1/12022北京通州高二（下）期末數學一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．已知，（A），則等于A． B． C． D．2．已知定義在上的函數的圖象在點，（1）處的切線方程為，則（1）等于A． B． C． D．13．對三組數據進行統計，獲得以下散點圖．關于其相關系數依次是，，，則它們的大小關系是A． B． C． D．4．已知變量和變量的一組隨機觀測數據，，，，．如果關于的經驗回歸方程是，那么當時，殘差等于A． B．0 C．10 D．1105．用0，1，2，3，4，5這六個數字可以組成無重復數字的四位偶數有A．60個 B．106個 C．156個 D．216個6．某商店試銷某種商品20天，獲得如下數據：日銷售量（件0123頻數1595試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規律不變）．設某天開始營業時有該商品3件，當天營業結束后檢查存貨，若發現存貨少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨．將頻率視為概率，則第二天開始營業時，該商品有3件的概率為A． B． C． D．7．若，則取得最大值時，A．4 B．5 C．6 D．5或68．直線與函數，的圖象分別交于、兩點，當最小時，值是A．1 B． C． D．9．假設隨機變量服從正態分布，，隨機變量服從正態分布，，關于隨機變量，有以下三個結論：①；②；③．其中正確結論的個數有)A．0個 B．1個 C．2個 D．3個10．已知函數，給出下列三個命題：①對，恒成立；②函數在處取得極小值；③若對恒成立，則的最大值為．則正確命題的序號是A．① B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．（5分）的二項展開式中項的系數等于．（用數字作答）12．（5分）已知離散型隨機變量的概率分布如表，則，．2350.30.513．（5分）某區3000名學生的期中檢測的數學成績服從正態分布，，則成績位于，的人數大約是．（參考數據：，14．（5分）有兩臺車床加工同一型號零件，第1臺加工的次品率為，第2臺加工的次品率為，將兩臺車床加工出來的零件混放在一起，已知第1，2臺車床加工的零件占比分別為，，現任取一件零件，則它是次品的概率為．15．（5分）若函數在上可導，且滿足，則（1）（3）．（填“”或“”或“”）16．（5分）設函數，其圖象在點，（1），，處的切線的斜率分別為0，．關于，，及函數有下面四個結論：①，，②，③，④函數有且只有兩個極值點．則其中所有正確結論的序號是．三、解答題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．（12分）一個袋子中裝有8個大小相同的球，其中有5個紅球，3個白球．（Ⅰ）從袋子中任取1個球，設隨機變量，求的分布列及；（Ⅱ）從袋子中依次不放回的取出3個球作為樣本，用隨機變量表示紅球的個數，求的分布列及．18．（12分）某校高二年級共有學生400名，將數學和語文期中檢測成績整理如表1所示．表1數學成績語文成績合計優秀不優秀優秀7354127不優秀61212273合計134266400表2數學成績語文成績合計優秀不優秀優秀8513不優秀72027合計152540（Ⅰ）從400名學生中隨機選擇一人做代表．（?。┣筮x到的同學數學成績優秀且語文成績優秀的概率；（ⅱ）在選到同學數學成績優秀的條件下，求選到同學語文成績優秀的概率；（Ⅱ）從400名學生中獲取容量為40的有放回簡單隨機樣本，樣本數據整理如表2，依據的獨立性檢驗，能否認為數學成績與語文成績有關聯？，19．（14分）某工廠生產一種產品，產品等級分為一等品、二等品、普通品，為了解各等級產品的比例，檢測員從流水線上隨機抽取200件產品進行等級檢測，檢測結果如表所示．產品等級一等品二等品普通品樣本數量（件808040（Ⅰ）若從流水線上隨機抽取一件產品，估計該產品為一等品的概率；（Ⅱ）從該流水線上隨機抽取3件產品，記其中一等品的件數為，用頻率估計概率，求隨機變量的分布列和數學期望；（Ⅲ）為拓寬市場，工廠決定對抽取的200件樣本產品進行讓利銷售，每件產品的銷售價格均降低了元．設降價前后這200件樣本產品的利潤的方差分別為，，比較，的大?。ㄕ堉苯訉懗鼋Y論）20．（14分）甲、乙兩名乒乓球運動員進行乒乓球比賽，如果每局比賽甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，且每局比賽勝負相互獨立．（Ⅰ）若甲，乙兩名運動員共進行5局比賽，用隨機變量表示甲勝利的局數，求的分布列及；（Ⅱ）現有3局2勝和5局3勝兩種賽制，若你作為甲運動員，你希望選擇哪種賽制？并說明理由．21．（14分）設函數，，，記．