第七章:力法§7-1

結構的超靜定次數

§7-2

力法基本概念

§7-3力法典型方程§7-4力法計算示例

§7-5超靜定結構的位移和力法結果校核

§7-6

力法的對稱性利用結構的超靜定次數＝結構的多余約束數結構超靜定次數的判定方法（拆除約束法）一般從約束數少的約束開始拆（截斷），直到使結構成為一個無多余約束的幾何不變體系（靜定結構）為止。１）去掉一根支座鏈桿或截斷一根桁架桿，相當拆除１個約束；２）去掉一個固定鉸支座或切開一個單鉸，相當拆除２個約束；３）去掉一個固定支座或切開一根梁式桿，相當拆除３個約束；４）在一根梁式桿上加一個單鉸，相當拆除１個約束。

§7-1結構的超靜定次數

x1x1x2x2x3例7-1-1判斷圖示結構的超靜定次數。x1x2x3x5x7x4x4x6x7x7x1x2x3x5x6一、力法基本思路有多余約束是超靜定與靜定的根本區別，因此，解決多余約束中的多余約束力是解超靜定的關鍵。D1=0D11+D1P=0

D11=d11x1d11x1+D1P=0

§7-2力法基本概念1、力法基本未知量

結構的多余約束中產生的多余未知力（簡稱多余力）。

2、力法基本體系力法基本結構，是原結構拆除多余約束后得到的靜定結構；力法基本體系，是原結構拆除多余約束后得到的基本結構在荷載（原有各種因素）和多余力共同作用的體系。

3、力法基本方程力法基本體系在多余力位置及方向與原結構位移一致的條件。方程中的系數和自由項均是靜定結構的位移計算問題，顯然，超靜定轉化為靜定問題。例7-1-1用力法計算圖示梁，并作M圖。解：１）確定力法基本未知量、基本體系

２）力法方程d11x1+D1P=0

３）作M1、MP圖，計算d11、D1P

d11=l/3EI

D1P=ql3/24EI

４）代入力法方程，求x1

x1=-D1P/d11=

-ql2/8

５）作M圖M1圖MP圖x1力法典型方程，指可用于多次（有限ｎ次）超靜定結構的力法一般方程。

一、兩次超靜定結構的力法方程

兩次超靜定剛架在荷載及支座移動作用下原結構和力法基本體系。基本體系與原結構位移一致條件：D1=0

D2=-DB

§7-3力法典型方程

D1=0D11+D12+D1P+D1D=0

D2=-DB

D21+D22+D2P+D2D=-DB

因為：Dij=dij

xj

所以：

d11x1+d12x2+D1P+D1D=0

d21x1+d22x2+D2P+D2D=-DB(a)

d11x1+d12x2+D1P+D1D=0d21x1+d22x2+D2P+D2D=-DB(a)該式為兩次超靜定結構在荷載和支座位移共同作用下的力法方程。有支座移動因素時，力法方程的右邊項可能不為零。

