2023北京北大附中初二（下）期中數學班級__________數學教室號__________姓名__________考號__________1．本試卷共6頁，道小題，滿分100分，時間90分鐘．2．在試卷和答題卡上準確填寫班級、數學教室號、姓名和考號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5．調研結束，請將答題卡交回．考生須知一、選擇題（本題共分，每小題3分）第1—8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．．．1.計算(2)2的結果為（）A.2B.4C.2D.222.以下列各組數為邊長，可以構成直角三角形的是（）A.5，12，B.12，3C.44，4D.4，563.下列二次根式中，最簡二次根式是（）1A.5B.12C.D.D.m27P(?2)到原點的距離是（）4.在平面直角坐標系中，點A.1B.2C.535.下列計算正確的是（）A.2+3=5B.23?3=3C.52=10BCD.6=326.如圖，已知平行四邊形ABCD，BAD的角平分線交邊于點．交E延長線于點，如果FF=，那么的度數是（）BA.30B.40C.50D.7.如圖，在實踐活動課上，小華打算測量學校旗桿的高度，她發現旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1m，當她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時，測得繩子底端距離旗桿底部5m，由此可計算出學校旗桿的高度是（）第1頁/共24頁A.8mB.10mC.12mD.15m8.如圖，AB為55的正方形網格中的兩個格點，稱四個頂點都是格點的矩形為格點矩形，在此圖中以A，B為頂點的格點矩形共可以畫出（）A.1個B.2個C.3個D.4個二、填空題（本題共分，每小題3分）9.若二次根式x?1在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍是______．x10.在平行四邊形ABCD中，∠A+∠＝100°，則∠A＝__．在四邊形ABCD中，如果條件可以是______12.“如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等”的逆命題是：___________________________13.如圖，在中，D，E分別為AB，邊的中點，若=3，則BC的長為______．，請你添加一個條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，這個14.如圖所示的正方形網格中，每一個小正方形的面積均為1，正方形ABCM，，MNPQ的頂點都在格點上，則正方形MNPQ的面積為__________．第2頁/共24頁⊥于E，如果15.如圖，在中，對角線﹑BD相交于點O，過點O作交ADAE===25，則長為_________．16.在Rt△ABC中，∠ACB=90°ACBC=1．點Q在直線BC上，且AQ=2，則線段BQ的長為___________．三、解答題（本題共分，第題6分，第18—21題每小題4分，第22—24題每小題5分，第25題7分，第26題8分）17.計算（1）+3+；（2）(2)+(?25+5?2318.如圖，點E、F是平行四邊形ABCD的對角線上的兩點．CF．=求證：DFBE．=19.下面是小明設計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規作圖過程．第3頁/共24頁已知：如圖，直線l及直線l外一點A．求作：直線AD，使得AD//l．作法：如圖，①在直線l上任取兩點B，C，連接AB；②分別以點A，C為圓心，線段BCAB長為半徑畫弧，兩弧在直線l上方相交于點D；③作直線AD．直線AD就是所求作的直線．根據小明設計的尺規作圖過程，（1（2）完成下面的證明．證明：連接CD．∵AB________，BC＝________，∴四邊形ABCD為平行四邊形（_________∴AD//l．1a=20.在解決問題“已知，求2a2?8a+1的值”時，小明是這樣分析與解答的：2+312?3∵a===2?3，(+?)2+32323∴a?2=?3(?)∴a22=3，即a2?4a+4=3∴a∴2a2?4a?8a+1=2a?4a)+1=2(?)+1=?1.=?1(22請你根據小明的分析過程，解決如下問題：2(1)化簡：；5?31a，求3a2?6a?1的值.(2)若2中，ABC=90，在邊上截取AD=AB，連接，過點A作⊥于點21.如圖，在E．已知6，BC8，如果F是邊==BC的中點，連接EF，求EF的長．第4頁/共24頁22.如圖，Rt△中，C90，AD平分BAC，交BC于點D，BC=4，BD=2.5．=（1）則點D到直線AB的距離為______．（2）求線段的長．23.如圖，每個小正方形的邊長都是，A，B，C，D均在網格的格點上．