2021-2022學年安徽省滁州市定遠縣第二中學高二下學期第四次月考

數學試題

一、單選題

1.若直線44的方向向量分別為"=（0,2,-1）1=0,2,4）,則（）

A.B.

c.44相交但不垂直D.44平行或重合

【答案】B

【分析】根據兩直線的方向向量，求出75的值，即可得出直線44的位置關系

【詳解】解:由題意

￡=（0,2,-1）1=（1,2,4）

.“B=0+2x2+（-l）x4=4-4=0

.-.a-Lb,

故選：B.

2.一質點又按運動方程,（’）=-八、4（位移單位：m,時間單位：S）做運動.若質點/在

，=5s時的瞬時速度為20m/s,則常數上的值為（）

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】C

【分析】先對已知函數求導，然后結合導數的定義運算求解.

【詳解】由題意可得：s（）=-2h,則s'（5）=-104=20,所以占2.

故選：C.

3.已知點"0'-2），8（〃，，2）且線段/5的垂直平分線的方程是工+2了-2=°,則實數機的值是

（）

A.-2B.々C.3D.1

【答案】C

【分析】由題知48的中點坐標為l2人代入方程1+2歹-2=°即可得答案

【詳解】解：由題知線段48的中點坐標為I2人

因為點/0'-2），8（孫2）且線段/8的垂直平分線的方程是》+2?-2=0

3,015-2=0

所以，將12〃弋入直線x+2y-2=°中，得2,解得機=3.

故選：C

4.設隨機變量X~N（7，〃），若P（X>14-幻=0.3,則P（X>a）=（）

A.0-7B,0.4C.03D.06

【答案】A

【分析】根據正態曲線的對稱性可得.

【詳解】'：X~心、吟,若尸（%>14-0）=0.3,.?/（%<°）=0.3,則P（X>?）=l-0.3=0.7

故選：A

5.在S+我）的展開式中，含x的正整數次募的項共有

A.4項B.3項C.2項D.1項

【答案】B

【詳解】S+⑸的展開式的通項為卻=%（"）（叼6（04/412）為整數，3

項，即廠=0了=6/=12,故選B.

【方法點晴】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于中檔題.二項展開式定

理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下

幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式（產C/""；（可以考查某一項，

也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開

式定理的應用.

6.等差數列&”｝中，$5=15,%=9,則%，4的等差中項是（）

A.9B.3C.12D.6

【答案】D

【分析】利用等差數列前〃項和公式及等差數列通項公式的性質，可以求得用=3,接著利用等差

數列通項公式的性質即可求出4,%的等差中項4.

.5（%+牝）…

【詳解】???$5=15,%=9,-2,

/.2%=%+%=6即。3=3

2a5=%+。6=〃3+〃7=12

..ci^—6

故選：D

7.已知圓的方程為+8-3）2=4,0（4,4）是該圓內一點，過點尸的最長弦和最短弦分別為

4c和8。，則四邊形488的面積是（）

A.4B.48C.872D,4上

【答案】D

【分析】由題知最長弦為直徑，最短弦為是過P且與直徑/c垂直的弦長，進而求得弦長，計算面

積即可.

【詳解】解：由題知圓心為“（二3）,半徑為r=2,

由圓的性質可知，最長的弦長為直徑，故"C=4,

最短的弦長是過P且與直徑/C垂直的弦長，

由于MP=及，故80=2“-MP?=2物-2=2&,

因為ACJ.BD,

=AC?BD=

所以面積為2

故選：D

8.甲、乙、丙3位大學畢業生去4個工廠實習，每位畢業生只能選擇一個工廠實習，設“3位大學

畢業生去的工廠各不相同”為事件甲獨自去一個工廠實習”為事件8,則「（川團=（）

2￡35

A.3B.3C.4D.8

【答案】A

【分析】求出甲獨自去一個工廠實習有C：*32,3為大學畢業生去的工廠各不相同有用，根據條件

概率公式，即可求解.

【詳解】“甲獨自去一個工廠實習”為事件8,

事件8包含的基本事件有C*32=36

“3位大學畢業生去的工廠各不相同”為事件Z,

事件A包含的基本事件有團=24

242

P(A\B)=-=-

363

故選:A.

