4.1

空間圖形基本關系的認識4.2

空間圖形的公理(一)

學習目標1.通過長方體這一常見的空間圖形，體會點、直線、平面之間的位置關系.2.會用符號表達點、線、面的位置關系.3.掌握空間圖形的三個公理及其推論.題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學思考1

知識點一空間圖形的基本位置關系12條棱中，棱與棱有幾種位置關系？答案答案

相交，平行，既不平行也不相交.對于長方體有12條棱和6個面.思考2

棱所在直線與面之間有幾種位置關系？答案答案棱在平面內，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交.思考3

六個面之間有哪幾種位置關系.答案答案

平行和相交.

位置關系圖形表示符號表示點與直線的位置關系點A在直線a外A?a點B在直線a上B∈a點與平面的位置關系點A在平面α內A∈α點B在平面α外B?α梳理直線與直線的位置關系平行a∥b相交______________異面a與b異面a∩b＝O直線與平面的位置關系線在面內

線面相交

線面平行

aαa∩α＝Aa∥α平面與平面的位置關系面面平行_________面面相交____________異面直線不同在_______________________的兩條直線，叫作異面直線α∥βα∩β＝a任何一個平面內知識點二空間圖形的公理思考1

照相機支架只有三個腳支撐說明什么？答案答案

不在同一直線上的三點確定一個平面.思考2

一把直尺兩端放在桌面上，直尺在桌面上嗎？答案答案直尺在桌面上.思考3

教室的墻面與地面有公共點，這些公共點有什么規律？答案答案

這些公共點在同一直線上.公理內容圖形符號作用公理1如果一條直線上的_______在一個平面內，那么這條直線上_____________都在這個平面內(即直線在_______內)________，________，且______，_______?用來證明直線在平面內梳理的點平面兩點(1)空間圖形的公理A∈αB∈αB∈l所有A∈l公理2過

的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α用來確定一個平面公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條________________________________

，

?α∩β＝l，且P∈l用來證明空間的點共線和線共點個點的公共直線不在一條直線上P∈β通過這P∈α(2)公理2的推論推論1：一條直線和直線外一點確定一個平面(圖①).推論2：兩條相交直線確定一個平面(圖②).推論3：兩條平行直線確定一個平面(圖③).題型探究例1

根據圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系.類型一文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化(1)點P與直線AB；解答解點P∈直線AB.(2)點C與直線AB；解答解點C?直線AB.(3)點M與平面AC；解點M∈平面AC.(4)點A1與平面AC；解點A1?平面AC.(5)直線AB與直線BC；解直線AB∩直線BC＝點B.(6)直線AB與平面AC；解答解(7)平面A1B與平面AC.解平面A1B∩平面AC＝直線AB.(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.(2)根據符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區別.反思與感悟跟蹤訓練1

用符號語言表示下列語句，并畫成圖形.(1)直線l經過平面α內兩點A，B；(2)直線l在平面α外，且過平面α內一點P；解答解A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，如圖.解l

α，P∈l，P∈α.如圖(3)直線l既在平面α內，又在平面β內；(4)直線l是平面α與β的交線，平面α內有一條直線m與l平行.解答解解命題角度1點線共面問題例2

類型二平面的基本性質的應用解答解因為PQ∥a，所以PQ與a確定一個平面β，解答引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內.解

已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：a，b，c和l共面.證明：如圖，∵a∥b，∴a與b確定一個平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.∵平面α與β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推論知：經過兩條相交直線有且只有一個平面，∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面.在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內.(2)重合法：先說明一些直線在一個平面內，另一些直線也在另一個平面內，再證明兩個平面重合.反思與感悟跟蹤訓練2已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內.證明證明方法一(納入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.∴直線l1，l2，l3在同一平面內.方法二(輔助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3確定一個平面β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內，又在平面β內.∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內.命題角度2點共線、線共點問題例3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點，F為AA1的中點.求證：CE、D1F，DA三線交于一點.證明證明如圖，連接EF，D1C，A1B.∵E為AB的中點，F為AA1的中點，∴E，F，D1，C四點共面，∴D1F與CE相交，設交點為P.∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點.又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根據公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一點.(1)點共線：證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上.(2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點.反思與感悟跟蹤訓練3已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線.證明證明

方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.∴由公理3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P、Q、R三點共線.方法二∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三點共線.當堂訓練1.用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外”，正確的是√答案23451解析

∵點A在直線l上，∴A∈l.∵l在平面α外，∴l

α.故選B.解析答案23451√B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α與β重合3.下列推理錯誤的是答案√23451解析

當l

α，A∈l時，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C錯.解析A.點A B.點BC.點C但不過點M D.點C和點M4.如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過23451解析

因為平面γ過A，B，C三點，M在直線AB上，所以γ與β的交線必通過點C和點M.解析答案√5.如圖，在△ABC中，若AB，BC在平面α內，判斷AC是否在平面α內.23451解答解AC在平面α內.因為AB在平面α內，所以A∈