2022年湖南省衡陽市水口山有色金屬有限責任公司高級中學高二數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.袋中有大小相同的5個球，分別標有1，2，3，4，5五個號碼，現在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設兩個球號碼之和為隨機變量ξ，則ξ所有可能取值的個數是（）A．5 B．9 C．10 D．25參考答案：B【考點】D1：分類加法計數原理；D9：排列、組合及簡單計數問題．【分析】由題意，這是有放回抽樣，將號碼之和可能的情況列舉可得答案．【解答】解：根據題意，分析可得，這是有放回抽樣，號碼之和可能的情況為：2、3、4、5、6、7、8、9、10，共9種；故選B．【點評】本題考查列舉法的運用，難度不大，注意又放回與不放回抽樣的區別．2.的展開式中各項的二項式系數之和為（

）A.－1 B.512 C.－512 D.1參考答案：B【分析】展開式中所有項的二項系數和為【詳解】展開式中所有項的二項系數和為.的展開式中各項的二項式系數之和為故答案選B【點睛】本題考查了二項系數和，屬于基礎題型.3.在四邊形中，，，，其中向量、不共線，則四邊形為（A）梯形

（B）平行四邊形

（C）菱形

（D）矩形參考答案：A4.設{an}是等比數列，函數y=x2－x－2013的兩個零點是a2，a3，則ala4=A．2013

B．1

C．－1

D．－2013參考答案：D5.直線的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】直線的傾斜角．【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關系，即可得出結論．【解答】解：設直線的傾斜角為α，則|tanα|=||≥，∴α∈，故選D．【點評】本題考查直線的傾斜角與斜率的關系，考查學生的計算能力，比較基礎．6.已知集合，，則（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】根據指數不等式求得集合，再由集合的交、并、補運算求解.【詳解】∵集合，，∴，，，．故選C．【點睛】本題考查指數不等式和集合的交、并、補運算，屬于基礎題.7.直線y=x﹣3與拋物線y2=4x交于A、B兩點，過A、B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為（）A．48 B．56 C．64 D．72參考答案：A【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計算題．【分析】依題意聯立方程組消去y，進而求得交點的坐標，進而根據|AP|，|BQ|和|PQ|的值求得梯形APQB的面積【解答】解：直線y=x﹣3與拋物線y2=4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P，Q，聯立方程組得，消元得x2﹣10x+9=0，解得，和，∴|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形APQB的面積為48，故選A．【點評】本題主要考查了拋物線與直線的關系．常需要把直線與拋物線方程聯立根據韋達定理找到解決問題的途徑．8.每一噸鑄鐵成本y(元)與鑄件廢品率建立的回歸方程，下列說法正確的是（）Ａ．廢品率每增加1%，成本每噸增加8元Ｂ．廢品率每增加1%，成本每噸增加8%Ｃ．廢品率每增加1%，成本每噸增加64元Ｄ．如果廢品率增加1%，則每噸成本為56元參考答案：A9.函數f（x）=（）x﹣x﹣2的零點所在的區間為（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）參考答案：A【考點】二分法的定義．【分析】由函數零點的存在性定理，結合答案直接代入計算取兩端點函數值異號的即可．【解答】解：f（﹣1）=2+1﹣2=1＞0，f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，由函數零點的存在性定理，函數f（x）=（）x﹣x﹣2的零點所在的區間為（﹣1，0）故選，：A10.已知函數，且，則的值（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.記Sn為等比數列{an}的前n項和．若，則S5=____________．參考答案：.【分析】本題根據已知條件，列出關于等比數列公比的方程，應用等比數列的求和公式，計算得到．題目的難度不大，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．【詳解】設等比數列的公比為，由已知，所以又，所以所以．【點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式分式計算，部分考生易出現運算錯誤．12.將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1,2,3,4的四個盒子中，則1號盒子中有球的不同放法種數為______________．參考答案：3713.現有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得﹣1分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結果相互獨立，假設該射手完成以上三次射擊，則該射手得3分的概率為_________．參考答案：14.已知函數（其中e是自然對數的底數）.若關于x的方程恰好有4個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是

．參考答案：作出函數f（x）的草圖，由此要想關于的方程恰好有4個不相等的實數根，故只需次二次非常產生兩個不同的根且一根在（0,1）一根大于1即可，故：，故答案為：

15.用反證法證明命題“如果0＜x＜y，那么”時，應假設

．參考答案：

16.函數的單調遞減區間為

.參考答案：略17.計算=．參考答案：2﹣i【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則即可得出．【解答】解：原式==﹣i+2，故答案為：2﹣i．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．（1）若PA=PD，求證：AD⊥平面PQB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點M在線段PC上，且PM=3MC，求三棱錐P﹣QBM的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用線面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；（2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用椎體體積公式求出；【解答】證明：（1）∵PA=PD，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PQ⊥BC，又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，∴BC⊥平面PQB，又PM=3MC，∴VP﹣QBM=VM﹣PQB=．19.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱AA1的長為5.（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積；（2）設M是BC中點，求直線A1M與平面ABC所成角的大小.參考答案：（1）20;（2）【分析】（1）三棱柱的體積，由此能求出結果；（2）連結是直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的大小.【詳解】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱AA1的長為5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積：V＝S△ABC×AA120．（2）連結AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側棱AA1的長為5，M是BC中點，∴AA1⊥底面ABC，AM，∴∠A1MA是直線A1M與平面ABC所成角，tan∠A1MA，∴直線A1M與平面ABC所成角的大小為arctan．【點睛】本題考查三棱柱的體積的求法，考查線面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．20.（本小題滿分13分）選修4-2：矩陣與變換

已知矩陣．(Ⅰ)求的逆矩陣；

(Ⅱ)求矩陣的特征值、和對應的特征向量、．參考答案：(Ⅰ),

……………2分∴.

……………5分(Ⅱ)矩陣的特征多項式為

，

………………8分令，得,

……………10分當時，得,當時，得.

………………………13分21.已知函數.（Ⅰ）求函數的單調區間與極值；（Ⅱ）若，且，證明：.參考答案：解：（Ⅰ）由，易得的單調增區間為，單調減區間為，函數在處取得極大值，且（Ⅱ）由，，不妨設，則必有，構造函數，，則，所以在上單調遞增，，也即對恒成立.由，則，所以，即，又因為，，且在上單調遞減，所以，即證.

22.如圖，三棱錐A﹣BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=CD=4，AC=4，CD=4，∠ACB=45°，E，F分別為MN的中點．（1）求證：EF∥平面ABD；（2）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連接E，F，由E，F分別為AC，CD的中點，結合三角形中位線定理可得EF∥AD，再由線面平行的判定可得EF∥平面ABD；（2）由已知求解三角形可得AB⊥BC，結合△ABC和△BCD所在平面互相垂直可得AB⊥平面BCD，取BC中點G，過點G作BF的垂線GH，點H為垂足，則∠EHG為二面角E﹣BF﹣C的平面角，求解直角三角形得答案．【解答】（1）證明：連接E，F，∵E，F分別為AC，CD的中點，∴EF∥AD，又AD?平面ADB，EF?平面ADB，∴EF∥面ABD；（2）解：取BC中點G，過點G作BF的垂線GH，點H為垂足，∵AB=4，