行

軌道和抵達對巖的地點。

解：如右圖所示，建立xoy慣性系，且依題意可知人的位置(x,y)

滿足:

??f..................*

y=y=u3

由*3得：y=ut分別代入I，*2并聯立

c2/d、

XR一(y^-)

a.=ud2

到達對岸時j=d，代入得：x=9

2u

3.一圓盤以勻角速度融繞過圓心并與圓盤面垂直的軸轉動。一質

點M沿圓盤上的弦，以恒定的相對速度U運動，如圖所示。已

知該弦離盤心的距離為b,求在以地面為參考系時，質點M的

速度和加速度(表示成質點M離弦中點的距離x的函數).

解:設M的速度，加速度分別為0和a，依題意知：

0=o'+Rxp+a

=ui+0kx(xi+bj)+O

=(u-b6y)i+/xi

W=￡+We+吼

=0+0+0+疝x[疝x(xi+bj)]+269kxui

=-co2xi一#bj+2^uj

=-4y2xi-6y2b+(26yu-692b)j

4一飛機在赤道上空以速率1000k%水平飛行。考慮到地球的自轉

效應，分別在下列情形下求出飛機相對于慣性坐標系(不隨地

球轉動的坐標系)的速率：(1)向北飛行；(2)向西飛行；(3)

向東飛行。已知地球半徑為6370km.

解:以飛機為坐標原點，以向東為x方向,向南為y方向，豎直向上為z

方向，相對于地心(設為慣性系)的速度為：

q=WRT=7.295x1Of*6.4x1啖j=466.7%T

則:三種情況相對于地心的速度分別為：

(1)瓦=a+"'=466.7^i—1000k%j貝lj：g=Jg2+q，2=543%

(2)02=g+02'=466.7^i—lOOOk%；=i89%貝lj：4=189%

(3)03=2+。；=466.7啖；+10001<%；=744%則：q=744%

5—楔子，頂角為a,以勻加速度云。沿水平方向加速度運動。質量

為m的質點沿楔子的光滑斜面滑下，如圖所示。求質點相對于

楔子的加速度牙及質點對楔子的壓力認

解:依9=薪+才得：

x,

a=a-a0=gsinai+ancos<zj-(a0cosoj+a0sinai)=(gsina-a0cosa)i

z

又因為在平動非慣性中:=戶-mW,.得:巨=m(a0+a)-mg

F=m(gsinai+a0cosaj)-m(-gcosaj+gsinai)=m(gcos(z+a0sina)j

f

則楔子對斜面的壓力F=-F=-m(gcosa+a0sina)j

6一纜車，以大小為a。，與地平線成a角的勻加速度上升。纜車中

一物體自離纜車地板高度h處自由下落。求此物體落至地板處

的位置。

解:以纜車為坐標原點建立坐標系，如右圖則，物體滿足：

a,=aQ=-a0sinaj+a0cosai,a=gj

貝U：a'=a-at=(g+a0sina)j-a0cosai

知：a'--aQcosa,a-=g+a0sina

又因為：t=但

則：s,=^r=^h=-ha°cosa

'2'a：(g+a()sma)

即:向后方偏離恤3a

(g+/sina)

7一單擺擺長為/,懸掛點。，在水平線上作簡諧振動：x=asin/?。

這里x是懸掛點離開水平線上的固定點0的距離，如圖所示。

開始時擺錘沿鉛直下垂，相對于。，的速度為零。證明單擺此后

的微小振動規律為

2

。=-右(sin式中心=%

解似擺錘為原點建立坐標系“今,如右圖，則：C相對于。點運動狀

況：

2

=Xter-ger=apsinptcos電-gsin0eT=IOeT(利用:a=a+at)

再利用微振動cos。Lsin。夕，并令公=&有:

可角星得：8=Asin(h+*o)+:P——sinpt

//Jp2)

并代入初始條件f=0,。=&=0

2

積分并代入，得：0=(sinpt-y-sinkt)

l\K-p2)k

8一豎直放置的鋼絲圓圈，半徑為「，其上套有一質量為機的光滑

小環。今若鋼絲圈以勻加速度5豎直向上運動，求小環相對于

鋼絲圈的速率〃和鋼絲圈對小環的作用力大小外。已知初始時

刻鋼絲圈圓心與小環的連線跟鉛直線之間的夾角°=%，小環的

相對速率〃=與.