（1）判斷BCD是否為直角：______（2）直接寫出四邊形ABCD的面積為______．（3）找到格點E，并畫出四邊形ABEDABCD面積相等．24.已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝2，∠ABD＝15°，∠＝60°．（1）求∠BDC的度數；（2）求CD的長．25.如圖，三角形中，ABBC，AB=BC=4，E為線段⊥上任意一點，D是BC的中點，連接DE，作DF垂直于DE且滿足=（點與點B在直線FEDEF，直線EF交AB第5頁/共24頁于點G．（1）根據題意補全圖1AE=2，則ED的長為______；（2）若點G恰好是線段EF的中點，連接，證明：=4且AC⊥BF．（3）作點B關于直線DF的對稱點．連接，DQ，當AQ+取最小值時，直接寫出此時Q的面積．26.對平面上的兩個圖形X，Y，若平移圖形X所得的圖形X與Y相交，則稱X為X關于Y的“巡邏平移圖形”，稱X關于Y的所有巡邏平移圖形所組成的整體，為X關于Y的“巡邏區域”，其面積為X關于Y的“巡邏面積”．示例：如下圖，線段是線段AB關于線段CD的一個巡邏平移圖形；平行四邊形EFGH是線段AB關于線段CD的巡邏區域．注：圖中每個小方格都是邊長為1的正方形．（1）①請在圖中畫出線段CD關于線段AB的巡邏區域，其面積為______；mnxmnx②已知線段和線段的長度分別為1，，且關于的巡邏面積為，則的取值范圍是______；（2）圖中三角形區域T關于平行四邊形區域P的巡邏面積為______；注：此處所指的三角形區域，平行四邊形區域，以及下文的正方形區域均包含內部的所有點．（3）①若線段k關于某邊長為1的正方形區域的巡邏面積為，則線段k長度的最小值為______；②若正方形區域S關于某長度為1的線段的巡邏面積為12S邊長的最小值為______．第6頁/共24頁參考答案一、選擇題（本題共分，每小題3分）第1—8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．．．1.【答案】A【解析】【分析】直接根據二次根式的性質求解即可．2【詳解】解：()2=2，故選A．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質，熟練掌握(a)2=a(a0)是解答此題的關鍵．2.【答案】A【解析】【分析】根據勾股定理的逆定理、三角形的三邊關系逐項判斷即可得．【詳解】解：A、52+122=169132，則此項可以構成直角三角形，符合題意；=B、1+2=3，則此項不能構成三角形，不符合題意；C、42+4+52242，則此項不可以構成直角三角形，不符合題意；=4162，則此項不可以構成直角三角形，不符合題意；D、42故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、三角形的三邊關系，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題關鍵．3.【答案】A【解析】【分析】檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】A、被開方數不含分母；被開方數不含能開得盡方的因數或因式是最簡二次根式，故A符合題意；B、12=223=23，被開方數含能開得盡方的因數或因式，不是最簡二次根式，故B不符合題意；1777C、==，被開方數含分母，不是最簡二次根式，故C不符合題意；727D、m2=m，被開方數含能開得盡方的因數或因式，不是最簡二次根式，故D不符合題意；故選A．【點睛】本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數不含分母；被開方數不含能開得盡方的因數或因式．4.【答案】D【解析】第7頁/共24頁【分析】直接利用勾股定理求解即可．P?1,2【詳解】解：在平面直角坐標系中，點()到原點的距離是(??)102+(?)20=5,2故選D【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，掌握“由兩點的坐標求解兩點之間的距離”是解本題的關鍵．5.【答案】C【解析】【分析】根據二次根式的加減乘除法法則逐項判斷即可得．【詳解】解：A、2與3不是同類二次根式，不可合并，則此項錯誤，不符合題意；B、23?3=3，則此項錯誤，不符合題意；C、52=10，則此項正確，符合題意；D、63=2，則此項錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的加減乘除法，熟練掌握運算法則是解題關鍵．6.【答案】B【解析】【分析】先根據平行四邊形的性質可得AB，再根據平行線的性質可得=F=，然后根據角平分線的定義可得BAD=2=140，最后根據平行線的性質即可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB∥CD,AD∥，BAF=F=70，是BAD的角平分線，BAD=BAF=140，又，B=180?BAD=，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、平行線的性質等知識點，熟練掌握平行四邊形的性質是解題關鍵．