3.2二倍角的正、余弦和正切3.3半角的三角函數一.教學目標：1.知識與技能（1）能夠由和角公式而導出倍角公式；（2）能較熟練地運用公式進行化簡、求值、證明，增強學生靈活運用數學知識和邏輯推理能力；（3）能推導和理解半角公式；（4）揭示知識背景，引發學生學習興趣，激發學生分析、探求的學習態度，強化學生的參與意識.并培養學生綜合分析能力.2.過程與方法讓學生自己由和角公式而導出倍角公式和半角公式，領會從一般化歸為特殊的數學思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發學生學數學的興趣；通過例題講解，總結方法.通過做練習,鞏固所學知識.3.情感態度價值觀通過本節的學習，使同學們對三角函數各個公式之間有一個全新的認識；理解掌握三角函數各個公式的各種變形，增強學生靈活運用數學知識、邏輯推理能力和綜合分析能力.提高逆用思維的能力.二.教學重、難點重點:倍角公式的應用.難點:公式的推導.三.學法與教學用具學法：(1)自主+探究性學習：讓學生自己由和角公式導出倍角公式，領會從一般化歸為特殊的數學思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發學生學數學的興趣。(2)反饋練習法：以練習來檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內容及其存在的差距.教學用具:電腦、投影機.四.教學設想【探究新知】1、復習兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：2、提出問題：公式中如果，公式會變得如何？3、讓學生板演得下述二倍角公式：[展示投影]這組公式有何特點？應注意些什么？注意：1．每個公式的特點，囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：是的倍角.2．熟悉“倍角”與“二次”的關系（升角——降次，降角——升次）3．特別注意公式的三角表達形式，且要善于變形：這兩個形式今后常用.[展示投影]例題講評（學生先做，學生講，教師提示或適當補充）例1.（公式鞏固性練習）求值：①．sin2230’cos2230’=②．③．④．例2.化簡①．②．③．④．例3、已知，求sin2，cos2，tan2的值。解：∵∴∴sin2=2sincos=cos2=tan2=[展示投影]思考：你能否有辦法用sin、cos和tan表示多倍角的正弦、余弦和正切函數？你的思路、方法和步驟是什么？試用sin、cos和tan分別表示sin3，cos3，tan3.[展示投影]例題講評（學生先做，學生講，教師提示或適當補充）例4.cos20cos40cos80=例5.求函數的值域.解：————降次[展示投影]學生練習：教材P140練習第1、2、3題[展示投影]思考（學生思考，學生做，教師適當提示）你能夠證明：證：1在中，以代2，代即得：∴2在中，以代2，代即得：∴3以上結果相除得：[展示投影]這組公式有何特點？應注意些什么？注意：1左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方。2公式的“本質”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切3上述公式稱之謂半角公式（課標規定這套公式不必記憶）4還有一個有用的公式：（課后自己證）[展示投影]例題講評（學生先做，學生講，教師提示或適當補充）例6.已知cos，求的值.例7.求cos的值.例8.已知sin，，求的值.[展示投影]練習教材P145練習第1、2、3題.[學習小結]1．公式的特點要囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：是的倍角.2．熟悉“倍角”與“二次”的關系（升角——降次，降角——升次）.3．特別注意公式的三角表達形式，且要善于變形：這兩個形式今后常用.4.半角公式左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方；公式的“本質”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.5．注意公式的結構，尤其是符號.五、評價設計1．作業：習題3.2A組第1、2、3、4題．2.作業：習題3.3A組第1、2、3、4題．六、課后反思：學情分析本課是簡單的三角恒等變換的課，它位于三角函數與數學變換的結合點上，能較好反映三角函數及變換之間的內在聯系和相互轉化，本節課內容的地位體現在它的基礎性上，作用體現在它的工具性上.前面學生已經掌握了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通過這些公式進行求值、化簡、證明，雖然學生已經具備了一定的推理、運算能力，但在數學的應用意識與應用能力方面尚需進一步培養