解:設與沿直線向方向的夾角為°。如右圖所示，以小環質心為參考

原點建立坐標系e,,%.,則在工方向上：aT-arl+aT.

即-gsin(p=asin(p+aT.

/日/、.du.duadu

,-(g+a)sin^=a，=—=(p—=——

ratd(prda(p

積分得：〃=+2r(g+a)(cos0-cos%)

在藍方向保持力平衡，則支持力

F=------+m(ge-ae)

rnn

=〃?["+2(g+a)(cos/-cos夕())]+〃?(g+a)cos夕

r

=〃z[(g+a)(3cos夕-2cos0o)+%-]

r

9一平放于光滑水平桌面上的圓盤，以恒定角速度方繞固定的圓盤

中心轉動。有一質量為機的人沿圓盤上確定的半徑以恒定的相

對速率“向圓盤的邊緣走動。試分別利用(1)地面慣性系；(2)

圓盤非慣性系，討論圓盤對人的作用力

解：(1)以地面慣性參考系討論，設人走的半徑為應，切向為酊則

有：

F-mgk+marr^-elt)-mgk-mco'uten

(2)以圓盤非慣性討論：&=E=

m

2

則：F=mg-medx((j)xr)+0=mg-ma)uten

10一半徑為「豎直放置的光滑圓環，繞通過其圓心的鉛直軸以恒

定的角速度了轉動。在此圓環上套有一質量為〃，的小環，自

。=%處相對于圓環無初帶地沿環下滑。問小環的位置。為何值

時，它的滑動將開始反向？這是。是圓環的圓心與小環的連線

跟轉軸之間的夾角。

解:同(8)題：2=4+濟在母方向上有:

gsin。=-corcos。sin8+Q'

4Bduudu1d2u.c、.八

倚：a=——=--=----=一（8+mcos，）sin，

dtrd（p2d（p

積分并代入0=工,，，=0得：

4

12/c兀、①r,2c1、

-H'=^(cos0--)+—(cos-0--)

2222

當開始反向時詞=0,代入上式解得:

6=arccos（一等一名）

11一內壁光滑的管子，在水平面內繞通過其端點。的鉛直軸，以

恒定的角速度了轉動。管內有一質量為加的質點，用一自然長

度為/，勁度系數為k的彈簧和管子的端點0相連，設初始時質

點到0的距離為1=/且;i=0。求質點在管中的運動方程及它對

管壁的壓力及。

解：以O為原點，如右圖建立直角坐標系，則有：

ci=ac+ae+a'=xi+cokx(a)kxxi)+2a)kxxi

得:a=(x-co2x)i+2co^*,

又因為：上上二幽_幺曰；……*2

mm

故：在X方向有：元=—(Q2-02)x+Q2/(其中：Q2=K)

