第二章正投影法基礎1投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法畫透視圖畫斜軸測圖畫工程圖樣及正軸測圖2.1投影的基本知識一、投影法分類2中心投影法投射線投射中心物體投影面投影物體位置改變，投影大小也改變思考:1、在中心投影下,投影能否反映物體的真實大小?

2、當物體沿投影面的法線方向移動時,其投影大小變不變?3、中心投影能否滿足繪制工程圖樣的要求?3平行投影法斜角投影法投射線互相平行且垂直于投影面投射線互相平行且傾斜于投影面直角（正）投影法1、沿投影方向移動物體,其正投影的大小變不變?2、物體的投影有否可能反映某一個面的實形?3、正投影能否滿足繪制工程圖樣的要求?思考:工程圖樣多數采用正投影法繪制4二、正投影法的基本性質1、實形性：當物體平行于投影面，投影反映實形；2、積聚性：當物體垂直于投影面，投影積聚；3、類似性：當物體傾斜于投影面，投影成類似形；4、平行性：空間兩平行線的投影保持平行；5、從屬性：點屬于線、面，線屬于面，投影保持從屬性；6、定比性：點分線段的比例，投影保持不變。52.2三視圖1、單一正投影不能完全確定物體的形狀和大小6三個投影78VWHx0yzy俯視主視左視2、三視圖的形成YXZO規定:V面保持不動，H面向下向后繞OX軸旋轉900，W面向右向后繞OZ軸旋轉900。9高長寬長高長寬高寬X方向作為度量物體長度的方向；Y方向作為度量物體寬度的方向；Z方向作為度量物體高度的方向。主視圖長、高俯視圖長、寬左視圖高、寬OXYZVWH（3）視圖的度量性視圖上物體的相對位置103、三面投影與三視圖1）三視圖主視圖——正面投影（前向后看）俯視圖——水平投影（上向下看）左視圖——側面投影（左向右看）2）三視圖之間的度量對應關系三等關系主視俯視長相等且對正主視左視高相等且平齊俯視左視寬相等且對應長高寬寬長對正寬相等高平齊113）三視圖之間的方位對應關系OXYZVWH上下左右后上下前后左右前上下左右前后12主視圖反映：上、下、左、右俯視圖反映：前、后、左、右左視圖反映：上、下、前、后上下左右后前上下前后左右13XYZY1Y2Y1Y2例1、由物體的立體圖畫三視圖主線型前前14虛線要畫例2、畫三視圖123要注意寬相等152.3點的投影Pb●●AP采用多面投影。過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B1●B2●B3●點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。一、點在一個投影面上的投影a●解決辦法？16二、點在兩投影面體系中的投影1、兩投影面體系的建立2、點在兩投影面體系中的投影HVOXaAZYXaA點的水平投影——aA點的垂直投影——a173、點在兩投影面體系中的投影規律1）點的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸2）點的正面投影到OX軸的距離反映該點到H面的距離；點的水平投影到OX軸的距離反映該點到V面的距離。點的投影到相應投影軸的距離，反映空間點到相應投影面的距離.

18HWV三、點的三面投影投影面◆正面投影面（簡稱正面或V面）◆水平投影面（簡稱水平面或H面）◆側面投影面（簡稱側面或W面）投影軸oXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線Y三個投影面互相垂直19空間點A在三個投影面上的投影a點A的正面投影a點A的水平投影a點A的側面投影空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。WHVoXa●a●a●A●ZY20WVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動投影面展開aaZaayayaXYYO●●az●x21●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規律:①aa⊥OX軸②aax=aaz=y=A到V面的距離aax=aay=z=A到H面的距離aay=aaz=x=A到W面的距離xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸22點的三面投影和坐標的關系為：

