2022-2023學年北京市北京市海淀區高二上學期數學期末復習試題

一、單選題

1.已知復數z滿足z（3-4i）=4+6i（6€R）,若z為純虛數，則人的值為（）

A.-4B.-3C.4D.3

【答案】D

【分析】首先變形求出z的表達式，再根據純虛數的定義求解即可.

4+bi（4+bi）（3+4i）（12—4b）+（3b+16）i

-_

［詳解］...z（3_4i）=4+〃9eR）,--3_4j25.25,

［12-46=0,

{=b=3

因為Z為純虛數，［3b+l6Ho

故選：D

2.己知平面以P7兩兩垂直，直線。、bc滿足：aSg,則直線a、bc不可能滿足

以下哪種關系

A.兩兩垂直B.兩兩平行C.兩兩相交D.兩兩異面

【答案】B

【分析】通過假設。/〃，可得“力平行于冬戶的交線，由此可得。與交線相交或異面，由此不可能

存在a//6//c,可得正確結果.

【詳解】設an?=，，且/與”，6均不重合

假設：allbHe,由a//6可得:。〃夕,b//a

又anp=l,可知a/〃,b!H

又a//b〃c,可得：c/〃

因為。，夕，7兩兩互相垂直，可知/與7相交，即/與c相交或異面

若/與。或6重合，同理可得/與c相交或異面

可知假設錯誤，由此可知三條直線不能兩兩平行

本題正確選項：B

【點睛】本題考查空間中的直線、平面之間的位置關系，關鍵在于能夠通過線面關系得到第三條直

線與前兩條線之間的位置關系，從而得到正確結果.

3.“片0是“直線k蛆+（2，"小+1=°與直線￡機x+（2*l?-l=°之間的距離為2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

4

m=-

【分析】根據平行線間的距離公式可得m=°或5,進而根據充分與不必要條件的定義判斷即可.

|1~(~1)|

=24

yjm2+(2m-\y,m=-

【詳解】兩條平行線間的距離即5"-4m=0,解得m=0或5,

即，，機=0”是“兩直線間距離為2”的充分不必要條件.

故選：A.

4.如圖所示，在平行四邊形"BCD中，ABLBD,沿8。將△/8O折起，使平面平面

BCD,連接力C,則在四面體力88的四個面中，互相垂直的平面的對數為（）

【答案】C

【分析】利用線面垂直得到平面平面8CQ,平面月8c工平面8CO,平面/CQ,平面/8O,

得到答案.

【詳解】平面18。，平面8CQ,平面/8ZJC平面8CC=BO,

ABLBD,NBu平面故平面BCD,N3u平面NBC,故平面Z8C1平面8CQ；

CD1BD,CDu平面BCD,故平面43。，CDu平面ZCZ）,故平面NCD_L平面/B￡>；

綜上所述：平面45OJ?平面8CD；平面ZBC/平面8CZ）；平面J.平面/BO；

故選：C

5.直線/："一-3。+1=0被圓。?+1）2+8-2）2=25截得的弦長的最小值為（）

A.4GB.4及c.3cD,2顯

【答案】B

【分析】確定直線過定點尸"/），當PC'/時，直線/被圓C截得的弦長最短，計算即可.

【詳解】直線/：?-y-3a+l=0,即“x-3）-y+l=0,直線/過定點尸⑴）,

圓C的圓心為C（T，2）,r=5,當PCI/時，直線/被圓C截得的弦長最短.

因為I尸牛7（3+1）2+（1-2）2=后,所以弦長的最小值為2J25-17=4V2.

故選：B

6.在平面內，A,B是兩個定點，C是動點，若配.就=1,則點C的軌跡為（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】A

【分析】設出A、8、C的坐標，利用已知條件，轉化求解C的軌跡方程，推出結果即可.

【詳解】解：在平面內，A,8是兩個定點，C是動點，

不妨設4一凡°）,8（4,0）,設C（x,y）,

所以4c=（X+"j）,BC=（x-a,y）

因為就灰=1,

所以G+a）（x_a）+y2=],即x2+/=/+],

所以點C的軌跡為圓.