7.【答案】C【解析】【分析】由題可知，旗桿，繩子與地面構成直角三角形，根據題中數據，用勾股定理即可解答．【詳解】解：設旗桿的長度為xmx）m，如圖，第8頁/共24頁在Rt△ABC中，由勾股定理得：x22=（+12，解得：x=12，∴旗桿的高度為12m．故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，根據題意得出直角三角形是解答此題的關鍵．8.【答案】D【解析】【分析】根據網格特點、矩形的判定畫出相應的圖形即可得．【詳解】解：共可以畫出以下4個格點矩形：故選：D．【點睛】本題考查了矩形與網格問題，熟練掌握矩形的判定是解題關鍵．二、填空題（本題共分，每小題3分）9.【答案】x1【解析】【分析】根據二次根式的被開方數是非負數即可得．【詳解】解：由題意得：x10，?解得x1，故答案為：x1．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數是非負數是解題關鍵．10.【答案】50°．第9頁/共24頁【解析】【分析】根據平行四邊形的性質即可求解.【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C100°，∴∠A＝50°，故答案為：50°．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握平行四邊形的性質.【答案】AD∥（答案不唯一）【解析】【分析】根據平行四邊形的判定即可得．【詳解】解：根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可知，這個條件可以是AD∥，故答案為：AD∥【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題關鍵．12.【答案】如果兩個實數的絕對值相等，那么這兩個實數相等【解析】【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．【詳解】解：命題“如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等”的題設是“如果兩個實數相等”，結論是“那么它們的絕對值相等”，故其逆命題是“如果兩個實數的絕對值相等，那么這兩個實數相等”．故答案為：如果兩個實數的絕對值相等，那么這兩個實數相等.13.【答案】6【解析】【分析】直接根據三角形中位線定理即可得．【詳解】解：在BC=2DE=6故答案為：．中，D，E分別為AB，邊的中點，且=3，【點睛】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關鍵．14.【答案】45【解析】【分析】根據勾股定理即可得到結論．【詳解】解：∵CM=3CN=6，∠MCN=90°，第10頁/24頁∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，∴正方形的面積=MN2=45，故答案為：45．【點睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．15.【答案】42【解析】【分析】連接CE，根據平行四邊形的性質可得AO=CO，CD=AB=25，然后判斷出OE垂直平分AC根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得CE=AE=4，利用勾股定理的逆定理得到∠CED=90°，得到△AEC是等腰直角三角形，根據勾股定理即可求得結論．【詳解】解：連接EC，如圖四邊形ABCD是平行四邊形，=，，是線段的垂直平分線，==4，在中，ED2=4=20=DC2+22=20，2=(25)2EC2+ED22，DEC=90，AEC=90AC2=AE2+EC2=42+4=32，2=42【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理及逆定理，正確作出輔助線證得∠CED=90°是解決問題的關鍵．16.【答案】3+1或3?1【解析】【分析】分當Q在射線CB上和當Q在射線BC上兩種情況利用勾股定理求解即可.【詳解】解：如圖所示，當Q在射線CB上時，第頁/共頁∵AC=BC，AQ=2ACB=90°，∴=AQ2?AC=3，2∴BQ=?=3?1；如圖所示，當Q在射線BC上時，∵AC=BC，AQ=2ACB=90°，∴∠ACQ=90°，∴=AQ2?AC=3，2∴BQ=+=3+1，故答案為：31或+3?1.【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關鍵在于能夠理解Q的位置有兩個.