水平投影a反映A點X和Y的坐標；正面投影a'反映A點X和Z的坐標；側面投影a"反映A點Y和Z的坐標。yxzOAVHWa'aa"XZY畫出A點投影圖和舉例23●●aaax例：已知點的兩個投影，求第三投影。●a●●aaaxazaz解法一:通過作45°線使aaz=aax解法二:用分規直接量取aaz=aaxa●24特殊位置點：25d’dee’f’f’’e’’fd’’zxYW

YH0例：已知點的兩投影，求其第三投影daa’a’’26點的投影規律一點的兩投影之間的連線垂直于投影軸；點的一個投影到某投影軸的距離等于空間點到與該投影軸相鄰的投影面之間的距離。因此在求作點的'投影時，應保證做到:點的V面投影與H面投影之間的連線垂直于0X軸，即a'a上0X；點的V面投影與W面投影之間的連線垂直0Z軸，即a'a"上0Z；點的H面投影到0X軸的距離及點的W面投影到0Z軸的距離兩者相等，都反映點到V面的距離。27點的投影與直角坐標的關系若把三個投影面當作空間直角坐標面，投影軸當作直角坐標軸，則點的空間位置可用其（X、Y、Z）三個坐標來確定，點的投影就反映了點的坐標值，其投影與坐標值之間存在著對應關系。點的一個投影反映了點的兩個坐標。已知點的兩個投影，則點的X、Y、Z三個坐標就可確定，即空間點是唯一確定的。因此已知一個點的任意兩個投影即可求出其第三投影。28各種位置點的投影空間點點的X、Y、Z三個坐標均不為零，其三個投影都不在投影軸上。投影面上的點點的某一個坐標為零，其一個投影與投影面重合，另外兩個投影分別在投影軸上。投影軸上的點點的兩個坐標為零，其兩個投影與所在投影軸重合，另一個投影在原點上。與原點重合的點點的三個坐標為零，三個投影都與原點重合。29四、兩點的相對位置

兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。判斷方法：▲x坐標大的在左

▲y坐標大的在前▲

z坐標大的在上B點在A點之前、之右、之下。baa

abb●●●●●●XYHYWZ30例題2已知A點在B點之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A點的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

98531兩點的相對位置兩點的相對位置是根據兩點相對于投影面的距離遠近（或坐標大小）來確定的。X坐標值大的點在左；Y坐標值大的點在前；Z坐標值大的點在上。根據一個點相對于另一點上下、左右、前后坐標差，可以確定該點的空間位置并作出其三面投影。32重影點：空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。A、C為H面的重影點被擋住的投影加()A、C為哪個投影面的重影點呢？●●●●●aacc()ac33重影點及可見性判別若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。重影點在三對坐標值中，必定有兩對相等。從投影方向觀看，重影點必有一個點的投影被另一個點的投影遮住而不可見。判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。342.4直線的投影兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。直線對一個投影面的投影特性一、直線的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●aaabbb●●●●●●直線投影的基本特性

一般情況下，直線的投影仍然為直線，特殊情況為一個點。35二、直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統稱特殊位置直線垂直于某一投影面361、投影面平行線水平線正平線側平線37baababbaabba①在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角的實大。②另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。水平線側平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實長實長實長βγααβbaaabb382、投影面垂直線鉛垂線正垂線側垂線39鉛垂線正垂線側垂線②另外兩個投影，反映線段實長。且垂直于相應的投影軸。①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)403、一般位置直線41投影特性：三個投影都縮短。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角的實大，且與三根投影軸都傾斜。abbaba42|zA-zB

|ABABbbaaCXO1）求直線的實長及對水平投影面的夾角角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab43ABbbaaCXO2）求直線的實長及對正面投影面的夾角

角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB||YA-YB|AB|YA-YB|44XZYO3）求直線的實長及對側面投影面的夾角

角ABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB||XA-XB|45例題1已知線段的實長AB，求它的水平投影。a|zA-zB|abab|yA-yB|ABABab|zA-zB|bXabAB46一、直線與點的相對位置47◆若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：