故選：A.

《上=1\

7.與雙曲線48一有共同漸近線，且經過點（2/）的雙曲線的虛軸的長為（）

A.2^2B.4及C.2D.4

【答案】D

【分析】依題意，設雙曲線的方程為了一9一將點（2/）的坐標代入可求4.即可求解.

三-匕=1--Zl=/n^0）

【詳解】設與雙曲線48有共同的漸近線的雙曲線的方程為48L

???該雙曲線經過點（2*）,

48.

二上7片工7

所求的雙曲線方程為：48，即84.

所以方=2,

所以虛軸長為4.

故選：D

四=2,,

8.已知°（°，°）,"0，°）,動點「GM滿足尸。|,則動點P的軌跡與圓（＞2）一+/=1的位置

關系是（）

A.相交B.外切C.內切D.相離

【答案】B

【分析】由題意求出動點尸的軌跡方程，再由兩圓圓心距與半徑的關系判斷.

【詳解】設P（x,y）,由題意可知，

??1尸/『=41（X-3）2+y2=4任+/）

整理得，點P的軌跡方程為（X+1），+V=4,

其圖形是以（-LS為圓心，以2為半徑的圓，

而圓（x-2>+/=1的圓心坐標為（2,0）泮徑為1,

可得兩圓的圓心距為3,等于2+1=3,

則動點尸的軌跡與圓（X-2r+/=1的位置關系是外切.

故選：B.

9.己知點P是拋物線r="上的動點，點/的坐標為02,6）,則點尸到點力的距離與到x軸的距

離之和的最小值為（）

A.13B.12C.11D.屆

【答案】B

【分析】作出輔助線，利用拋物線定義得到點尸到點/的距離與到x軸的距離之和

PA+PH=PA+PF-\,由兩點之間，線段最短，得到距離之和的最小值為《尸-1,求出答案.

【詳解】如圖，軸，連接席，

由拋物線定義得：拋物線x2=4y的準線方程為y=T,焦點坐標為（°』），

故PH=PF-\,

則點P到點A的距離與到x軸的距離之和PA+PH=PA+PF-\,

連接/尸，與拋物線交于點P，此時PZ+PF-lnNF-l,

故點P到點4的距離與到x軸的距離之和的最小值為NF-1,

22

ii..AF=J（12-0）+（6-l）=134,=.,0

其中7v7,故最小值為4尸T=12.

I22

入分別為雙曲線C：/一爐"乂"。''"的左、右焦點,

10.設片,A為雙曲線的左頂點，以

與名為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于M,N兩點,且NM4N=135。，（如圖），則該雙曲線的

A.&B.6C.2D.石

【答案】D

_b

【分析】聯立與）-不求出”（。力），進而的正切可求，得出4與6的關系，從

而進一步解出答案.

r-'r-f2，2

【詳解】依題意得，以線段FR為直徑的圓的方程為x+y=c,

b

cy=-x

雙曲線0的一條漸近線的方程為’。.

b

y=-x,

a

_x2+y2=c2,以及/+62=02,

由

\x=a,\x=-a,

解得［y=b或［y=-b-

不妨取加（0力），貝ijN'（-“，-6）

A（-a,MAN=\35°

所以ZMAO=45\

h

MAO=

五

又9

i=2

所以2a

所以b=2a

所以該雙曲線的離心率

故選：D.

二、填空題

11.在復數范圍內分解因式：/+4=.

［答案］(x+l_i)(xT+i)(x+l+i)(x-l-i)

【分析】因式分解第一步將,+4=(x2+2iXx、2i),第二步。2+2+/_(1一i)-

2

(X-2I)=X--(1+I)綜合起來即可得到答案.

【詳解】由題意知、4+4=(八公)(2)干-(1-必~1+刃

故答案為：(x+lT)(x-l+i)(x+l+i)(x_|-i)

12.方程J/+(<-3)2++(y+3f=10化簡后為

)2

乙+三=1

【答案】2516

【分析】運用方程的幾何意義得出結果.

