2020全國碩士研究生入學統一考試數學真題

ー、選擇題:1?8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項中,只有一項

符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

下列無窮小量中最高階是()

、/

A|dv

1一(B)fln

\

〇Jo

sinx廣1-cosxI-------------

2

(C)レsint2dt⑼JvsinrJr

【答案】(D)

【解析】由于選項都是變限積分,所以導數的無窮小量的階數比較與函數的比較是相同的。

(A)力)=e'-1~x2

(D)\lsinrdtj=^sin(l-cosx)2s^nx~x

經比較,選(D)

1

(2)函數/(x)=e-ln|l+x|的第二類間斷點的個數為()

(e'-l)(x-2)

(A)1(B)2(C)3(D)4

【答案】(C)

【解析】由題設,函數的可能間斷點有え=-1,0,1,2,由此

丄_1

lim/(x)=limビh1|l+x|=-_______limlnil+x\=-〇〇;

x"(ゼ_1)(%—2)3(e-1-1)^-1II

i

lim/(x)=limダ"n|1+ス丨.-ilimln(l+x)__1

,メ"_?0(/-1)(エー2)--2"0x2e'

1共13頁

lim/(x)=limザ1>P+引_ln2lim涓=0;

(ゼー])(スー2)-1一

1

limビIn[l+x|In2lim涓=-〇〇;

5+(ゼー1)(スー2)1-ターr

1

lim/（x）=limベ"np+?丨eIn3lim=〇〇

12Xf2（ゼー1）（x-2）_（/_］）x_2冗ー2

故函數的第二類間斷點（無窮間斷點）有3個,故選項（C）正確。

,へ、ナarcsinvdx=()

7T71

(A)J(B)J(C)-(D)

484I

【答案】(A)

【解析】令五二sin，,則オ=5mッ,dx=2sintcostdt

nt匹2

r1arcsinドdx=j22sintcostdt2tdt=t2兀71

テ

レ取トス)0sintcost0

4

0

(4)/(x)=x2In(1-x),n>3時,于(")(0)=

n\n\?g（〃ー2）!

(A)一(B)(D)

n-2n一2nn

【答案】（A）

"x"2〇〇乂1+2

【解析】由泰勒展開式,ln(l—x)=ー工—，則スln(l—x)=—Z---=

n=l〃”=1〃

故f嗎〇）=-nL-

n-2

［り,?りア0

（5）關于函數/（x,y）=jx,y=0給出以下結論

レ,%=°

吟一1e,于

（。?。廠②麗(0.0)=1③G盤ノ(X，y)=0④,廳/(e°

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正確的個數是

(A)4(B)3(C)2(D)1

【答案】(B)

講［/(x,0)-/(0,0)x-0

【解析】ー-Um-------------=lim----

み1(，)メ)x-0

ヨ磔ヨ、ー1

I=所及〃丿)研。,。)=lim忒。づ),

dxdyI(叫y-0ビ。y

而亞v/(%y)-/(0,y)rxy-yrx-i

不存在,所以②錯誤;

dx(0,y)7x-0x->0xスー。X

忖-q=k3,卜ー〇|=卜|,“ー。=帆從而(％、)->(0,0)時,(/%)/(るヅ"。,

③正確。

”ヽ［〇,孫?0或》=0..，,ヽ..かモ彘

limf^x,y)=\,從而hmhm/(x,y)=0,④正確

Xf。［y,X=0.wOxー。

(6)設函數/(x)在區間［-2,2l上可導,且，'⑴〉ハス)〉〇廁

2

(A)91>1⑻」皿〉e(C)上"<e(D)

(A)>1>e

/(-D/(-Dハー1)號,

【答案】(B)

/U)/'(幻ざー/(幻デ/'W-/W

【解析】構造輔助函數ド(x)=,由ド'(x)-------------由題

ゼ

小).度。)/(-I)

意可知,F'(x)>0,從而ド(x)=____單調遞增.故ド(〇)〉ド(—1),也即____>______

グee

又有/(x)〉0,從而ゴ生〉e.故選(B).