根據位移互等定理，有：d12=d21二、力法典型方程

n次超靜定結構的力法方程：

d11x1+d12x2+…d1ixi+d1jxj+…d1nxn+D1P+D1D=D1

d21x1+d22x2+…d2ixi+d2jxj+…d2nxn+D2P+D2D=D2

…

…

di1x1+di2x2+…diixi

+dijxj+…dinxn

+DiP+DiD

=Di

dj1x1+dj2x2+…djixi

+djjxj+…djnxn

+DjP+DjD

=

Dj

…

…

dn1x1+dn2x2+…dnixi+dnjxj+…dnnxn+DnP+DnD=Dn

系數、自由項的物理意義：

dii

—基本結構在xi=

1作用下，沿xi

方向的位移；

dij

—基本結構在xj=

1作用下，沿xi

方向的位移；

DiP

—基本結構在荷載作用下，沿xi

方向的位移；

DiD

—基本結構在支座移動下，沿xi

方向的位移；

Di

—基本結構沿xi

方向的總位移＝原結構在xi

方向上的實際位移。

d11

d12…d1id1j…d1n

d21

d22…d2id2j…d2n

…

…

F=di1

di2…dii

dij…din

dj1

dj2…dji

djj

…djn

…

…

dn1

dn2…dni

dnj

…dnn

力法方程的系數矩陣是一個對稱方陣。由其物理意義可知：

主系數dii恒大于零，位于方陣左上角到右下角的主對角線上；

副系數

dij

可大于、等于、小于零，位于主對角線兩側對稱位置上；

由于dii

=

dij

，獨立的系數為[n+(n2-n)/2]個。例7-4-1用力法計算圖示剛架，并作M圖。

解：１）確定力法基本未知量和基本體系

力法方程：d11x1+d12x2+D1P=0

d21x1+d22x2+D2P=0

２）作M1、M2、MP圖基本體系

§7-4力法計算示例

基本體系M1MP３）計算系數、自由項

d11=5l/12EId22=3l/4EId12=d21=0

D1P=FPl2/32EID2P=0

４）代入力法方程，求多余力x1、x2

（5l/12EI）x1+FPl2/32EI=0x1=-3FPl/40

(3l/4EI)x2=0x2=0５）疊加作M圖

MAC=x1M1+x2M2+MP=(-3FPl/40)/2=-3FPl/80

(右側受拉）說明：力法計算剛架時，力法方程中系數和自由項只考慮彎曲變形的影響：

dii

=∑∫l(Mi2

/EI)ds

dij

=∑∫l(MiMj/EI)ds

DiP=∑∫l(MiMP/EI)ds例7-4-2計算圖示桁架的內力，各桿EＡ=常數。解：１）力法基本體系，基本方程：d11x1+D1P=0

２）計算Fni、FNP及d11、D1P

d11=

∑FN12

l/EA

=4a(1+√2)/EA

D1P=∑FN1FNPl/EA

=2FPa(1+√2)/EA3)代入力法方程中，求解x1

x1=-D1P/d11=

-FP/2

4)疊加計算個桿軸力

FN21=FN1x1+FNP=-√2FP/2

FN02=FP/2

說明：力法計算桁架時，力法方程中系數和自由項只考慮軸向變形的影響：

dii

=∑FNi2

l/EA

dij

=∑FNiFNjl/EA

DiP=∑FNiFNPl/EA例7-4-3計算圖示排架，并作M圖。解：１）力法基本體系，力法方程：

d11x1+D1P=0

２）作M1、MP圖,計算d11、D1P

d11=144/EI

D1P=3240/EI

3)代入力法方程，求x1

x1=-D1P/d11=

-22.5kN

4)作M圖

一、超靜定結構的位移計算

１、荷載作用下的位移計算

超靜定結構和靜定結構在荷載作用下的位移計算公式是相同的。如梁和剛架的位移計算公式：

D=∑∫l(MCM/EI)ds

超靜定結構的位移計算要點：虛單位力設在原結構的任意一個基本結構上。

例7-5-1求示梁Ｂ端的轉角位移B。EI=常數,桿長為l。

解：１）作MC、M圖２）計算B

§7-5超靜定結構的位移和力法結果校核

B

=[(ql2/8)l/2-(2/3)(ql2/8)/2]/EI=-ql3/48EI()

或：B

={[(ql2/8)l/2](1/3)1-(2/3)(ql2/8)/2}/EI

=-ql3/48EI()

力法計算Ｍ圖2、支座移動時的位移計算

例7-5-2求圖示梁中點Ｃ處的豎向位移DCV。解：１）作超靜定梁M圖

２）作MC圖

３）該基本結構支座發生位移時有剛體位移。

４）計算位移DCV

DCV

=∫(MC

M/EI)ds-∑FRc

=[l2/4/2(-3EIa/l2/2)](a/2)

=5a/16(↓)或：DCV=[(l/2)2/2](5/6)(3EIa/l2)]=5a/16(↓)二、力法計算結果校核例7-5-3校核圖示剛架力法所求內力圖。FNMFQ解：１）校核靜力平衡條件