【詳解】解：...正+，-3)2+G+3+3)2=[0,

故令M(x，“耳色一3),旦(0,3)

」阿|+|M周=10>|耳用=6,

二方程表示的曲線是以6(°'-3),鳥(°，3)為焦點，長軸長2〃=10的橢圓,

艮［］。=5,c=3,b=yja2—c2=4

片+《=1

.??方程為2516

---1---=1

故答案為：2516

13.已知集合'=["2g?},8=《x/?=x+b},若集合Zc8中有2個元素，則實數

b的取值范圍是

【答案】（-"T

【分析】首先分析集合A、8的元素特征，再數形結合求出參數b的取值范圍.

【詳解】解：由“=定了，則MO,所以小+^=1（20）,

所以'=8*=正中表示以（°，°）為圓心，1為半徑的圓在N軸及右側部分的點集,

集合B=《x，力y=x+b}表示直線y=x+/）上的點集，

?.?集合A與集合8都是點集，集合ZC8中有2個元素，

故答案為：（-"T

14.已知實數'J滿足￥+V=2|X|+23,則口的最大值為

【答案】1

【分析】由曲線方程畫出曲線所表示的圖形，將,看作曲線上的點與坐標為巴°）的點連線的斜

率，求出最大值.

【詳解】由“-x”和“-y”代入方程仍成立，所以曲線X、/=2|X|+23關于x軸和卜軸對稱，故只

需考慮xNO,的情形,

此時方程為X2+V2=2X+2?,即（XTY+G-以=2,所以GM的軌跡如下圖,

J

2

2O

y=y-0

』一』，表示點Of）和（4°）連線/的斜率，由圖可知當/曲線第四象限部分半圓（圓心為

（1I）,半徑為&）相切時，斜率最大.

設乙y=Q-4）,則J1+F,解得左=］或7（舍去）,

所以x-4的最大值為1.

故答案為：1.

15.在正方體,8C3-44G2中，N為底面48。的中心，尸為線段4"上的動點（不包括兩個

端點），河為線段的中點，則下列說法中正確的序號是

①CM與PN是異面直線;

②CM>PN；

③平面尸"N,平面用；

④過尸，4c三點的正方體的截面一定是等腰梯形.

【答案】②③④

【分析】連接NC，根據平面幾何知識可得CMPM交于點4,可判斷①；分別在AM4c中，和在

△PAN中,運用余弦定理求得。印和尸產，比較大小可判斷②；證明"N與平面8。口片后可得面

面垂直，可判斷③；作出過％4c三點的截面后可判斷④.

【詳解】解：連接NC,因為C，M”共線，即CN,PM交于點人,共面，

因此CM,PN共面，①錯誤;

PN2=AP2+AN2-2AP-ANcos0=AP2+-AC2-AP-ACcos0

記ZP/C=。，則4

CM2=AC2+AM2-2AC-AMcos0=AC2+-AP2-AP-ACcos0

4,

又4P<4c,

3

CM2-PN2=-(AC2-AP2)>0,,

4,CM->PN-,即CA/>/W.②正確；

由于正方體中，AN1BD,平面/8CQ,4Nu平面4BCD,

所以8與_LZN,因為BB】cBD=B,BB?BDu平面BBQQ,

所以NNJ_平面BBQ。，

因為/Nu平面尸NN,

所以平面4NJ.平面8D04,即平面P/NJ.平面③正確；

過點尸作尸K〃4G交GA于點K,連接KC，4G,由正方體性質知，4G//ZC,

所以PK/A4C,PKMC共面,且/f=￡K,

故四邊形尸就是過p,A>C三點的正方體的截面，

因為，尸為線段4"上的動點（不包括兩個端點），

222222

所以，PKACAP=AtP+A,A=C]K+C}C=CK

故四邊形尸KO*是等腰梯形，故④正確.

故答案為：②③④.