⑺設4階矩陣A=(他)不可逆,42的代數余子式ん?0,%。2,。3,。4為矩陣A的列向

量組,A?為A的伴隨矩陣,則A*x=O的通解為()

(A)x=k}a］+k2a2+k3a3,其中た］,k2,ム為任意常數

(B)x=k}a}+k2a2-^-k3a4,其中ス1,ん2，ム為任意常數

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(C)X=た0+た2a3+た3aI，其中ム,た2，た3為任意常數

(D)，=ム％+ム生+%區,其中ム,た2，た3為任意常數

【答案】(C)

【解析】由于A不可逆,故/?(AR心,「〇.由ムH0nr(A”1,r(A)>4-l=3,

則7"(A)=3,r(A*)=l,故A-x=O的基礎解系中有4-1=3個無關解向量。

此外,A*A=|AE=O,則A的列向量為A*x=O的解。則由AwO,可知a,a,e線性

12134

無關(向量組無關，則其延伸組無關)，故A*x=O的通解為x=Za+んa+ka,即選

項(C)正確。

(8)設A為3階矩陣,名,心為A的屬于特征值1的線性無關的特征向量,生為A的屬

Iハ0〇］

于特征值ー1的特征向量,則pTAP」O-10的可逆矩陣「為()

、〇〇1ノ

(A)(?(+a3,a2,-a3)(B)+a2,a2,-ai)

(C)(。|+。3，ー。3,。2)(D)(%+。2，一03，?2)

【答案】(D)

,(10〇、

【解析】設P=(〃,/,〃),若小メ尸」0?10［則〃,タ應為A的屬于特征值1

〔。01丿

的線性無關的特征向量，え應為A的屬于特征值-1的線性無關的特征向量。

這里根據題設,四,為A的屬于特征值為1的線性無關的特征向量，則%+4也為

A的屬于特征值為1的線性無關的特征向量。又因。コ為厶的屬于ー1的特征向量,則ー火也

為A的屬于特征值ー1的特征向量。且

fl〇〇)fl00)

(?+?,-a,a)=(a,a,a)101し由于‘101’可逆，

1232I23I,l||l>1

V一1〇ノI(°-!。丿1

故ア(/+%，―%，％)=パ図,%，/)=3,即図+-線性無關

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（100ゝ

綜上,若P=(/?,/?,^)=(cr+a-a,a)則產ース「=1〇?10.

、001ノ

因此選項(D)正確。

二、填空題:974小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.

【答案】ーg

d2y

d2xt-

（10）￡!チy［バ+lkr=

2/Lヽ

【答案】~（272-1）

【解析】交換積分次序,原式

3

=j?。可。の^'=]x2\lx+\dx

0

=1f，/W(?+l)=i--(x3+l)211

3。33

(11)設z=arctan[xy+sin(x+y)],貝リdz

【答案】（"—1）厶ーか

dzy+cos(尤+y)dzx+cos(x+y)

【解析】—

fix1+[xy+sin(x+か1+「ヤ+sin(x+y)]j

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dzdz

將(0,た)帶入得一=アー1,—=一1

dxdy

因此dzレ)")=(TT)ムーの'

(12)斜邊長為2a的等腰直角三角形平板,鉛直的沉沒在水中,且斜邊與水面相齊,記重力

加速度為g，水的密度為タ,則該平板ー側所受的水壓カ為

【答案】3

3

【解析】以水面向右為x軸,以垂直于三角板斜邊向上為y軸建立直角坐標系,則此時,

三角板右斜邊所在的直線方程為y=xー。,取微元か,則此時

dF=-y2xpgdy=-2ggy(y+a)dy,

則ー側的壓カド=.-2pgy(y+a)dy^pg(-y3-ay)=pga3.