（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求函數的單調區間；（Ⅲ）若函數的圖象恒在的圖象的下方，求實數的取值范圍．22．（14分）已知函數．（Ⅰ）令，求的單調區間；（Ⅱ）當時，若存在，，使得，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．【分析】根據已知條件，結合條件概率公式，即可求解．【解答】解：，（A），（A）．故選：．【點評】本題主要考查條件概率公式，屬于基礎題．2．【分析】由導數的幾何意義及切線的斜率可得（1）的導數值．【解答】解：定義在上的函數的圖象在點，（1）處的切線方程為，而切線的斜率為1，（1）．故選：．【點評】本題考查導數的概念與幾何意義，是基礎題．3．【分析】由圖分析得到正負相關即可．【解答】解：由題意得，第一組數據線性相關，且正相關，第二組數據線性相關，且負相關，第三組數據無相關關系，故，故選：．【點評】本題考查了變量相關關系的判斷，屬于基礎題．4．【分析】將代入線性回歸方程，求出的值，再結合殘差的定義，即可求解．【解答】解：當時，，則當時，殘差等于．故選：．【點評】本題主要考查線性回歸方程的應用，以及殘差的定義，屬于基礎題．5．【分析】分為0在個位和0不在個位兩類，計算每一類中符合要求的數的個數，結合分類加法和分步乘法計數原理進行求解即可．【解答】解：第一類，0在個位，共有種；第二類，0不在個位，從2、4中選一個數排個位，共種方法；從余下的數字中選一個排千位，共種方法；再排十位、百位，共種方法；所以共有種，所以這樣的四位偶數共有種，所以正確．故選：．【點評】本題考查了排列組合的混合問題，分類討論是最基本的指導思想，屬于基礎題．6．【分析】根據題意可知所求事件的對立事件，利用對立事件的概率公式求解．【解答】解：第二天開始營業時，該商品有3件，說明當天銷售了0件或2件或3件，其對立事件為當天銷售了1件，故．故選：．【點評】本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計算公式即可，屬于?？碱}型．7．【分析】求得的表達式，結合組合數的性質求得正確答案．【解答】解：因為，所以，由組合數的性質可知，當時，最大，此時取得最大值．故選：．【點評】本題考查了二項分布與次獨立重復試驗，屬于基礎題．8．【分析】將兩個函數作差，得到函數，再求此函數的最小值對應的自變量的值．【解答】解：設函數，求導數得當時，，函數在上為單調減函數，當時，，函數在，上為單調增函數所以當時，所設函數的最小值為，所求的值為．故選：．【點評】可以結合兩個函數的草圖，發現在上恒成立，問題轉化為求兩個函數差的最小值對應的自變量的值．9．【分析】根據正態曲線的性質判斷即可．【解答】解：依題意，，，．所，，．所以，，故①②均錯誤．因，，．所以，故③正確．故選：．【點評】本題主要考查正態分布，屬于基礎題．10．【分析】利用導數及三角函數的性質判斷①，由函數導數判斷函數單調性可判斷②，利用導數確定函數的單調性，求出函數的最值即可判斷③．【解答】解：，當時，，，故①正確；因為時，，所以在上單調遞減，故②錯誤；令，則，由在上單調遞減知，當時，，即，所以在上單調遞減，故，因為對恒成立，所以，即的最大值為，故③正確．故選：．【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性，考查學生的運算能力，屬于中檔題．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．【分析】根據二項式定理求出展開式中含項，由此即可求解．【解答】解：展開式中含的項為，所以的系數為15，故答案為：15．【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題．12．【分析】利用分布列求解，然后求解期望即可．【解答】解：由題意可得：，可得，所以．故答案為：0.2；3.7．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，是基礎題．13．【分析】根據該正態分布曲線關于直線對稱可解決此題．【解答】解：根據題意得該正態分布曲線關于直線對稱且，所以成績位于，的人數大約是（人．故答案為：1024．【點評】本題考查正態分布曲線應用，考查數學運算能力及直觀想象能力，屬于基礎題．14．【分析】根據相互獨立事件的概率公式計算即可．【解答】解：任取一件零件，則它是次品的概率為．故答案為：0.044．【點評】本主要考查相互獨立事件的概率公式，屬于?？碱}型．15．【分析】構造函數，利用導數法結合判斷其單調性，再利用單調性判斷．【解答】解：令，因為在上可導，且滿足，所以，所以在上單調遞減，所以（1）（3），即，所以（1）（3）．故答案為：．