北京密云第六中學2021-2022學年高三數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.執行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為（A） （B）（C） （D）參考答案：D2.若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（

）

A．－2

B．2

C．－4

D．4參考答案：D略3.《周髀算經》是我國古代的天文學和數學著作.其中有一個問題大意為：一年有二十四個節氣，每個節氣晷長損益相同（即太陽照射物體影子的長度增加和減少大小相同）.二十四個節氣及晷長變化如圖所示，若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），則夏至后的那個節氣（小暑）晷長為（

）A.五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸參考答案：B【分析】由題意知，從夏至到冬至，冕長組成了等差數列，其中，，結合等差數列通項公式，可求公差，進而可求小暑晷長.【詳解】解：設從夏至到冬至，每個節氣冕長為，即夏至時冕長為，冬至時冕長為，由每個節氣晷長損益相同可知，常數，所以為等差數列，設公差為，由題意知，，解得，則.故選:B.【點睛】本題考查了等差數列的定義，考查了等差數列的通項公式的求解及應用.本題的關鍵是將各個節氣的冕長抽象成等差數列.4.若直線與直線互相垂直，那么a的值等于(

)A．1

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：由得，故選D.考點：平面內兩直線垂直與平行的判定.5.復數的虛部為（）A．iB．﹣iC．D．﹣參考答案：C考點：復數代數形式的乘除運算．

專題：數系的擴充和復數．分析：利用復數的運算法則、虛部的定義即可得出．解答：解：復數===﹣+i的虛部為．故選：C．點評：本題考查了復數的運算法則、虛部的定義，屬于基礎題．6.設，是非零向量，記與所成的角為，下列四個條件中，使成立的充要條件是（

）．A．

B． C． D．參考答案：B 等價于非零向量與同向共線，故選B.7.若變量x,y滿足約束條件則目標函數Z==x+2y的取值范圍是

A.[2,6]

B.[2,5]

C.[3,6]

D.[3,5]

參考答案：A略8.函數的大致圖象為

參考答案：答案：D9.高為的四棱錐的底面是邊長為1的正方形，點、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為

(

)

A．

B.

C．

D.參考答案：D略10.已知雙曲線C：的焦距為10，點P（2，1）在C的漸近線上，則C的方程為(

) A． B． C． D．參考答案：A考點：雙曲線的標準方程．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：利用雙曲線C：的焦距為10，點P（2，1）在C的漸近線上，建立方程組，求出a，b的值，即可求得雙曲線的方程．解答： 解：∵雙曲線C：的焦距為10，點P（2，1）在C的漸近線上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴雙曲線的方程為．故選：A．點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(a＜b)在R上單調遞增，則的最小值為______.參考答案：3略12.已知向量，，．若，則________．參考答案：解答：，∵，∴，解得.

13.在的展開式中項的系數為

．參考答案：1014.已知等差數列的前n項和為，若，則公差___________.參考答案：3略15.若函數的反函數為，則．參考答案：116.在直角坐標系中，拋物線的參數方程為（為參數），以原點為極點，以軸正半軸為極軸，直角坐標系的長度單位為長度單位建立極坐標系，直線的極坐標方程為．若直線經過拋物線的焦點，則常數

．參考答案：略17.若對任意的，均有，則a的取值范圍是________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟20.（本小題滿分16分）已知函數，其中m，a均為實數．（1）求的極值；（2）設，若對任意的，恒成立，求的最小值；（3）設，若對任意給定的，在區間上總存在，使得成立，求的取值范圍．參考答案：對于函數在上值域中每一個值，函數在上總有兩個不同自變量與之對應相等．首先求出函數在上值域，然后根據函數在上必須不為單調函數且每段單調區間對應的值域都需包含.由在不單調得，由每段單調區間對應的值域都需包含得，.試題解析：（1），令，得x=1．