【點睛】本題考查條件概率，確定基本事件個數是解題關鍵，屬于基礎題.

-^-x^sinfl+xL/V)

/w=

9.已知4為/（x）的導函數，則/'（X）的圖象是（）

C

【分析】求導后由函數性質判斷

r

,21+cos=；x-sinx

f(x)=-x+sin—+x=-Xx,f(x)

【詳解】4(24

則/'(-X)=-f\x),/（X）為奇函數,故排除B,D,

且2，4故排除C,

故選：A

X2y2

T+=\(a>b>0)與*2分別是其左右焦點，若附1=2處閭,

10.在橢圓〃中，則該橢圓離心率的

取值范圍是（）

A.B.C.°5D.°5

【答案】B

【分析】根據橢圓定義M+圈=2。，結合附|=2|明,解得I」-丁，然后根據橢圓的幾

何性質，由歸周2”,求解.

【詳解】根據橢圓定義歸用+歸用=2。，

將阿|=2|明代入得產I仔

根據橢圓的幾何性質，歸鳥性"J

會一

故3,即a?3c,

故3,又e<l,

所以橢圓離心率的取值范圍為L3）

故選：B.

【點睛】本題主要考查橢圓的定義和幾何性質，屬于基礎題.

11.德國數學家萊布尼茨是世界上第一個提出二進制記數法的人.二進制數被廣泛應用于電子電路、

計算機等領域.某電子電路每運行一次都隨機出現一個四位二進制數,其中

j_2

《0=1,2,3,4）出現0的概率為出現1的概率為3,記X=《+%+%+%,當電路運行一次時,

X的數學期望￡（“）=（）

48

A.3B.2C.3D.3

【答案】C

【分析】根據二項分布求期望.

X=0,l,2,3,4,P（X=%）=C

【詳解】由題意,

X~B\4,

故選:C.

12.已知MH是定義在（°什8）上的函數/（》）的導函數，且礦。）一/（》）>°,則"

y,"唳）的大小關系為（

）

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【分析】構造由已知及導數研究其單調性，進而比較

的大小即可.

g（x）eg，（x）*）"

【詳解】令X,則//.

因為M'（x）-/（x）>°對于（0，+8）恒成立，

所以雙x）>°,即g0X在（°產）上單調遞增,

又12人⑶，（e人且2e3,

所以g（介g0>g|H

即a>c>6.

故選：A

二、填空題

13.已知隨機變量X服從二項分布I勾，則“（2X+1）=.

7

【答案】2

【分析】由二項分布得到“（X）,即可求出“（2X+1）的值.

【詳解】解：由題意

在隨機變量X中，*服從二項分布I4九

,E（X）=5X：；

7

￡,（2Ar+l）=2￡（Ar）+l=-

:.2

7

故答案為：2.

14.某品牌的一款純電動車單次最大續航里程X(千米)服從正態分布*(200°1°。任選一輛該款

電動車，則它的單次最大續航里程恰在1970(千米)到2020(千米)之間的概率為

.(參考公式：隨機變量自服從正態分布“(")，則P(〃-b444〃+b)=0.6827,

P(〃-2cr4&4〃+2or)=0.9545P(〃-3(r4J4〃+3cr)=0.9973)

【答案】0.9759

【分析】根據正態分布求出〃和。的值，根據參考公式，即可求出單次最大續航里程恰在1970千

米到2020千米之間的概率.

【詳解】解：由題意

~7^(2000,102)

,.?A=2000,cr=10，

P(19704X42020)=P(〃一3<T4X4〃+2<7)=P(〃一3b4j4〃+3<7)-；［P(〃-3b4j4〃+3b)-P(〃一2b4j4〃-

故答案為：0.9759.

15.設等差數列｛%｝的前"項和為，嗎若兒>0島<0,則數列Ml｝的最小項是第

___________項.

【答案】9

【分析】利用等差數列前"項和公式和等差數列的性質求解.