三、解答題（本題共分，第題6分，第18—21題每小題4分，第22—24題每小題5分，第25題7分，第26題8分）17.1）26+3+32（2）6【解析】）先化簡各式，再合并同類二次根式；（2）先化簡各式，再進行加減運算．【小問1解：原式26+=3+32；【小問2原式=5?2+3=6．【點睛】本題考查二次根式的性質，二次根式的運算．熟練掌握二次根式的性質，正確的計算，是解題的第12頁/24頁關鍵．18.【答案】證明見解析【解析】【分析】先根據平行四邊形的性質可得，CD=，根據平行線的性質可得DCF=BAE，再根據三角形全等的判定可得△CDFABE，然后根據全等三角形的性質即可得證．【詳解】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，∥CD，CD=，DCF=，CD==，CF=中，在和)，=．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、三角形全等的判定與性質等知識點，熟練掌握平行四邊形的性質是解題關鍵．19.12），AD，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形【解析】）根據作法畫出圖形即可；（2）根據“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”進行證明即可．）如圖所示，（2）證明：連接CD．∵ABCD，BC＝AD，∴四邊形ABCD∴AD//l．故答案為：，AD，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的判定．20.1）5+322．【解析】第13頁/24頁【分析】（）根據分母有理化的方法可以解答本題；（2）根據題目中的例子可以靈活變形解答本題．2,1）5?32(5+3)5?35+3)=,(2(5+3)=,2=5+3.12+1（2）∵a===2+1.21?(?+)2121∴a?1=，∴a∴a2??2a+1=，22a=1∴a∴a2?6a=2?6a?1=．【點睛】二次根式的化簡求值，熟練掌握分母有理化的方法是解題的關鍵.21.【答案】2【解析】【分析】先利用勾股定理可得AC=10，從而可得CD=4，再根據等腰三角形的三線合一可得點E是的中點，然后根據三角形中位線定理即可得．【詳解】解：在中，ABC=90，=6，BC=8，=ADAB，CD=?=?=4，2+2=10，ADAB，⊥，又點E是BD的中點，是邊BC的中點，1EF=CD=2．2【點睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的三線合一、三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關鍵．22.1）第14頁/24頁（2）4【解析】）過點D作DEAB于點，根據角平分線的性質，即可求解；（2）首先利用勾股定理，即可求得的長，再利用相似三角形的判定與性質，即可求解．【小問1⊥E解：，BD=2.5，CD=BC?BD=4?2.5=1.5，過點D作DEAB于點，⊥E△C中，C=90，⊥平分BAC，==，D到直線AB的距離為，故答案為：；【小問2解：在中，BE=BD2?2=2.52?1.5=2，2DEB=，=，BB，=，BC41.5AC===3．BE2【點睛】本題考查了角平分線的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，熟練掌握和運用相似三角形的判定與性質是解決本題的關鍵．23.1）不是（2）（3）見解析（答案不唯一）【解析】）先利用勾股定理分別求出2,CD,BD2的長，再利用勾股定理的逆定理進行判斷即可得；2（2）利用分割法求解即可得；（3）先利用平行四邊形的性質找到格點E，再利用等高模型畫出圖形即可．第15頁/24頁【小問1+52=29，解：22CD2=1=4+CD2+22=5，=32，22+42222，BCD不是直角，故答案為：不是．【小問2111155?25?21?11?13?15=14解：四邊形ABCD的面積為，2222故答案為：14．【小問3解：如圖，點E和四邊形ABED即為所求．【點睛】本題考查了勾股定理與網格問題、勾股定理的逆定理、平行四邊形的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于常考題型．24.1）45°（2）3+1【解析】）由AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝60°，可求得∠ABC與∠ADC的度數，然后在Rt△ABD中，利用直角三角形的性質，求得∠ADB的度數，繼而求得∠BDC的度數；（2）過點B作BE⊥CD于點E，在Rt△BCE中，由BC=2C=60o，得∠EBC=30o，1由此CE=BC=1，由勾股定理可求得BE=3，由等角對等邊得DE=BE=3，即可求得CD的值.2【小問1解：∵AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠ABC＝90°，∠ADC＝180°?