7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算第七章

§7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算.2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律.學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)語(yǔ)我們知道，兩個(gè)一次式相乘，有(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，復(fù)數(shù)的加減法也可以看作多項(xiàng)式相加減，那么復(fù)數(shù)的乘除法又該如何定義呢？一、復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律二、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算三、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程隨堂演練內(nèi)容索引復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律

一問(wèn)題1類比多項(xiàng)式的乘法，我們?cè)撊绾味x兩復(fù)數(shù)的乘法呢？提示

復(fù)數(shù)的乘法法則如下：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.問(wèn)題2類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，你認(rèn)為復(fù)數(shù)滿足哪些運(yùn)算律？請(qǐng)證明你的猜想.提示

猜想：對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有：(1)交換律：z1z2＝z2z1；(2)結(jié)合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.證明：設(shè)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i.(1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i，z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i，且a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1，b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，∴z1z2＝z2z1.(2)∵(z1z2)z3＝[(a1＋b1i)(a2＋b2i)](a3＋b3i)＝[(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i](a3＋b3i)＝[(a1a2－b1b2)a3－(b1a2＋a1b2)b3]＋[(b1a2＋a1b2)a3＋(a1a2－b1b2)b3]i＝(a1a2a3－b1b2a3－b1a2b3－a1b2b3)＋(b1a2a3＋a1b2a3＋a1a2b3－b1b2b3)i，同理可證：z1(z2z3)＝(a1a2a3－b1b2a3－b1a2b3－a1b2b3)＋(b1a2a3＋a1b2a3＋a1a2b3－b1b2b3)i，∴(z1z2)z3＝z1(z2z3).(3)∵z1(z2＋z3)＝(a1＋b1i)[(a2＋b2i)＋(a3＋b3i)]＝(a1＋b1i)[(a2＋a3)＋(b2＋b3)i]＝[a1(a2＋a3)－b1(b2＋b3)]＋[b1(a2＋a3)＋a1(b2＋b3)]i＝(a1a2＋a1a3－b1b2－b1b3)＋(b1a2＋b1a3＋a1b2＋a1b3)i，z1z2＋z1z3＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＋(a1＋b1i)(a3＋b3i)＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i＋(a1a3－b1b3)＋(b1a3＋a1b3)i＝(a1a2－b1b2＋a1a3－b1b3)＋(b1a2＋a1b2＋b1a3＋a1b3)i＝(a1a2＋a1a3－b1b2－b1b3)＋(b1a2＋b1a3＋a1b2＋a1b3)i，∴z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.1.復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝__________________.2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3∈C，有知識(shí)梳理(ac－bd)＋(ad＋bc)i交換律z1z2＝____結(jié)合律(z1z2)z3＝_______乘法對(duì)加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________z2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3例1

計(jì)算下列各題.(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2＝1－i2＋4＋4i＋i2＝5＋4i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算的一般步驟①首先按多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)；②再將i2換成－1；③然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算.(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.反思感悟跟蹤訓(xùn)練1(1)計(jì)算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于A.2i－13 B.13＋2iC.13－2i D.－13－2i√(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.(2)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)√因?yàn)?1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a＋1,1－a)，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算

二問(wèn)題3類比實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，你認(rèn)為該如何定義復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算？提示

復(fù)數(shù)除法的法則：求解過(guò)程：(1)設(shè)復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)除以c＋di(c，d∈R)，其商為x＋yi(x，y∈R)，即(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi.∵(x＋yi)(c＋di)＝(cx－dy)＋(dx＋cy)i，∴(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi.實(shí)際過(guò)程中一般采用下面的過(guò)程：知識(shí)梳理復(fù)數(shù)除法的法則是：(a＋bi)÷(c＋di)＝_______________(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0).復(fù)數(shù)的除法的實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化.若分母為a＋bi型，則分子、分母同乘a－bi；若分母為a－bi型，則分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù).

(1)若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為A.3＋5i B.3－5iC.－3＋5i D.－3－5i例2√∵z(2－i)＝11＋7i，－2＋i復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則的應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法法則在實(shí)際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用“分母實(shí)數(shù)化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母成為實(shí)數(shù)，再計(jì)算.反思感悟跟蹤訓(xùn)練2√在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

三例3(課本79頁(yè)例6)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根(b，c為實(shí)數(shù)).(1)求b，c的值；∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.(2)試判斷1－i是否為方程的一個(gè)根.由(1)知方程為x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左邊，得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，顯然方程成立，∴1－i也是方程的一個(gè)根.延伸探究若將條件中的“1＋i”改為“1＋ai”，判斷a與c之間的關(guān)系.因?yàn)閷?shí)系數(shù)復(fù)數(shù)方程的兩根互為共軛復(fù)數(shù)，所以另一根為1－ai，所以(1＋ai)(1－ai)＝c，即1＋a2＝c.故a與c之間的關(guān)系為1＋a2＝c.反思感悟解決復(fù)數(shù)方程問(wèn)題的方法與復(fù)數(shù)方程有關(guān)的問(wèn)題，一般是利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，把復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化進(jìn)行求解.根與系數(shù)的關(guān)系仍適用，但判別式“Δ”不再適用.跟蹤訓(xùn)練3

已知關(guān)于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實(shí)根，求這個(gè)實(shí)根及實(shí)數(shù)k的值.課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)復(fù)數(shù)的乘法及運(yùn)算律.(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.(3)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程.2.方法歸納：分母實(shí)數(shù)化、配方法、求根公式法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：分母實(shí)數(shù)化時(shí)忽視i2＝－1造成運(yùn)算錯(cuò)誤.隨堂演練

12341.若a，b∈R，i為虛數(shù)單位，且(a＋i)i＝b＋i，則A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1C.a＝－1，b＝