非線性方程求根的迭代法第一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二

本章重點介紹求解非線性方程的幾種常見和有效的數值方法.無論在理論上,還是在實際應用中,這些數值解法都是對經典的解析方法的突破性開拓和補充,許多問題的求解,在解析方法無能為力時,數值方法則可以借助于計算機出色完成.第二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二f(x)=0某個區間上可能有奇數重根或者有偶數重根，都可以轉換為討論單根的情形（具體數學細節不多加解釋）。所以此節我們考察單根情形。第三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二4.1二分法求非線性方程

確定方程的有根區間計算根的近似值的根的方法分為兩步：第四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二首先確定有限區間：依據零點定理。設，且，則方程在區間上至少有一個根。如果在上恒正或恒負，則此根唯一。第五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二等步長掃描法求有根區間

用計算機求有根區間：等步長掃描法。設h>0是給定的步長，取，若則掃描成功；否則令，繼續上述方法，直到成功。如果則掃描失敗。再將h縮小，繼續以上步驟。第六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二等步長掃描算法（了解）算法：（求方程的有根區間）(1)輸入；(2)；(3)，若輸出失敗信息，停機。(4)若。輸出，已算出方程的一個根，停機。第七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二等步長掃描算法(5)若。輸出為有根區間，停機(6)，轉3）注：如果對足夠小的步長h掃描失敗。說明：在內無根在內有偶重根第八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二Qustion:有沒有更直觀的方法呢？第九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二二分法

用二分法(將區間對平分)求解。令若，則為有根區間，否則為有根區間記新的有根區間為，則且第十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二二分法對重復上述做法得且

第十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二二分法設所求的根為，則即取為的近似解

第十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二二分法特點：（1）條件簡單，只需要滿足連續性即可。（2）收斂速度慢，精度要求比較高時，時間花費比較大。第十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二例題例1設方程

第十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二4.2基本迭代法

迭代法及收斂性對于有時可以寫成形式如：第十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二迭代法及收斂性考察方程。不能直接求出它的根，但如果給出根的某個猜測值，代入中的右端得到，再以為一個猜測值，代入的右端得反復迭代得第十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二迭代法及收斂性若收斂，即則得是的一個根第十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二基本迭代法

上述方法稱為基本迭代法將變為另一種等價形式。選取的某一近似值，則按遞推關系產生的迭代序列。這種方法算為簡單迭代法。第十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二

若收斂，即稱迭代法收斂，否則稱迭代法發散第十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二迭代法的幾何意義交點的橫坐標y=x第二十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二例題例試用迭代法求方程在區間(1，2)內的實根。解：由建立迭代關系

k=10,1,2,3…….計算結果如下:第二十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二第二十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二例題精確到小數點后五位第二十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二例題但如果由建立迭代公式仍取，則有，顯然結果越來越大，是發散序列第二十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二下面考慮如下兩個問題：

什么時候收斂？收斂速度怎么刻畫？第二十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二迭代法的收斂性定理（壓縮映像原理）（了解）設迭代函數在閉區間上滿足（1）（2）滿足Lipschitz條件即有且。第二十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二壓縮映像原理則在上存在唯一解，且對，由產生的序列收斂于。

第二十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二關于壓縮映像，教材上有另外一種形式Th4.2.1則基本迭代格式收斂的充要條件是：第二十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二例題例證明函數在區間[1，2]上滿足迭代收斂條件。證明：第二十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二例題

第三十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二例題若取迭代函數，不滿足壓縮映像原理，故不能肯定收斂到方程的根。第三十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二簡單迭代收斂情況的幾何解釋第三十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二是否取到合適的初值，是否構造合適的迭代格式，對于是否收斂是關鍵的。對于初值，實際操作時，可以先畫出函數圖形，然后，觀察根大概在什么地方。對于迭代格式，可以對求導，看看是否小于1第三十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二

迭代法收斂的階定義設序列收斂到，若有實數和非零常數C，使得其中，，則稱該序列是p

階收斂的，第三十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二迭代法收斂的階當p=1時，稱為線性收斂；當p>1時，稱為超線性收斂；當p=2時，稱為平方收斂或二次收斂。第三十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二誤差估計若滿足定理條件，則