【詳解】設等差數列也｝的公差為力?FL"=*,九>。與<0,

16(《+卬6)_16(%+。9)17x2%

且3―2-2517--2-'

a8+a9>0,17%<0,，〃8<0,d<。且。8>-a9>0

又一旬所以數列MJ｝的最小項是”

故答案為:9.

〃\12./(再)-小2)3

/(x)=-x-ax+Inxv

16.已知函數2,對于任意不同的不，々氣。,+叼，有x,-x2,則

實數。的取值范圍為.

［答案］(-8，T］

【分析】設結合不等式可得/（演）-3*＜/（々）-3馬，構造函數"G）=/（x）-3x,則

尸（網）＜尸（々），即F（x）單調遞增，轉化問題為/（》炫。恒成立，進而分離參數，結合基本不等式

即可求解.

“西）一-（々）.j

【詳解】對于任意々'（。，長0）,有Xf

不妨設再（“2,則/（再）一/（*2）＜3（石-工2）,即/（xJ-3Xj＜/（%2）-32

設尸（x）=/（x）-3x,則尸（西）〈尸仁）,

又占＜%,所以F（x）單調遞增，則F（x）N°恒成立,

為F(x)=/(x)-3x=-^x2-(3+a)x+lnx

-(3+a+1

,

F(x)=x-(3+a)+—=令g(x)=f-(3+a)x+l

所以xx

要使F（x）2。在（°，+0恒成立，只需g3=--（3+”）x+120恒成立，即3+。V'+嚏恒成立,

xH—W2、卜.——2

又X、x,所以3+〃42,即。4-1,

故答案為：（-8，T]

三、解答題

17.已知在2垢;）的展開式中，第6項為常數項.

(1)求n；

（2）求展開式中所有的有理項.

T452763T45

T.=—xT,=-----7L=-----------r

【答案】（1）〃=1°.（2）展開式中的有理項為：4,8,256x2

-10=0故〃=10

1口

T=Cr(--Y-x3

(2)設展開式中的有理項為川102

10~2reZ,r=0,l,2,---,10

n則3,故尸=2,5,8

?.?展開式中的有理項為：T2+，=Cl2°2）2-,=—4'x2

小=%（一夕=糕QY（今）=離

28,2256.r

點評：運用二項展開式的通項公式求特定項，特定項系數、常數項、有理項等，通常是先根據已知

條件"，再求二-1,有時還需先求X,再求"，才能求出7'一］.

18.已知點P到片（一2,0）,&Q°）的距離之和等于2b.

（1）求點尸的軌跡C的方程；

（2）過點G4#）的直線/與（1）中的曲線C相切，且與圓（x+2）~+/=/（r>0）也相切，求廠的

值.

x2丁

---1---=1

【答案】⑴73

（2）1

【分析】（1）由題意可知131+1尸￡1=2近>|耳巴|,故可根據橢圓的定義判定曲線c為橢圓，進

而求得橢圓方程；

（2）設直線方程，將直線方程和橢圓方程聯立，根據直線和橢圓相切，令判別式為零，求得直線

方程，再根據直線和圓相切，利用點到直線的距離等于半徑，可求得答案.

【詳解】⑴據題意有：1戶用+上尸2k2>/7>|月6|,

由橢圓的定義知點P的軌跡C是以用（2，°）為焦點的橢圓，c=2,”=不，

工+J1

所以。2-'=〃=3,所以軌跡C的方程為73一.

（2）顯然直線/的斜率存在，設直線/的方程為y="G+4）,

y=笈（x+4）,

聯立［3/+7/=21得（3+7公卜2+56公x+112--21=0

由題意得人NX-A+WFAJ-W,-?

所以直線/的方程為，=土76+4）,即x士島+4=0.

2,2廠小％

因為直線/與圓（x+2）~+V=/（"0）也相切，所以V3+1.

19.某班從6名班干部（其中男生4人，女生2人）中選3人參加學校學生會的干部競選.

（1）求女生乙被選中的概率；

（2）在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率.

【答案】⑴5

2

⑵M

【分析】（1）直接用古典概型的概率求解即可.

（2）先算男生甲被選中的概率，再算女生乙被選中，然后根據條件概率求解.

