2.3.1向量數量積的物理背景與定義

向量的加法向量的減法實數與向量的乘法運算結果向量向量向量兩個向量還能否做其他運算

復習回顧:我們學過向量的哪些運算？?它們與物理學中的矢量運算有何聯系？

sFFFvFvFFss思考1：為了使初速度相同的物體沿光滑水平面繼續前進位移s

，分別給物體施加三個大小相同的力，請問那組會最先到達終點?物理情境，引入課題vsFαFα

思考2：物體在與水平方向成α角的力F的作用下，沿光滑水平面前進了位移s

，如何求拉力F對物體做的功?物理情境，引入課題FW=F1s=sFcosαW=sFcosα類比學習，知識遷移根據力的作用效果把F分解為兩個分力：所以αF2F1與位移方向平行的分力:F1＝Fcosα

與位移方向垂直的分力:F2

＝FsinαFF1=FcosααF2F1類比1、向量在軸上的正射影

向量在軸上的正射影的數量

類比是一個數量！W=F1s2、兩個向量的夾角

兩個非零向量

和，作，

與

反向OABOA

與

同向OABB記作與

垂直，OAB特殊情況：則叫做向量

和

的夾角．類比（1）在兩向量的夾角定義中,兩向量必須是共始點的（3）在討論垂直問題時，

零向量與任意向量垂直。（2）說明：（3）零向量與任意向量的數量積為0，即（1）這是一種新的運算法則，“.”不能省略不寫，

a·b不能寫成a×b

，a×b

表示向量的另一種運算．

表示數量而不表示向量,決定其結果有三個量，這是與實數乘法的最大區別。（2）3、向量的數量積的定義

說明概念生成

兩非零向量與的數量積是一個實數，那么它什么時候為正，什么時候為負，什么時候為零？小組討論OlAbaOlAbaOlAabOABabθ為時，它是|a||b|0。θ為時，它是-|a||b|

180。θ為銳角時，|a||b|

cosθ＞0AOlbaθ為直角時，|a|||b|

cosθ=0θ為鈍角時，|a||b|

cosθ＜0向量數量積的幾何意義

向量a與b的數量積等于a的長度|a|

與b在a上的正射影的數量|b|cosθ的積.還有其它說法嗎？想一想：

概念深化例1.已知軸（1）.向量︱OA︱=5,＜OA,＞=60°,求OA在

上的正射影的數量OA1（2）.向量︱OB︱=5,＜OB,＞=120°,求OB在

上的正射影的數量OB1(3)已知向量a,b,向量|a|=4,|b|=6<a,b>=600,則向量a在向量b上的正射影的數量解：4cos600=2解：OA1=5COS600=5×(?)=5/2例題分析：解：OB1=5COS1200=5×(-?)=-5/2例題分析：解:(1)a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）

=－10解:(2)a·b=|b||a|cosθ=5×（-6）

=－30如圖，在正三角形ABC中，求

ABC通過平移變成共起點！！課堂練習1課堂練習2進行向量數量積計算時,既要考慮向量的模,又要根據兩個向量方向確定其夾角。CA銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定課堂練習3ABCD向量數量積的性質課堂練習4用于判定兩向量垂直用于計算向量的模用于計算向量的夾角證明：我們學到了什么？課堂小結，總結提升功類比向量的數量積表達式夾角正射影正攝影的數量W=sFcosαF1=Fcos