本節教材主要是學習對已有的十一個公式進行簡單的恒等變換，以及三角恒等變換在數學中的應用.教學中讓學生通過例題的解答，引導學生對變換對象和變換目標進行對比、分析，促使學生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據問題的條件進行公式變形，以及變換過程中體現的換元、逆向使用公式等數學思想方法的認識，從而加深理解變換思想，提高學生理解能力.本節課的重點生動形象的展示在學生眼前，極大的提高了學生學習數學知識的興趣。推到半角公式是本節課的重點與難點。教學中充分考慮學生已有的知識儲備情況以及學生的接受能力，結合具體的教學內容，充分挖掘教材，在知識的傳授上層層遞進。實施教學過程中充分利用多媒體的有效手段，幫助學生了解正弦函數的作圖原理。本節課充分體現了學生為主體的地位，老師適當點撥，通過習題的逐漸深入，學生的理解逐漸加深，能力逐漸提高。課堂上，學生積極參與，課堂氣氛活躍，效果良好。一.教學目標：1.知識與技能（1）能夠由和角公式而導出倍角公式；（2）能較熟練地運用公式進行化簡、求值、證明，增強學生靈活運用數學知識和邏輯推理能力；（3）能推導和理解半角公式；（4）揭示知識背景，引發學生學習興趣，激發學生分析、探求的學習態度，強化學生的參與意識.并培養學生綜合分析能力.2.過程與方法讓學生自己由和角公式而導出倍角公式和半角公式，領會從一般化歸為特殊的數學思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發學生學數學的興趣；通過例題講解，總結方法.通過做練習,鞏固所學知識.3.情感態度價值觀通過本節的學習，使同學們對三角函數各個公式之間有一個全新的認識；理解掌握三角函數各個公式的各種變形，增強學生靈活運用數學知識、邏輯推理能力和綜合分析能力.提高逆用思維的能力.二.教學重、難點重點:倍角公式的應用.難點:公式的推導.1、已知α是第三象限的角，sin4α+cos4α=,求sni2α,cos2α,tg2α的值解：∵(2k+1)π＜α＜2kπ+(k∈z)∴4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π(k∈z)又∵sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α∴1-sin22α=∴sin22α=∴sin2α=∴cos2α=∴tg2α=2、求sin10°sin50°sin70°的值解：sin10°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=cos40°cos80°=cos80°==3、求函數y=cos4x-sin4x的最小正周期解：y=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x∴周期T=π4、求值①已知sin-cos=-,450°＜θ＜540°求tg的值②已知7cos2α+5sin2α=5求tgα的值③已知=求cosθ的值④已知=-5求3cos2θ+4sin2θ的值解①：∵sin-cos=-兩邊平方∴1-2sincos=∴sinθ=∵450°＜θ＜540°∴cosθ=-=-∴tg==又112.5°＜＜135°∴tg==又tg＜0∴tg=②由萬能公式及已知有7×+5×=5即7-7tg2α+10tgα=5+5tg2α即6tg2α-5tgα-1=0∴tgα=-或1③ctg=====(等比定理)∴tg=2∴cosθ==-④解由萬能公式：3cos2θ+4sin2θ=+又==-5∴tgθ=2∴3cos2θ+sin2θ==5、若tg2α=2tg2β+1求證cos2α+sin2β=0證明：∵tg2α=2tg2β+1∴1+tg2α=2(1+tg2β)∴sec2α=2sec2β∴=∴cos2β=2cos2α∴1-cos2β=1-2cos2α∴sin2β=-cos2α∴cos2α+sin2β=0[自我檢測]1、如果函數y=sinωxcosωx的最小正周期是4π,那么正實數ω的值等于（）A、4B、2C、D、2、的值是（）A、sin2B、-cos2C、cos2D、-cos23、已知sin=cos=-則角α在第（）象限A、一B、二C、三D、四4、若＜α＜2π則等于（）A、cosB、-sinC、-cosD、sin5、化簡得（）A、tg2αB、ctg2αC、tgαD、ctgα6、如果|cosθ|=,＜θ＜3π，則sin的值（）A、-B、C、-D、7、X∈[，π]且sinxcosx=-，則tg等于（）A、1+B、-1C、1±D、-18、化簡得（）A、ctgB、ctg(-)C、tgD、tg(-)9、已知2sinθ=1+cosθ則ctg的值為（）A、2B、C、或0D、2或010、已知sin(θ-)=則等于（）A、B、±C、D、±[參考答案]1、D2、D3、C4、C5、B6、C7、A8、B9、D10、B§倍角與半角公式主題1：倍角公式1.二倍角公式：(1)(2)(3)2.三倍角公式：(1)(2)(3)(4)(5)※※【函數值的正負由所在象限與函數定義判別之】※轉換公式：(1)，(2)，(3)。(4)；