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了函數思想和轉化思想，屬中檔題．16．【分析】根據函數圖象在點，（1）處的切線的斜率為0，可（1），再由函數在，處的切線斜率為，再結合，可求出，的大小關系，然后可求出的范圍，利用導數求函數的極值點．【解答】解：由，得，因為函數圖象在點，（1）處的切線的斜率為0，所以（1），因為函數在，處的切線斜率為，，因為，所以，所以，所以，，由，得，因為，所以，因為，所以，將代入，得，因為方程有實根，所以△，所以，得，或，所以，因為，所以，因為，，所以，令，則，，，得或，所以當或時，，當時，，所以為極小值點，為極大值點，所以函數有且只有2個極值點，綜上，①③④正確，②錯誤，故答案為：①③④．【點評】本題考查利用導數研究函數的極值，考查學生的運算能力，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。17．【分析】（Ⅰ）由題意可知，，1，分別求出相應的概率，得到的分布列，再結合期望和方差公式求解即可．（Ⅱ）由題意可知，，1，2，3，分別求出相應的概率，得到的分布列，再結合期望和方差公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，，1，則，，的分布列為：01，．（Ⅱ）由題意可知，，1，2，3，則，，，，的分布列為：0123．【點評】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列，期望和方差，屬于中檔題．18．【分析】（Ⅰ）（?。└鶕?中的數據計算所求的概率值；（ⅱ）令事件為“數學成績優秀”，事件為“語文成績優秀”，求出和（A），再計算的值；（Ⅱ）根據列聯表2計算，對照臨界值得出結論．【解答】解：（Ⅰ）（ⅰ）選到的同學數學成績優秀且語文成績優秀的概率為；（ⅱ）令事件為“數學成績優秀”；事件為“語文成績優秀”，則，（A），所以，所以在選到同學數學成績優秀的條件下，選到同學語文成績優秀的概率為；（Ⅱ）根據列聯表2，計算，依據的獨立性檢驗知，能認為數學成績與語文成績有關聯．【點評】本題考查了條件概率的計算問題，也考查了獨立性檢驗的應用問題，是基礎題．19．【分析】（1）由古典概型公式計算可得答案；（2）根據題意，分析可得，由此計算可得答案；（3）根據題意，由方差的性質分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根據題意，樣本共有件，其中一等品有80件，則其概率；（Ⅱ）根據題意，，則，，，；其分布列為：01230.2160.4320.2880.064則有，（Ⅲ）根據題意，每件產品的銷售價格均降低了元，產品的平均售價也降低了元，則．【點評】本題考查隨機變量的分布列、期望與方差的計算，涉及概率、方差的計算，屬于基礎題．20．【分析】由題意可知，隨機變量，所有可能取值為0，1，2，3，4，5，分別求出對應的概率，再結合期望公式，即可求解．分別求出兩種賽制，甲獲勝的概率，通過比較大小，即可求解．【解答】解：由題意可知，隨機變量，所有可能取值為0，1，2，3，4，5，，1，2，3，4，，故的分布列為：012345故．希望采用“5局3勝制”，理由如下：采用“3局2勝制”時，甲獲勝的概率為，采用“5局3勝制”時，甲獲勝的概率為，故，故對于甲而言，顯然希望選擇“5局3勝制”．【點評】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列，需要學生熟練掌握期望公式，屬于中檔題．21．【分析】（Ⅰ）求出函數在處的導數，即可得到切線方程；（Ⅱ）求出的導數，討論參數的范圍，根據的符號，寫出單調區間；（Ⅲ）將函數圖象的位置關系轉化為函數的最值問題，根據（2）中的單調區間，求函數的最值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以（1），（1），則切線方程為．（Ⅱ），，當時，，則在上為增函數；當時，，即，則在上為增函數，上為減函數．綜上所述，當時，則的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，則的單調遞增區間為，單調遞減區間為．（Ⅲ）函數的圖象恒在的圖象的下方，即恒成立；由（Ⅱ）知，當時，則在上為增函數，此時無最大值，事實上（e），不合題意；當時，在上為增函數，上為減函數．所以，故；即實數的取值范圍是．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性與最值，利用導數研究函數的切線方程，考查了分類討論思想和轉化思想，屬中檔題．22．【分析】（Ⅰ）求出函數導數，利用函數導數求解單調區間即可；（Ⅱ）分類討論，當在不同區間取值時，利用導數求出函數單調性，再根據函數值及函數值的變化趨勢，判斷是否存在