…1分列表如下：x（-∞，1）1（1，+∞）+0-g(x)↗極大值↘

19.某公司準備將1000萬元資金投入到市環保工程建設中，現有甲、乙兩個建設項目供選擇，若投資甲項目一年后可獲得的利潤為ξ1（萬元）的概率分布列如表所示：ξ1110120170Pm0.4n且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投資乙項目一年后可獲得的利潤ξ2（萬元）與該項目建設材料的成本有關，在生產的過程中，公司將根據成本情況決定是否受第二和第三季度進行產品的價格調整，兩次調整相互獨立，且調整的概率分別為p（0＜p＜1）和1﹣p，乙項目產品價格一年內調整次數X（次）與ξ2的關系如表所示：X（次）012ξ241.2117.6204.0（1）求m，n的值；（2）求ξ2的分布列；（3）根據投資回報率的大小請你為公司決策：當p在什么范圍時選擇投資乙項目，并預測投資乙項目的最大投資回報率是多少？（投資回報率=年均利潤/投資總額×100%）參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）利用概率和為1，期望值列出方程組求解即可．（2）ξ2的可能取值為41.2，117.6，204.0，求出概率，得到ξ2的分布列；（3）利用期望關系，通關二次函數求解最值即可．【解答】解：（1）由題意得：，得：m=0.5，n=0.1．（2）ξ2的可能取值為41.2，117.6，204.0，P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（1﹣p）P（ξ2=204.0）=p（1﹣p）所以ξ2的分布列為ξ241.2117.6204.0Pp（1﹣p）p2+（1﹣p）2p（1﹣p）（3）由（2）可得：=﹣10p2+10p+117.6根據投資回報率的計算辦法，如果選擇投資乙項目，只需E（ξ1）＜E（ξ2），即120＜﹣10p2+10p+117.6，得0.4＜p＜0.6．因為，所以當時，E（ξ2）取到最大值為120.1，所以預測投資回報率的最大值為12.01%．20.本題滿分12分）等比數列的各項均為正數，且（1）求數列的通項公式.（2）設求數列的前項和.參考答案：解：（1）設數列{an}的公比為q，由得所以。有條件可知，故。……4分由得，所以…5分

故數列{an}的通項式為

……………6分（2）==.……………………8分故

…………10分所以數列的前n項和為

………12分略21.已知函數f（x）=x﹣﹣lnx，a＞0．（Ⅰ）討論f（x）的單調性；（Ⅱ）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（I）由已知中函數的解析式，求出函數的定義域，求出導函數，分a≥，0＜a＜兩種情況，分別討論導函數的符號，進而可得f（x）的單調性；（II）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，則f（x）﹣x+x2＞0在（1，+∞）恒成立，即a＜x3﹣xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=x3﹣xlnx，分析g（x）的單調性，進而可將問題轉化為最值問題．【解答】解：（I）函數f（x）=x﹣﹣lnx的定義域為（0，+∞），且f′（x）=1+﹣=①當△=1﹣4a≤0，即a≥時，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）為增函數．②當△=1﹣4a＞0，即0＜a＜時，由f′（x）＞0得，x2﹣x+a＞0，即x∈（0，），或x∈（，+∞）由f′（x）＜0得，x2﹣x+a＜0，即x∈（，）∴f（x）在區間（0，），（，+∞）為增函數；在區間（，）為減函數．（II）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，則f（x）﹣x+x2=＞0在（1，+∞）恒成立，即a＜x3﹣xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=x3﹣xlnx，h（x）=g′（x）=3x2﹣lnx﹣1，則h′（x）==，在（1，+∞）上，h′（x）＞0恒成立，故h（x）＞h（1）=2恒成立，即g′（x）＞0恒成立，故g（x）＞g（1）=1，故0＜a≤1，即實數a的取值范圍為（0，1]．22.（本小題滿分14分）如圖1，在直角梯形中，，，，.把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點分別為線段的中點．(I)

求證：平面平面；(II)求直線與平面所成角的正弦值；(III)在棱上是否存在一點,使得到點四點的距離相等？請說明理由.參考答案：解：（I）因為點在平面上的正投影恰好落在線段上

所以平面，所以

…1分因為在直角梯形中，，，，

所以，，所以是等邊三角形，

所以是中點，

…2分所以

…3分同理可證又所以平面

…5分（II）在平面內過作的垂線如圖建立空間直角坐標系，則，，

…6分

因為，設平面的法向量為因為，所以有，即，令