※重要范例1.設，sin，則(1)sin2。(2)cos2。【解答】(1)(2)【詳解】，sincos

(1)sin22sincos2．．()

(2)cos212sin212．()22.設，sincos，則(1)sin2。(2)sincos。【解答】(1)(2)【詳解】(1)sincos

sin22sincoscos21sin2sin2

(2)(sincos)2sin22sincoscos21()sincos

∵2∴sincos故sincos3.設sincos，0，則(1)sin2。(2)cos。【解答】(1)(2)【詳解】(1)由sincossin22sincoscos2

∴1sin2sin2

(2)∵cos或

又0且sincos∴sin0，cos0，故cos隨堂練習.若2且sincos，則cos。【解答】【詳解】因為2，所以sin0，cos0

將sincos平方，得12sincos∴2sincos

其次，因為(sincos)212sincos1∴sincos（取負號）

將sincos及sincos兩式相減，得2cos∴cos4.設tan3，則sin2。【解答】【詳解】∵tan3∴sin，cos

sin22sincos2．．()隨堂練習.設tant，以t表出：(1)tan。(2)sin2。【解答】(1)(2)【詳解】(1)tan

(2)sin25.設0x2，cos2x5cosx30之解為。【解答】【詳解】cos2x5cosx302cos2x15cosx30

2cos2x5cosx20cosx或2（不合）

∴x6.設sin，cos為方程式x2pxq0的二根，試以p，q表2cos2(cossin)2。【解答】1pq【詳解】∵sin，cos為x2pxq0的二根∴sincosp，sin．cosq

故2cos2(cossin)2(1cos)(cos22sincossin2)

(1cos)(1sin)1(sincos)sincos1(p)q1pq7.求下列各值：(1)cos2。

(2)cos20cos40cos80。【解答】(1)2?(2)【詳解】(1)原式

4(coscoscoscos)2

(2)cos20cos40cos80

隨堂練習.coscoscos之值為。【解答】【詳解】

coscoscos

8.在△ABC中，若，試判斷此三角形的形狀。【解答】等腰或直角三角形【詳解】sin2AcosCcosAsinB∴2sinAcosAcosCcosAsin(π(AC))

∴2sinAcosAcosCcosAsin(AC)∴cosA[2sinAcosC(sinAcosCcosAsinC)]0

∴cosA(sinAcosCcosAsinC)0∴cosAsin(AC)0

故當cosA0，則A90；而當sin(AC)0，則AC，故為等腰或直角三角形9.試求tan9tan27tan63tan81之值。【解答】4【詳解】tan9tan27tan63tan81(tan9tan81)(tan27tan63)

(tan9cot9)(tan27cot27)()()

410.試證：tan()tan()2sec2。【證明】tan()tan()