∠＝120°．在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，∠ABD＝15°，∴∠ADB＝75°，第16頁/24頁∴∠BDC＝∠ADC?∠ADB＝45°；【小問2解：過點B作BE⊥CD于點E，在Rt△BCE中，∵BC=2，∠C=60o，∴∠EBC=30o，1∴CE=BC=1，BE=BC2CE2=3，?2∵∠BDC=45o，∴DE=BE=3，∴CD=DE+CE=3+1.【點睛】此題考查了直角梯形的性質、直角三角形的性質以及勾股定理等知識，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．25.1）1020?45（2）見解析（3）5【解析】）過點E作⊥于點H，先后求得42，CE，CH==3，=1，=在中，利用勾股定理即可求解；（2）過點E作EM∥BF交AB于點，過點D作ND⊥交于點N△CDN是等腰直角三△NED()，得到NE=，3=4角形，得到點N是線段的中點，證明△△，再證明()，ME=BF，=NE，推出△AEM是等腰直角三角形，據此即可證明結論；（3）由于==，則點Q的運動軌跡是以D為圓心，BC為直徑的圓，則當A、Q、D三點共AQ25?25?51線時，AQ+的值最小，求得==，S=ABBD=4，利用等高的兩個△AD2552三角形的面積關系即可求解．【小問1解：過點E作⊥于點H，則CHE=90，第17頁/24頁三角形中，AB⊥BC，AB=BC=4，∴AC=4+4=42，22∵D是BC的中點，1=BD=BC=2∴，2∵AE=2，∴CE=AC?AE=32，∵C=，∴是等腰直角三角形，2∴CH==CE=3，2∴=CH?CD=1，在中，由勾股定理得，ED=EH2+2=32+1=10；2故答案為：10；【小問2證明：過點E作EM∥BF交AB于點M，過點D作ND⊥交于點，∴△CDN是等腰直角三角形，1CD=ND=BC=2∴，21∴CN=22+22=22=AC，即點是線段的中點，N2∵=，第18頁/24頁∴BD=ND，∵5+BDE==6+BDE，∴5=6，BD=ND5=6=在△BFD和中，，△NED()，∴∴NE=，3=4，∵點G是線段EF的中點，∴GE=GF，∵EM∥BF，∴1=2，1=2=在△BFD和中，，=△()，∴∴MEBF，=∴=NE，∵2+3=，∴1+4=45，∴=1+4+FED=，∴AEM=90，即ME⊥AC，∴FB⊥AC；∵A=，∴△AEM是等腰直角三角形，11∴AE==BF=EN=AN=AC，2即=4且AC⊥BF；【小問34解：由題意得==，∴點Q的運動軌跡是以D為圓心，BC為直徑的圓，∴當A、Q、D三點共線時，AQ+的值最小，如圖，第19頁/24頁∵AB4，=2，∴AD=4+2=25，252，AQ25?2=12=?=?S△=ABBD=4，225?15?5===∴∴∴，AD2555△△AD?AQ55==，51220?45AB=的面積為．5【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．126.1）①畫圖見解析，8x2（2）502（3）①；②22【解析】mn）①先根據題意畫出對應的圖形，然后利用網格求出面積即可；②先畫出線段關于線段的1巡邏區域，過點G作GM⊥EF交EF延長線于，由關于的巡邏面積為，求出mn=，由此即2可得到答案；（2）如解析圖，先畫出三角形區域T關于平行四邊形區域P的巡邏區域，然后利用網格求出面積即可；（3）①如圖所示，ABCD是邊長為1的正方形，則由平行四邊形CDHT和正方形ABCD組成的區域即為線段k關于正方形ABCD區域的巡邏區域，其中AF=BG=BK==DT=DE，過點A作⊥于N，過點K作KM⊥BC于M，證明ANFBMK，得到MK，設FNMKANb，由線段k關于正方形ABCD區域的====21212巡邏面積為，推出a+b=1，再由勾股定理得到AF2=2a?+，則，即可求出線段22第20頁/24頁2k長度的最小值為；②如圖所示，線段AB=1，則由平行四邊形EFMN2和正方形，，AQPF組成的區域即為區域S關于線段AB的巡邏區域，過點C作CT于T，CW⊥BD于W，證明四邊形TCWD是矩形，則=DW，設=DW==n，正方形區域S的邊長為x，由正方形區域S關于線段AB的巡邏面積為12，6?2x26?2x2推出m+n=，由勾股定理得m+=1，再證明m+n2，得到2進而求出2n2xx3x?x2或S邊長的最小值為2．2【小問1解：①如圖所示，平行四邊形即為線段CD關于線段AB的巡邏區域，其面積為24=8；②如圖所示，設==x，則平行四邊形EFGH是線段AB關于線段CD的巡邏區域，即平行mn四邊形EFGH是線段關于線段的巡邏區域，∴EF2AB2，==過點G作GM⊥EF交EF延長線于，mn∵關于的巡邏面積為1，∴EFGM=1，1∴=，212∴=GM=，1∴x；2【小問2解：如圖所示，即為三角形區域T關于平行四邊形區域P的巡邏區域，∴三角形區域T關于平行四邊形區域P的巡邏面積為第21頁/24頁162+42+22+42+