２）校核截開BC桿后兩截面的相對轉角位移等于零位移條件：∑∫(MCM/EI)ds=0

(-60×4×1/2＋30×4×1/2)/2EI

＋(-20×4×1/2

＋40×4×1/2

－15×4×1/2＋30×4×1/2)/EI

=40/EI

可見，不滿足位移條件。

說明：力法計算結果的主要校核條件，是位移條件。例7-5-4計算圖示剛架，作M圖并用位移條件校核；求B點的水平位移DBH。解：１）用力法計算圖示剛架，做M1圖

d11x1+D1P=0

d11=5a/6EI

D1P=qa3/24EI

x1=-D1P/d11=

-qa2/20

MBC=-qa2/20(上側受拉）MM1MP２）校核支座Ｃ處的豎向位移條件：△CV=0

[(qa3/20/2)(-2a/3)+(2/3)(qa3/8)(a/2)]/EIqa4/20/2EI=0

滿足M３）求Ｂ點的水平位移DBH

DBH=(qa2/20)a(a/2)/2EI=qa4/80EI(→)MC結構具有對稱性時應滿足：

１）結構的幾何形狀（由桿軸圍成的圖形）和支座形式正對稱于某一軸線；

２）結構的材料性質及截面形狀特征（E、I、A）也對稱于同一軸線。

如果結構是對稱的，利用對稱性力法計算可獲得簡化。

§7-6力法的對稱性利用

力法對稱性利用要點：取對稱的力法基本結構；并使其上的多余力具有對稱性和（或）反對稱性。

一、一般荷載作用下（不考慮荷載情況）

取滿足上述要點的基本體系，力法方程：d11x1+d12x2+d13x3+D1P=0

d21x1+d22x2+d23x3+D2P=0

d31x1+d32x2+d33x3+D3P=0(a)

一般情況下，該方程是聯立方程。考慮對稱性后：d13=d31

=d23=d32=0

代入式（a），得：d11x1+d12x2+D1P=0

d21x1+d22x2+D2P=0

d33x3+D3P=0

(b)原方程分解成兩相互獨立的方程。d11x1+d12x2+D1P=0D3P=0x3=0

d21x1+d22x2+D2P=0d11x1+d12x2+D1P=0

d33x3+D3P=0d21x1+d22x2+D2P=0二、荷載具有正或反對稱性（考慮荷載情況）

正對稱荷載作用下：只有正對稱的多余力

反對稱荷載作用下：只有反對稱的多余力d11x1+d12x2+D1P=0D1P=D2P=0d21x1+d22x2+D2P=0x1=x2=0

d33x3+D3P=0d33x3+D3P=0例7-6-1利用對稱性計算圖示剛架，并作M圖。解法１：１）取對稱的力法基本體系

２）作Mi、MP圖并計算系數和自由項

d11=144/EId22=126/EId12=d21=0

D1P=1350/EID2P=-810/EI３）代入力法方程，并計算多余力

d11x1+d12x2+D1P=0x1=-9.375

d21x1+d22x2+D2P=0

x2=6.429

４）疊加作彎矩圖

MAB=-36.963

kNm

(右側受拉)

MBA=19.287

kNm

(左側受拉)

MA`B`=104.463

kNm

(右側受拉)

MA`B`中

=47.412

kNm

(左側受拉)

MAB中

=8.838kNm

(右側受拉)解法２：１）將剛架上的荷載分組

2)正對稱荷載下的計算：

d11=144/EID1P=1350/EI

x1=-D1P/d11=

-9.935

MAB=33.75

kNm

(左側受拉)

MAB中

=-28.125kNm

(右側受拉)3)反對稱荷載下的計算：

d22=126/EID2P=-810/EI

x2=-D2P/d22=

6.429

MAB=-70.713

kNm

(右側受拉)

MBA=19.287

kNm

(左側受拉)

MAB中

=19.287kNm

(左側受拉)

３）將正、反對稱荷載作用下的彎矩圖疊加，作剛架的最后Ｍ圖例7-6-3利用對稱性計算圖示剛架，并作M圖。解法１：１）將荷載分組２）正對稱荷載作用下

d11=128/3EID1P=-80/EI

x1=-D1P/d11=

1.875

MBC=MBC`=47.5

kNm

(上側受拉)

３）反對稱荷載下的計算：

d22=704/3EID2P=-2240/EI

x2=-D2P/d22=

9.545

MBC=-1.82

kNm

(上側受拉)

MBC`=1.82

kNm

(下側受拉)

MBA=-3.64kNm

(右側受拉)

４）疊加作剛架最后M圖

MBC=47.5+1.82=49.32kNm

(上側受拉)

MBC`=47.5-1.82=45.68

kNm

(上側受拉)