2sec211.利用cos34cos33cos，證明：sin18。【證明】令18∴5903902

∴cos3cos(902)4cos33cossin22sincos

4cos232sin4(1sin2)32sin

4sin22sin10sin

但sin0∴sin

12.證明：sin10為無理數。【證明】(1)由3(10)30sin3(10)sin303sin104sin310

8sin3106sin1010∴sin10為f(x)8x36x10的根

(2)而0sin10sin30

利用有理根檢查定理，f(x)0在區間(0，)的可能有理根為，

但f()0，f()0∴f(x)0在0x中沒有有理根

(3)由(1)(2)知，sin10為f(x)0的無理根，故sin10是無理數.隨堂練習.試證cos40為無理數。【證明】1令403120∴cos3cos1204cos33cos

∴8cos36cos10，故cos40為8x36x10之一根

2考慮8x36x10的有理根，設為，a，b互質，則a|8，b|1

∴之可能值為1，，，

經代入方程式8x36x10均不能滿足∴8x36x10沒有有理根

但cos40為8x36x10之根，故cos40為無理數13.(1)試證：sinsin(60)sin(60)sin3。

(2)利用(1)的結果，求sin20sin40sin80的值。【解答】(1)略(2)【詳解】

(1)sinsin(60)sin(60)sin(sin60coscos60sin)(sin60coscos60sin)

sin(cossin)(cossin)sin(cos2sin2)

(3sincos2sin3)[3sin(1sin2)sin3](3sin4sin3)sin3

(2)利用(1)

sin20sin40sin80sin20sin(6020)sin(6020)

sin(3．20)sin60．

14.設f(x)4x33x3，求f(x)除以xsin20之余式。【解答】3【詳解】f(sin20)4sin3203sin203

(3sin204sin320)3sin6033隨堂練習.多項式f(x)4x33x5除以xsin20的余式為。【解答】5【詳解】∵f(x)除以xc的余式為f(c)∴f(x)除以xsin20的余式為

f(sin20)4sin3203sin2055(3sin204sin320)5sin(320)5隨堂練習.以xcos40除f(x)3x4x3之余式為。【解答】【詳解】由余式定理以xcos40除f(x)3x4x3的余式為f(cos40)

f(cos40)3cos404cos340(4cos3403cos40)

cos(340)cos120()15.函數f(x)cos22x2sin2x，xR。(1)f(x)的最小值為。(2)f(x)的最大值為。【解答】(1)(2)3【詳解】f(x)cos22x2sin2x(12sin2x)22sin2x4sin4x2sin2x14(sin2x)2∵1sinx1∴0sin2x1

故(1)sin2x時，f(x)為最小值(2)sin2x1時，f(x)3為最大值隨堂練習.設0x2π，求函數f(x)sin22x3cos2x的最小值，并求此時的x值。【解答】3；x0，π，2π【詳解】f(x)sin22x3cos2x(1cos22x)(1cos2x)

cos22xcos2x(cos2x)2

因為0x2π，故得1cos2x1，因此當cos2x1時，f(x)有最小值3

此時2x0，2π，4π，亦即x0，π，2π

16.函數f(t)sin22t3cos2t在0t2的范圍內，其最大值為。【解答】【詳解】f(t)(1cos22t)3．(cos2t)2

cos2t時，f(t)為最大值，故f(t)之最大值為隨堂練習.設xR，f(x)2sinxcosxsin2x。(1)令tsinxcosx，請以t表示f(x)。(2)求f(x)之最小值為。【解答】(1)t2t3?(2)1【詳解】f(x)sinxcosxsin2x2

(1)令tsinxcosx，則t212sinxcosx1sin2xsin2xt21且

∴f(x)t(t21)2t2t3，

(2)f(x)t2t3(t2t)(t)2

當t時，f(x)()21為最小值隨堂練習.設f()sinsin3，為任意實數，求f()之：(1)最大值。(2)最小值。【解答】(1)?(2)1【詳解】f()sinsin3sin(3sin4sin3)4sin43sin24(sin4sin2)

4(sin2)24．4(sin2)2

∵∴0，令sin2t

則yf()4(t)2

當t時，y有Max，當t1時，y有min1

17.設，求sin4xcos4x的最大值與最小值。【解答】最大值；最小值【詳解】(1)sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x