三、解答題

16.已知直線/：'+3_1）了一加=0

（1）若直線的傾斜角L42」，求實數，〃的取值范圍；

（2）若直線/分別與x軸，y軸的正半軸交于4B兩點,。是坐標原點，求面積的最小值及此

時直線/的方程.

【答案】（1）°?加41

（2盧次最小值為2,直線/方程為：X+N-2=0.

【分析】（1）由直線的斜率和傾斜角的范圍可得加的不等式，解不等式可得；

（2）由題意可得點小加」和點'（八°）,可得由基本不

等式求最值可得.

71

【詳解】（D解：由題意可知當切=1時，傾斜角為5,符合題意

k=_L_

當加時，直線/的斜率i-〃？

兀兀、7n\1

aw=>*=tanae[l,+^）---->1=>0<W<1

???傾斜角I42）,1一”.

故機的范圍：0?加41.

m80,弋

y-，令7=0時％=加,即"（見°）

（2）解：在直線/中：令x=0時’m-1,即\tn-\

x=m>0

m八

y=------>0

由題意可知:W-1得m>1

m_1m2{in-1)24-2(/??-1)+1

S^AOB=

即22m-\2m-\

=；(w-1)1+242g>±+2

-I----------=2

m-1

m—\-=>(777-1Y=1=m=2

當且僅當tn-1時取等號,

故最小值為2,此時直線/方程為：x+y-2=0

17.已知圓E經過點“（°，°）,以2,2）,且

.從下列3個條件中選取一個，補充在上面的橫

線處，并解答.

①與V軸相切；②圓E恒被直線機苫一^一？機=0（"?eR）平分；③過直線x+4y_4=0與直線

x-2y-4=0的交點c.

⑴求圓E的方程；

（2）求過點,?J）的圓E的切線方程.

【答案】（1）任選一條件，方程都為（x-2）?+y2=4

（2產=4或5x-12y+16=°

【分析】（1）選①，設圓E的方程為a、尸+3-"=『2,根據題意列出方程組，求解即可;

選②，由題意可得直線改一歹-2加=°恒過（2,0）為圓片的圓心，代入/點坐標即可求解；

選③，求出兩直線的交點為0（4,0）,根據圓E過1,B,C三點求解即可；

（2）先判斷出點P在圓E外，再分切線的斜率存在與不存在分別求解即可.

【詳解】（1）解：選①，設圓E的方程為（、-4+（k6）2=『\

同=尸（a=2

由題意可得1（2-Q-4=：解得&=2,則圓E的方程為。-2）”2=4；

選②，直線〃優-了-2加=°恒過（2,0）,

而圓E恒被直線2_^_2機=0（機cR）平分，

所以〃a_y_2加=0恒過圓心，因為直線必-卜-2m=0過定點（2,0）,

所以圓心為（2，°）,可設圓的標準方程為（x-2『+/=',

由圓E經過點“（°，°）,得r=4,

則圓E的方程為（X-2）2+/=4.

選③，由條件易知C（4,0）,

設圓的方程為/+/+6+或+?=0（。2+6-4/>0）,

F=0伊=-4

-8+2D+2E+F=0-￡=0

由題意可得|16+M+F=°,解得【尸=°,

2

則圓￡的方程為/+/_4x=0,gp（x-2）+/=4

綜上所述，圓￡的方程為（x-2）2+V=4；

（2）解:因為（4-2）2+32=13>4,所以點尸在圓E外,

若直線斜率存在，設切線的斜率為3

則切線方程為V-3=/（X-4）,即依-y-4"3=0.

|2A--4/C+3|_|-2A:+3|_2

所以\lk2+\"2+i解得“一瓦

所以切線方程為5xT2y+16=0,

若直線斜率不存在，直線方程為*=4,滿足題意.

綜上過點尸（4,3）的圓E的切線方程為x=4或5x-12y+16=0.