C21

P=-=—

【詳解】（1）女生乙被選中事件的概率2

（2）設“男生甲被選中”為事件A,“女生乙被選中”為事件8,

則一c2I戢5I）眸）5

20.如圖，在四棱錐尸一/8S中，底面Z8C。是直角梯形，

AB//CD,BAD=90,AB=AD=2DC=2,AP=PD=>/2平面PZZ）_L平面/BCD

（1）證明：平面PC￡>_L平面尸ZB；

（2）求直線必與平面尸。夾角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

正

⑵3

【分析】（1）利用空間向量的坐標運算，求出平面PCD,平面P48的法向量，即可證明;

(2)利用線面夾角的向量運算求解.

【詳解】(1)設/行8c的中點分別為連接尸O00￡,因為/尸=尸￡),

所以

因為平面尸力。平面46CQ,平面夕4)c平面Z3CQ=Z2POu平面尸力。，

所以尸。工平面ABCD,AD.OEu平面/6CQ,所以「。14D,PO1OE,

因為底面ABCD是直角梯形，AB"CD,/網8c的中點分別為Cf^E,

所以4B〃OE,又NB4D=90,所以/Z)，OE.

以。為原點，。/為x軸，°E為歹軸，。尸為z軸，建立空間直角坐標系如圖所示,

已知AB=AD=2DC=2,AP=PD=叵,則。(0,0,0),/(1,0,0),。(-1,0,0)

P(0,0,l),5(l,2,0),C(-l,l,0)

=(-1,o,-1),nc=(O,I,O),E4=(I,0,-1),ZB=(0,2,0)

J/MPD=0

設"?=(X],%,zj是平面PCD的一個法向量，則DC=0

-x}_Zj=0

即[凹=0,令X|=l,貝護=(l'0,T).

nPA=0

設"=(々,%,z?)是平面48的一個法向量，則舊?”=(),

=0

一「=0，令七=1,則"=(1，°/),

因為=(1,0,-1>(1,0,1)=0,所以前J.G,

即平面PCO,平面

(2)P8=(L2，T),設直線P8與平面PCD的夾角為。，

Jn*H甌褶輻=福￥,

直線尸B與平面PCQ夾角的正弦值為3.

21.北京時間2月20日，北京2022年冬奧會閉幕式在國家體育場舉行.北京2022年冬奧會的舉行

激發了人們的冰雪興趣，帶火了冬季旅游，某旅游平臺計劃在注冊會員中調查對冰雪運動的愛好情

況，其中男會員有1000名，女會員有800名，用分層抽樣的方法隨機抽取36名會員進行詳細調查,

調查結果發現抽取的這36名會員中喜歡冰雪運動的男會員有8人，女會員有4人.

（1）在1800名會員中喜歡冰雪運動的估計有多少人？

（2）在抽取的喜歡冰雪運動的會員中任選3人，記選出的3人中男會員有X人，求隨機變量X的分

布列與數學期望.

【答案】（1）60。（人）

（2）分布列答案見解析，數學期望：2

【分析】（1）根據分層抽樣的定義求出男女會員中喜歡冰雪運動的比例，進而求解;

（2）根據超幾何分布計算概率.

【詳解】（1）用分層抽樣的方法隨機抽取36名會員，

1000“

----x36=20

其中男會員有1800（人），女會員有16人，

84

—X1000+—x800=600

所以在1800名會員中喜歡冰雪運動的估計有2016（人）.

（2）X可能的取值有°」，2,3,

C?_48_12

尸—。）告于0尸（”）=

--5

VX],44UJJ/22055

^C；_I12_28（?CC；_5614

（）C]22055'尸（）C|220

255

所以X的分布列為

X0123

1122814

P

55555555

所以“的期望"⑶=°￡+1X￡+2X||+3X+2

22.已知函數名（”）=歷占“'）="

⑴令"心”…討論函數/⑺的單調性；

（2）求證：對任意的正整數〃，當時，有x-g（x）Z也"（x）

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析：（2）證明見解析.

【分析】（1）求導GT）,分〃?=0,m<0,加>。討論求解:

⑵將證X"Ag（4跖成立，轉化為證"時w成立,根據丹