◆若點的投影有一個不在直線的同名投影上，則該點必不在此直線上。點在直線上的判別方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理48直線上的點具有兩個特性：1從屬性若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。2定比性屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=ac:

cb=ac

:

cb

ABbbaaXOccCc49點C不在直線AB上例1：判斷點C是否在線段AB上。abcabc①c②abcab●點C在直線AB上50例2：判斷點K是否在線段AB上。ab●k因k不在a

b上，故點K不在AB上。應用定比定理abkabk●●另一判斷法?51例題3已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHV52bbXaaBC例題4已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點C的投影，使BC的實長等于已知長度L。cLABzA-zBcab53二、兩直線的相對位置平行相交交叉垂直相交54空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。⒈兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbda55abcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①56bdcacbaddbac對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側面投影后可知：AB與CD不平行。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側面投影如何判斷？57HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規律。交點是兩直線的共有點58●●cabbacdkkd例：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影59dbaabcdc’1(2)3(4)⒊兩直線交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點投影規律。★“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。為什么？12●●3

4●●兩直線相交嗎？60例題判斷兩直線的相對位置baacddcbX11d1c161判斷兩直線重影點的可見性XOBDACbbaaccdd(3)41(2)43341212判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。62例題判斷兩直線重影點的可見性bbcddcXaa3(4)34121(2)634、兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。設直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHacbabc.證明：64dabcabc●●d例：過C點作直線與AB垂直相交。AB為正平線,正面投影反映直角。.65eee'e'c'c'例已知直線AB兩面投影和C點的水平投影,試過C點作一條直線CE垂直于AB,求直線CE兩面投影。cbab'a'OX兩直線交叉66f例題過點E作線段AB、CD的公垂線EF。fOcbaabXcddee67小結★點與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。★點與直線及兩直線的相對位置的判斷方法及投影特性。★定比定理。★直角定理，即兩直線垂直時的投影特性。重點掌握：68一、各種位置直線的投影特性⒈一般位置直線三個投影與各投影軸都傾斜。⒉投影面平行線在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應投影面的夾角。另兩個投影平行于相應的投影軸。⒊投影面垂直線在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應的投影軸。69二、直線上的點⒈點的投影在直線的同名投影上。⒉點分線段成定比，點的投影必分線段的投影成定比——定比定理。三、兩直線的相對位置⒈平行⒉相交⒊交叉（異面）同名投影互相平行。同名投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合空間一個點的投影規律。同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規律。“交點”是兩直線上一對重影點的投影。70四、相互垂直的兩直線的投影特性⒈兩直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒉兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上的投影反映直角。⒊兩直線均為一般位置直線時，在三個投影面上的投影都不反映直角。直角定理712.5平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcabc不在同一直線上的三個點●●●●●●abcabc直線及線外一點abcabc●●●●●●d●d●兩平行直線abcabc●●●●●●兩相交直線●●●●●●abcabc平面圖形1、用幾何元素表示平面72732、平面的跡線表示法VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ74平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把實形現★

平面垂直投影面-----投影積聚成直線★平面傾斜投影面-----投影類似原平面實形性類似性積聚性⒈平面對一個投影面的投影特性二、平面的投影特性75⒉平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜正垂面側垂面鉛垂面正平面側平面水平面761）投影面垂直面鉛垂面正垂面側垂面77VWHPPH鉛垂面投影特性：1、abc積聚為一條線2、abc、abc為ABC的類似形3、abc與OX、OY的夾角反映、角的真實大小

ABCacbababbaccc78VWHQQV正垂面投影特性：1、abc積聚為一條線2、abc、abcABC的類似形3、abc與OX、OZ的夾角反映α、角的真實大小