第三十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二下面定理給出判別迭代收斂階的一個方法第三十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二定理：記是的根，，設在附近連續，若對，有則基本迭代法是P階連續的。第三十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二基本迭代法的matlab實現function[k,piancha,xk]=diedai1(x0,k)%輸入的量--x0是初始值,k是迭代次數x(1)=x0;fori=1:kx(i+1)=fun1(x(i));%程序中調用的fun1.m為函數y=φ(x)piancha=abs(x(i+1)-x(i));i=i+1;xk=x(i);[(i-1)pianchaxk]endMatlab中與或非，分別是：&|~與或非第三十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二if(piancha>1)&(k>3)disp('請用戶注意：此迭代序列發散，請重新輸入新的迭代公式')return;endif(piancha<0.001)&(k>3)disp('祝賀您！此迭代序列收斂，且收斂速度較快')return;endp=[(i-1)pianchaxk]';第四十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二關于程序里面的fun1,可以如下類似定義functiony1=fun1(x)y1=(10-x^2)/2;第四十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二作業：

1.編程求方程在區間(1，2)內的實根。2.習題4.4（P104）

第四十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二4.3Newton迭代法設x*是方程f(x)=0的根，又x0

為x*附近的一個值，將f(x)在x0附近做泰勒展式令，則

第四十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二Newton迭代法

即以x1代替x0重復以上的過程，繼續下去得：第四十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二Newton迭代法

以此產生的序列{Xn}得到f(x)=0的近似解，稱為Newton法，又叫切線法。第四十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二Newton迭代法幾何解釋

幾何意義第四十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二例題例用Newton法求的近似解。解：由零點定理。第四十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二例題第四十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二例題例用Newton法計算。解：第四十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二Newton迭代法算法第五十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二Newton迭代法收斂性定理4.3.1給定方程，若滿足條件：（1）在根附近，f(x)二次連續可微。（2）則Newton迭代法是局部二階收斂的。（即初值取根附近的值時，是二階收斂的）第五十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二定理告訴我們：單根附近是二階收斂的第五十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二Newton法的matlab實現function[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;第五十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二Newton法的matlab實現fori=1:gxmaxx(i+1)=x(i)-fnq(x(i))/(dfnq(x(i))+eps);piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps);i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));[(i-1)xkykpianchaxdpiancha]if(abs(yk)<ftol)&((piancha<tol)|(xdpiancha<tol))k=i-1;xk=x(i);[(i-1)xkykpianchaxdpiancha]return;endend第五十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二Newton法的matlab實現

ifi>gxmaxdisp('請注意：迭代次數超過給定的最大值gxmax。')k=i-1;xk=x(i);[(i-1)xkykpianchaxdpiancha]return;end[(i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha]';第五十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二重根情形Newton迭代重根時僅有線性收斂速度，經修改后可以有二階收斂性。設重數為m.（1）m已知時，迭代公式修改為：第五十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二（2）m未知時，在根的附近有單根，對構造newton迭代公式：

第五十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二求重根的matlab實現（一）已知方程根的重數供名為newtonxz.m的M文件：function[k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=newtonxz(m,x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;fori=1:gxmaxx(i+1)=x(i)-m*fnq(x(i))/(dfnq(x(i))+eps);piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps);i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));[(i-1)pianchaxdpianchaxkyk];if((piancha<tol)|(xdpiancha<tol))&(abs(yk)<ftol)k=i-1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));[(i-1)pianchaxdpianchaxkyk];return;endendifi>gxmaxdisp('請注意：迭代次數超過給定的最大值gxmax.')k=i-1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));[(i-1)pianchaxdpianchaxkyk];return;end第五十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二求重根的matlab實現（二）未知方程根的重數function[k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=newtonxz1(x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;fori=1:gxmaxu(i)=fnq(x(i))/dfnq(x(i));du(i)=1-fnq(x(i))*ddfnq(x(i))/((dfnq(x(i)))^2+eps);x(i+1)=x(i)-u(i)/du(i);piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps);i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));if((piancha<tol)|(xdpiancha<tol))&(abs(yk)<ftol)k=i-1;xk=x(i);[(i-1)pianchaxdpianchaxkyk]return;endendifi>gxmaxdisp('請注意：迭代次數超過給定的最大值gxmax.')k=i-1;xk=x(i);yk=fnq(x(i));[(i-1)pianchaxdpianchaxkyk];return;end第五十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二例用牛頓切線法求方程在附近的近似根，要求精度.解

在MATLAB工作窗口輸入程序[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(-0.4,0.001,0.001,100)>>[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(-0.4,0.001,0.001,100)第六十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二functionk=fnq(x)k=2*x^3-3*x^2+1;%計算x處的函數值第六十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二functionk=dfnq(x)k=6*x^2-6*x;%計算x處的一階導數值第六十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期二作業1：

求，要求精度為.要求（1）寫出牛頓迭代格式，并分析其收斂速度（可仿照p97例4.3.1）（2）寫出matlab實現程序（寫清程序newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)中的各參數，另外自己寫程序fnq,dfnq)作業2習題4.5習題4.8