0.h-

J-acL"3

(13)設ぎ=ッピ)滿足ジ+2y,+y=0,且べ)=0,.(0)=1,則y^x^dx-

【答案】1

【解析】由方程可得特征方程為萬+2/1+1=0,則特征方程的根為ス=-1,2=—1,

則微分方程的通解為y=ce~x+cxe~x?由y(0)=0,y(〇)二1可得c=0,c=1,則

212

+00_

xIJ

y(x)=xe->f0y(x)dx=joxedx=\

a0-11

,ー〇a1-1_

(14)行列式

-1ia0

1-10a

【答案】ゴー4a2

【解析】

a0-11a1Oi|0a0

〇。1—1a。ー-11a

11ハニa1

-11a0_1)。1-1a

1—10。

_3rイCa

一一a--2a=-a(2。ーが)-2a~

a2a-11

4イ2

=。ー4。

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三、解答題:15—23小題,共94分.請將解答寫在答擊紙指定位置上.解答應寫出文字說明

、證明過程或演算步驟.

（15）（本題滿分10分）

求曲線y=------(x>0)的斜漸近線

(1+。

【答案】y=Lx+±

e2e

yx'11

【解析】由え=lim—=lim-----=lim------二一

-x5q1+ザ.「例(Il)xe

x

b=hm(y-_)=lim(_____x)=\imx(e_-=e-'limx(el+x-1)

xxi+x

x->+<?e*-?+℃(1+x)ex-8e.9+8

▽]]n-__+/\1

=e~llimx{xIn+1)_=tdim1+ナ洛e"lim二_.

xfm1+xx—o+r-/TO+2(1+り2e

故斜漸近線方程為:y^lx+_1.

e2e

(16)(本題滿分10分)

已知函數/（イ）連續且1加-^旬=1,8（%）=,〃"）力,求8'（工）并證明8’（ス）在ス=0

0

處連續.

x=0

【答案】g（x）えw0

【解析】因為limと回=1,并且/(め連續,可得ア(〇)=〇,尸(0)=1.

?1°X

g(x)=j/Yスハカボ=〃=Lj當え=0時,g(0)=0.故

0

0X

/ヽI?x=°

g(x)=く1X,

I—ff(u}dux^O

又

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『f(u)du-0

g(0)=lim?エ回

-=lim工

…〇x-Q川x-0

linJof(u)duれ外導數定義1

=圓2x2

X

[1

x=0

則g(x)=《/(x)u)du九マ〇，又因為

x

limg(x)=lim"x)_1

f(u)du

2

.rrO就的)JoJ

imf(u)du

——T

i4=L=g(。)

所以g'(x)在x=0處連續

(17)(本題滿分10分)

求./'(x，y)=ピ+8ザー町極值

【答案】ん小(/一,—1ヽ)=ー丄1

J612216

1

x=

【解析】令/，(x,y)=3xテ＞=。得〈［尤=賊〈|夕

ソ(須＞)=24ザー元=01v=0\

產——

12

A￡(0,0)=。

當駐點為(0,0)時,＜Bな〇,0)=7,則AC—庁＜0,故(0,0)不是極值點.

〇&(0,0)=。

Aリ(，)=1

11,11

當駐點為(，)時,冊產)=—1,則AC—8->0,A=l>。,故(，)為極

6n612612

ッ/[2)=4

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小值點./(J2_)=ー丄為極小值.

612216

21f+2x

(18)設函數/(x)的定義域為(0,+00)且滿足2/(x)+x/(_)=.求f(x),并求

曲線ぎ=/(イ),y=L,y=式及y軸所圍圖形繞ス軸旋轉所成旋轉體的體積.

-22

【答案】/(%)=.二

A/1+X26

f21デ+2%

|2/(x)+</(2=

XJ1+?