αababbacccAcCabB79VWHSWS側垂面投影特性：1、abc積聚為一條線2、abc、abc為

ABC的類似形3、abc與OZ、OY的夾角反映α、β角的真實大小

CabABcabbbaaαβccc80abcacbcba類似性類似性積聚性鉛垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影有類似性。為什么？γβ是什么位置的平面？812）投影面平行面水平面正平面側平面82VWH水平面投影特性：1、abc、abc積聚為一條線積聚為一條線，具有積聚性2、水平投影abc反映

ABC實形

CABabcbacabccabbbaacc83正平面VWH投影特性：1、abc、abc積聚為一條線，具有積聚性2、正平面投影abc反映

ABC實形

cabbacbcabacabcbcaCBA84投影特性：1、abc、abc積聚為一條線，具有積聚性2、側平面投影abc反映

ABC實形

側平面VWHabbbacccabcbacabcCABa85abcabcabc積聚性積聚性實形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。863）一般位置平面87一般位置平面投影特性1、abc、abc、abc均為ABC的類似形2、不反映、、

的真實角度

abcbacababbaccbacCAB88判斷直線在平面內的方法

定理一若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內。定理二若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內。⒈平面上取任意直線三、平面上的直線和點8990abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內任作一條直線。解法一解法二根據定理二根據定理一有多少解？有無數解。91例2：在平面ABC內作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。nmnm10cabcab唯一解！有多少解？92⒉平面上取點93先找出過此點而又在平面內的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。b①accakb●k●

面上取點的方法：首先面上取線②●abca’bkcdk●d利用平面的積聚性求解通過在面內作輔助線求解94例題2已知

ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。ddabcabcee95bckadadbcadadbckbc例3：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一解法二963、平面上的投影面平行線一般位置平面上存在一般位置直線和投影面平行線，不存在投影面垂直線。9798abcbac例題已知

ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面的水平線。mnnm99例：在平面ABC上取一點K，使點K在點A之下15mm、在點A之前20mm處。1002.6直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括平行、相交和垂直。一、平行問題直線與平面平行平面與平面平行包括⒈直線與平面平行定理：若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。101n●●acbmabcmn例1：過M點作直線MN平行于平面ABC。有無數解有多少解？102正平線例2：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。c●●bamabcmn唯一解n103例題3:試判斷直線AB是否平行于定平面fgfgbaabcededc結論：直線AB不平行于定平面104⒉兩平面平行①若一平面上的兩相交直線對應平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef105例題1試判斷兩平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss結論：兩平面平行106例題2已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkk107二、相交問題直線與平面相交平面與平面相交⒈直線與平面相交直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。要討論的問題：●求直線與平面的交點。

●判別兩者之間的相互遮擋關系，即判別可見性。我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況。108109abcmncnbam⑴平面為特殊位置例：求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性。空間及投影分析平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。①求交點②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可通過重影點判別可見性。k●1(2)作圖k●●2●1●110111km(n)b●mncbaac⑵直線為特殊位置空間及投影分析直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k2為不可見。1(2)k●2●1●●作圖用面上取點法112⒉兩平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：①求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線的方向。只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況。②判別兩平面之間的相互遮擋關系，即：

判別可見性。113可通過正面投影直觀地進行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個點便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖從正面投影上可看出，在交線左側，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能否不用重影點判別？能!如何判別？例：求兩平面的交線MN并判別可見性。⑴114115bcfhaeabcefh1(2)空間及投影分析平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點m、bc與fh的交點n即為兩個共有點的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點Ⅰ在FH上，點Ⅱ在BC上，點Ⅰ在上，點Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n●2●n●m●1●⑵116cdefababcdef⑶投影分析N點的水平投影n位于Δdef的外面，說明點N位于ΔDEF所確定的平面內，但不位于ΔDEF這個圖形內。所以ΔABC和ΔDEF的交線應為MK。n●n●m●k●m●k●互交117

小結

重點掌握：二、如何在平面上確定直線和點。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面內的兩組相交直線對應平行。四、直線與平面的交點及平面與平面的交線