MBA=3.64kNm

(右側受拉)解法２：不進行荷載分組，利用多余力分組簡化

力法計算：x`2=x`1+Dxx1=x`1+Dx/2

x2=Dx/2

力法小結

一、了解力法的基本思路以及力法基本未知量、基本體系（基本結構）、基本方程的概念。

二、弄清力法的基本原理。深刻理解力法典型方程的物理意義。三、熟練掌握結構在荷載作用下的內力和位移計算；掌握結構在支座移動時的內力和位移計算以及力法對稱性的利用。四、力法計算步驟：１）確定結構的力法基本未知量及基本體系，建立力法方程；２）作基本結構分別在各因素下的內力（圖）；３）計算力法方程中的系數和自由項；

４）解力法方程，求出多余未知力；５）疊加做結構內力圖；

６）校核。

第七章超靜定結構（力法）復習

一、力法計算步驟：１）確定結構的力法基本未知量及基本體系，建立力法方程；２）作基本結構分別在各因素下的內力（圖）；３）計算力法方程中的系數和自由項；

４）解力法方程，求出多余未知力；５）疊加做結構內力圖；

６）校核。

二、力法基本概念

１、力法的基本未知量

２、力法的基本體系和基本結構

３、力法的基本方程三、力法典型方程的物理意義

di1x1+di2x2+…diixi

+dijxj+…dinxn

+DiP+DiD

=Di

dj1x1+dj2x2+…djixi

+djjxj+…djnxn

+DjP+DjD

=

Dj

dii

—基本結構在xi=

1單獨作用下，沿xi

方向的位移；

dij

—基本結構在xj=

1單獨作用下，沿xi

方向的位移；

DiP

—基本結構在荷載單獨作用下，沿xi

方向的位移；

DiD

—基本結構僅在支座移動下，沿xi

方向的位移；

Di

—基本結構在各因素共同作用下，沿xi

方向的總位移。第i個方程，為基本結構在多余力xi方向的總位移和原結一致的位移條件，即：

Di

＝原結構在xi

方向上的實際位移。四、力法計算超靜定結構特點

超靜定結構在荷載、支座移動、溫度變化等因素作用下均產生內力和變形（即有位移）。

當有支座移動作用時，計算超靜定結構位移的過程中，要考慮多余力（即內力）對位移的影響，還須考慮虛力系相應的基本結構有支座位移的影響。切記虛單位力是加在原結構的任一基本結構上的。

五、力法對稱性的利用

當結構具有對稱性，并且是兩次以上超靜定次數時，就應考慮對稱性的利用。

力法對稱性的利用的關鍵，是取對稱性的基本結構，同時必須取對稱或（和）反對稱的多余未知力。q例７－１試作圖示梁的M圖，并計算端的轉角位移。設a=ql4/16EI.BAqx1基本體系解：１、確定力法基本體系

力法方程：d11x1+D1P+D1D

=-a

X1＝１lM１圖BAqql2/2MP圖AB2、作M１、M１圖

３、計算系數、自由項

d11=(1/EI)(l2/2)(2l/3)=l3/3EI

D1P=-(1/EI)(1/3)(ql2/2)l(3/4)l=-ql4/8EI

D1D

=0x1=[-a-(D1P+D1D)]/d11

=[-ql4/16EI-(-ql4/8EI

)]/(l3/3EI)

=ql/48

4、MAB=1×(ql/48)－(ql2/2)=-23ql2/48qAB11MC圖M圖=(1/EI)[(1/2)(23ql2/48)×l-(2/3)(ql2/8)×l]

=11ql2/96EI()23ql2/48MAB=-23ql2/48例７－2用力法計算圖(a)示剛架，作M圖。EI=常數。FPFP2a2aaaAA`BB`CDEFPFP2aaaAA`BB`CDEx1x1a(b)(a)分析：原結構為三次超靜定，但結構具有對稱性，且荷載具有反對稱性。所以，應利用其對稱性進行力法計算。

解：１、取對此的基本結構，在反對稱荷載作用下，基本結構處只有反對稱多余未知力。力法方程：FPFP2aaaAA`BB`CDE2a2aaaAA`BB`CDEx1X1=1aaFPa/2FPa/2

d11x1+D1P

=０

２、作M1、MP圖，計算系數和自由項。d11=(2/EI)[(2a3)＋(1/2)(a2/2)(2a/3)]=13a3/3EI

D1P