得/

【解析】'111+2(x)=-^^

2/G)+—=_

[xx2V1+x2

事于2~sinリcos2t

ヽ!7iyxdy=pIKAdyy=s\x\t[^27i------costdt=2n-----------dt

J2J2Jl—ブ-------6cos/92

/1?米経

兀(t——sinty=一

26

(19)(本題滿分10分)

..Jj?+)’メノ

平面D由直線x=1,九=2,y=x與x軸圍成,計算,匚J一小紘V

【答案】;逝+2ln(0+l)

【解析】

I!」尸+ドdxdy=j4二___rdr-14--------_?3sec2OdO

D-“X0sec?rcos(9Ocos。2

33n3

=_^4secy0d0=psec6dtan6=34+_Jn(g+l)

(20)(本題滿分11分)

設函數〃x)=Jドん

⑴證明:存在Jn1,2)J(り=(2ーわ/

(II)證明:存在ワ€(1,2)ノ⑵=ln2?なザ

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【解析】⑴

法1:令ド(x)=(?2)“r)=(x-2)J：e/カ.

由題意可知,F(2)=F(l)=0,且ド(x)可導,由羅爾中值定理知,ヨぜ￠(1,2),使

ド’0=0,又ド'(x)=fざホ+(x—2)ゼ,即/(J)=(2—J)み.得證.

法2:令ド(x)=/(り+(x_2)〃，則ド⑴=_e<0,ド⑵=j一處0,由零點定理知,

存在］€(1,2),使得?(4)=0,即/q)=(2ーりビ.

(II)令g(x)=Inx,則g'(x)=!ヰ0.

X

由柯西中值定理知，存在ワ￡(1,2),使得但二皿一」と，

g⑵-g(l)-gs)

即/⑵=/,故/(2)=ln2."e"-.

In21

ク

(21)(本題滿分11分)

設函數/(x)可導，且，'(x)〉0,曲線y=/(x)(光20)經過坐標原點,其上任意一點M

處的切線與x軸交于T,又MP垂直x軸于點尸,已知曲線y=/(x),直線MP以及軸圍

成圖形的面積與八M7P面積比恒為為3:2,求滿足上述條件的曲線方程。

【答案】yuCr^C〉。)

【解析】設切點加(x,y),則過M點的切線方程為Y—y=y(X—x).

y

令y=o,則x=x—-,故T

曲線ッ=/(x),直線MP以及イ軸圍成圖形的面積ヨ(リホ,

\MTP的面積S=（

2—yx~x

2

因s'3,則Joリ（リガ=3,即リ。）力=3ザ,①

§25爐214

y

2y

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方程①兩邊同時求導,得:y=32y（y）~y2y,整理得,3yy=2（yV,②

4レI??トノ

令y'=p,則y"=p攵,代入②,得3yp—=2P）,解得p=qンイ,即2=弓,3

dydydx

從而解得3ザン。科+。2.

因曲線過原點,即/（0）=0,則G=o,故y=或.

又因為/'（x）〉0,所以y=/（切單調遞增,所以C〉〇

即曲線為y=C/（C〉〇）

（22）（本題滿分11分）

設二次型/（x,x,x）=x2+x2+x2+2axx+2axx+2oxス經過可逆線性變換

（必、

X=Py化為二次型g（y,y,y）=y2+y2+4y2+2yy.

⑴求a的值:

（II）求可逆矩陣P.

112f|

【答案】（1）a=-；（2）P=「〇11

2而

010

K丿

\[1aa]

【解析】（I）根據題設,,x）=X「AX,A=『1一,二次型/（x,x,x）經

aa1

可逆變換得到g（必,%，見），故它們的正負慣性指數相同。由于

g（y丿,y）=—+C+4y2+2yy=（y+y>+4y2

123123I2I23

的正負慣性指數分別為〃=2,夕=0,故/（馬,ち,ち）的也分別為〃=2,q=0.

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故矩陣A有特征值為〇,即=-2或1。

當。=1時,f(x,x,x)=x2+x2+x2+2xx+2xx+2xx=(x+x+x)2,其正負慣

123123121323I23

性指數分別為"=1,4=0,與題設矛盾,故a=l舍。因此a=二1符合題意。

2

（2）當。=ー1時，

2

f(x,x,x)=x2+x2+x2-xx-xx-xx

123123121323