曲線積分及曲面積分習題課件_第1頁
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文檔簡介

（一）曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯系（三）場論初步

一、主要內容曲線積分曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義計算定義計算聯系聯系（一）曲線積分與曲面積分曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義聯系計算三代一定二代一定(與方向有關)與路徑無關的四個等價命題條件等價命題曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分定義聯系計算一代,二換,三投(與側無關)一代,二投,三定向(與側有關)定積分曲線積分重積分曲面積分計算計算計算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各種積分之間的聯系計算上的聯系其中理論上的聯系1.定積分與不定積分的聯系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯系格林公式3.三重積分與曲面積分的聯系高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯系斯托克斯公式梯度通量旋度環流量散度（三）場論初步二、典型例題思路閉合非閉閉合非閉補充曲線或用公式對坐標的曲線積分的計算法解(如下圖)曲面面積的計算法SDxy曲頂柱體的表面積如圖曲頂柱體，解由對稱性對坐標的曲面積分的計算法1.利用高斯公式具有則外側.一階連續偏導數,2.通過投影化為二重積分注意的確定!3.向量點積法(化為同一組坐標積分）

被積函數中有抽象函數,故無法直接計算.?如直接計算分析用高斯公式.例Σ是錐面所圍立體的表面計算設f(u)是有連續的導數,計算和球面及外側.解由于故由高斯公式=

球例解利用兩類曲面積分之間的關系例.計算曲面積分其中,解:引申:1.本題改為橢球面

時,應如何計算?應如何計算?2.若本題改為不經過原點的任意閉曲面的外側，計算：其中：引申:1然后用高斯公式.引申:2分兩種情形情形1：不包圍原點的任意閉曲面。情形2：包圍原點的任意閉曲面。問題轉化為與引申1類似的情形。例.

設是曲面解:

取足夠小的正數,

作曲面取下側

使其包在內,

為xoy平面上夾于之間的部分,且取下側,取上側,計算則第二項添加輔助面,再用高斯公式計算,得例.計算曲面積分中是球面解:利用對稱性用重心公式(曲面關于xoz面對稱）例.設L是平面與柱面的交線從z軸正向看去,L為逆時針方向,計算解:

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