1(2sinxcosx)21sin22x11(1cos4x)cos4x

(2)1cos4x

∴最大值，最小值隨堂練習.求8(cos4sin4)在[，]區間上的最大值M與最小值m。【解答】7；4【詳解】18(cos4sin4)8[(cos2sin2)22sin2cos2]8(1sin22)

22

sin2時，M8[1()2]7最大，sin21時，m8(1．1)4最小18.設xR，f(x)之最大值為。【解答】【詳解】令ttan，則sinx，cosx

yf(x)，y(2y3)t22yt(2y1)0，tR

判別式D4y24(4y24y3)0

3y24y30y

∴最大值為隨堂練習.設f：R→R定義為f(x)，試求f(x)的最大值與最小值。【解答】最大值為，最小值為【詳解】∵sinx，cosx，令tant，則sinx，cosx，tR

∴f(x)

令y，則2y2yt2yt23t2(2y1)t22yt(2y3)0

∵tR∴(2y)24(2y1)(2y3)0

y2(2y1)(2y3)0y24y28y30

3y28y303(y)(y)0

∴y，故y的最大值為，最小值為19.設sincos1，coscos0，則cos2cos2，sin4cos4。【解答】2；1【詳解】∵

22得sin2cos212coscos2cos2

112cos2cos22cos(cos1)0

∴cos0或cos1

(1)若cos0，則sin1，cos0

∴cos2cos2(2cos21)(2cos21)(01)(01)2

sin4cos4101

(2)若cos1，則sin0，cos1

∴cos2cos2(2cos21)(2cos21)

2(1)212．12121212

sin4cos4011

隨堂練習.設sinsin1，coscos0，則sin2sin2。【解答】0【詳解】

112sinsin2cos2sin

∴sinsin且

sin2sin22sincos2sincos2．0隨堂練習.設sinxsiny1，cosxcosy0，求cos2xcos2y之值。【解答】1【詳解】由已知可得

將22，得sin2ycos2y(12sinxsin2x)cos2x∴sinx，代入得siny

故cos2xcos2y(12sin2x)(12sin2y)(1)(1)120.某人由平面上一點A測得正東方一塔仰角為，由A向塔底前進100公尺至B點測得塔頂之仰角為2，再前進40公尺至點C測得塔頂之仰角為3，試求塔高。【解答】25公尺【詳解】如圖，∠DAE，∠DBE2，∠DCE3，故得

∠AEB∠BEC，所以100，而∠BCEπ3

在△BCE中，由正弦定理得2sin35sin

∴2(3sin4sin3)5sin∴sin(8sin21)0

∵sin0∴8sin21∴sin，cos

故塔高h100sin2200sincos200．．25公尺

21.△ABC的三邊長為三個連續整數，且最大角為最小角的二倍，求此△ABC的三邊長。【解答】4，5，6【詳解】設三邊長為x，x1，x2，三內角為，1803，2

(1)由正弦定理：∵sin0cos

(2)再由正弦定理：

34sin2

(3)由(1)(2)得34(1cos2)14()2

x23x40x4或x1（不合）

(4)∴三邊長為4，5，6

主題2：半角公式1.注：正負號是由，，本身之正負決定之。2.3.；另※

※重要范例1.設sin，π，則sin。【解答】【詳解】∵sin，π∴cos

∵π∴sin0且sin

sin2.設sin且，則(A)cos(B)tan2(C)cos3(D)sin(E)cos。【解答】(A)(B)(C)【詳解】(A)cos(B)tan2

(C)cos34cos33cos(D)

∴3.設，tan，則(1)tan2。(2)tan。【解答】(1)(2)2【詳解】(1)tan2

(2)∵且tan∴sin，cos∴tan2隨堂練習.5sin12cos0，2，求(1)tan2。(2)cos。【解答】(1)?(2)【詳解】(1)5sin