m

解方程并代入f=0,1=/,土=0得：

2

lorZQ

x2（2-cos

=7Q^2---a-r-ar

再由*i,*2式得：-2mcox-2mlsinVo2-a)~t

y

鼠=mg

2

故:Fv=2ml,sinvH-co~tj+mgk

12質量為機的小環，套在半徑為廠的光滑圓圈上，若圓圈在水平面

內以勻角速度/繞其圓周上的一點轉動。試分別寫出小環沿圓

圈切線方向和法線方向的運動微分方程(以小環相對于圓圈繞

圓心轉過的角度。為參量寫出)，設圓圈對小環的作用力大小以

外表示，并可略去小環重力。

解：如右圖所不建立坐標系，則：產=r(l+cos0)1+rsin<9j

ur=-rsin007+rcosOOj

a=-r(cos00~+sin33)i+r(cos60-sinOO1)j

r2

ae=4+xrxxr)=0+0-+cos0)i-corsin0j

,

ac=2a)xD=-2cor0sin0j-2cor0cosOi

則:1=4+4+濟

=[-r(cos002+sin00)-co2r(l+cos0)-2cor0cos0]i

+[r(cos00-sin002)-eo2rsm0-2cor0sin0]J

=arer+anen

又因為：a=--e+0母,i=-sin^e+cos。/，j=cos0e4-sin0e

mnrTn

在己方向投影：氏=而+o，sin。=0

得切線方向：初+療sin。=0

在方向投影：4=-r02-co2r(\+cos0)-IcorO=-

m

12

得在法線方向：mrO-FN-mcor(l-]-cos0)-2mrco0

13一質量為機的質點，位于光滑的水平平臺上，此平臺以勻角速

度5繞通過平臺上一定點0的鉛直軸轉動。若質點受到0點的

吸引力戶=-機修不作用，這里不是質點相對于0點的徑矢。試證

明：質點在任何起始條件下，將繞。點以角速度力作圓周軌道

運動。

證明：(注：此題與12題過程與條件基本相同)

如右圖建立坐標系：

r'-rcos0i+rsin9j

u'=r'=-rsinOOi+而cos0j

a-r--r(cos06~+sin00)T+r(cos00-sin602)j

,2

de=a,+?xr+<vx(?xr)=0+0-?r(l+cos-療rsin0j

ac=2MXL)'--2cor0sin(9J-IcorOcos6i

1

貝J:a=ac+ae+a

-[-r(cos002+sin03)-<?2r(l+cos0)-2a)rdcos0]i

+[r(cos00-sin002)-a>2rsin0-IcorOsin0]j

=*+a,總

因為：i=-sin0eT+cos0en,j=cos0er+sin0en

且：％=0，。“=-02r

得：ar——r0=0,=0

an--r0'-arr-2a)r0--arr,0--Ico

即：將繞以角速度2O作圓周軌道運動。

14一拋物線形金屬絲豎直放置，頂點向下，以勻角速率。繞豎直

軸轉動。一質量為機的光滑小環套在金屬絲上。寫出小環在金

屬絲上滑動時的運動微分方程。已知金屬絲構成的拋物線方程

為f=4ay,這里a為常數。

解：如右圖建立直解坐標系，則:

TT,-：；I

r=xi+yj=xi+—j

4a

一,J.rxx二

v=r=xi-\---/

2a

...2

一,j.XXX.-r

Cl=U=XI-\r(---1---)1

2ala

貝I」：4+4=4+切x產+/jx(&/x/)+2coxk=arer+anen+abeb

其中：i=-sin^e+cos^e,J=cos0e+sin0e，k=etan—

rnrnb2a

.2

貝II：a=-(x-orx)cos0-(—x+—)sin=gsin0

r2a2a

代入tan^=—

2a

得：(1+￡)尤=一三一超+療x

4a24a22a

15在北緯4處，一質點以初速率/豎直上拋，到達高度為〃時又落

回地面。考慮地球的自轉效應，不計空氣的阻力，求質點落地

位置與上拋點之間的距離；是偏東還是偏西？為什么？

x-2a)ysinA*〕

解：依地球上質點運動方程：<歹=-2<y(Wsin/l+之cos4)....*2

z--g+2ft;ycos2....*3

初始條件為f=0,x=y=z=0,9=%

對**2式進行第一次積分f=2"S?"

z=-gt+2coycos4+%

2

代入*2得：y--4a)y-2eo(u()-gt)cos2

積分得：y=Acos2cot+Bsin2cot+———cos2

2a)

gtcosAucosAucosAcos2a)t

代入初始條件得:-----(-)------------0-------1----------------------

2co2a)2a)

一①t%ocos%；/cos2

落地時：f=2=j2/?g,代入上式得:

(y<0)

故偏西。

16