7T7T

NBAC=—,ZPAC=ZPAB=-

18.如圖，在三棱一尸-"SC中,A/2C為等腰直角三角形，23

（2）若P/=2ZC=4,求平面PN8與平面尸8c的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

715

⑵5

【分析】（1）取8C中點。，連接4。以及尸。，先證明△亞P絲ABP,再根據線面垂直的判定證

明8c工平面產/。，進而根據線面垂直的性質證明即可；

（2）根據角度關系，結合線面垂直的判定可得“CJ?平面CPE,再根據線線垂直，以A為原點，

48為x軸，4C為V軸，建立空間直角坐標系，再分別計算平面48與平面P8C的法向量求解即

可.

【詳解】（1）證明：取8C中點。，連接/。以及尸。，如圖2,

圖2

在△ZCP和中，AB=AC,AP=AP,ZPAC=ZPAB,

所以絲ABP

所以CP=BP,所以POJ.8C

又因為SBC,/。匚平面口。，PDu平面PAD,ADQPD=Dt

所以8cl平面尸”。

又因為NPu平面/OP,所以P/_L8C

（2）在平面尸4。中，過戶點作垂足為E,連接CE,BE,PE,如圖3,

Bx

圖3

由（1）BC之平面P4D,則8C_LPE,則PE,平面NBC

兀7171

NPAC=—AP=24CnNPCA=—ZPBA=-

在△尸。中，3,2,同理2

...AC工PE,ACLCP,且尸EcCP=P,PE,CPu平面CPE,貝ij/C_L平面CPE

又...CEu平面CPE,醫，同理可得

則四邊形"BCE為正方形，

AB=AC=BE=CE=2,則在RtZ\P8E中，可求出P8=20,PE=2y[l

則以A為原點，為X軸，4C為y軸，如圖建立空間直角坐標系，

則/（0,0,0）,8（2,0,0）,C（0,2,0）P0,2,2&）

設平面PZ8的法向量為機=（x，%z）,"=（2,0,0）,BP=G，2,2&）,

2x=06

z=』m=。,1,-二

則|2y+2^z=0,令？=1,則x=0,222

7

設平面心C的法向量為無=（2,-2,。），班>=（0,2,2a）,

2x-2y=0y[2-LT

則2y+2五z=0,令x=l,則F=l,2

記二面角月-PB-C的平面角為，,

\m-n\"—叵

~~5

+-

則2

cos”小

又因為8為銳角,則5

22余9

二+二=l（a>6>0）=1

19.已知橢圓C：6。與橢圓的離心率相同,11為橢圓C上

一點.

（1）求橢圓C的方程.

哈。

（2）若過點的直線/與橢圓C相交于4B兩點,試問以N8為直徑的圓是否經過定點7?若

存在，求出7的坐標；若不存在，請說明理由.

%2+—=1

【答案】⑴2

（2）存在7的坐標為（T，°）,理由見解析

*JV2

【分析】（1）先求出橢圓84的離心率為2,由此得到/=2/，將點尸的坐標代入橢

11,

----1----1

圓C,得到2〃/,再代入/=2〃，解得〃=1,“2=2,則可得結果；

（2）先用兩個特殊圓求出交點（T，0）,再猜想以為直徑的圓經過定點T（T，°）,再證明猜想，

/,：X=wV+-Ix~，+—/=1，,.

設直線3,并與2聯立，利用韋達定理得到％+%,必為，進一步得到再+々，

x/2,利用必+%,必力，%+X"再超證明源?范=0即可.

《+zi=ir__,__

【詳解】（1）在橢圓84中，%=272,4=2,q='8-4=2,離心率e=

c,_2_A/2

q.2后一2

.IJ-,

所以'片2,化簡得"=2/,

P（—,1）^+4-=i（?>*>o）

因為2在橢圓C：b2a2,上,

所以定+/-1,所以游+2〃-1,所以/=1,a2=2,

C:x2+-=1

所以橢圓2.

（2）當直線/的斜率為0時;線段"8是橢圓的短軸，以48為直徑的圓的方程為V+『二l,

1-+J1"

x=—

當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為3,代入2，得,3,以為直徑