第二節(jié)一階微分方程第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一一階微分方程的一般形式為F(x,y,y)=0.第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一一、可分離變量方程例如：形如y=f(x)g(y)的微分方程，稱為可分離變量方程.(1)分離變量將方程整理為使方程各邊都只含有一個變量.的形式，第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一(2)兩邊積分兩邊同時積分，得故方程通解為我們約定在微分方程這一章中不定積分式表示被積函數(shù)的一個原函數(shù)，而把積分所帶來的任意常數(shù)明確地寫上.第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例1求方程解

分離變量，得兩邊積分，得這就是所求方程的通解．第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例2求方程解

分離變量，得兩邊積分，得化簡得第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一另外，y=0也是方程的解，因此C2為任意常數(shù)．求解過程可簡化為：兩邊積分得即通解為其中C為任意常數(shù).中的

C2

可以為0，這樣，方程的通解是分離變量得第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

例3求方程dx+

xydy=y2dx+

ydy滿足初始條件y(0)=2的特解.解

將方程整理為分離變量，得兩邊積分，有第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一化簡，得即將初始條件y(0)=2代入，為所求之通解.得

C=3.故所求特解為第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例4解

分離變量得即第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一兩邊積分，得經(jīng)整理，得方程的通解為也可寫為第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一二、一階線性微分方程一階微分方程的下列形式稱為一階線性微分方程，簡稱一階線性方程.其中P(x)、Q(x)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).左邊的每項中僅含y或y，且均為y或y的一次項.①它的特點是：右邊是已知函數(shù)，第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一稱為一階線性齊次微分方程，簡稱線性齊次方程，0，則稱方程①為一階線性非齊次微分方程，簡稱線性非齊次方程.通常方程②稱為方程①所對應的線性齊次方程.②若Q(x)若Q(x)0，則方程成為第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一1.一階線性齊次方程的解法一階線性齊次方程是可分離變量方程.兩邊積分，得所以，方程的通解公式為分離變量，得第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例6

求方程

y

+(sinx)y=0的通解.

解

所給方程是一階線性齊次方程，且P(x)=sinx，由通解公式即可得到方程的通解為則第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一

例7求方程(y

-2xy)

dx

+

x2dy=0滿足初始條件y|x=1=e的特解.解

將所給方程化為如下形式：這是一個線性齊次方程，則由通解公式得該方程的通解將初始條件y(1)=e代入通解，得C=1.故所求特解為第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一2.一階線性非齊次方程的解法設y=C(x)y1

是非齊次方程的解，將y=C(x)y1

(其中y1是齊次方程y+

P(x)y=0的解)及其導數(shù)y=C(x)y1

+

C(x)y1代入方程則有即第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一因y1是對應的線性齊次方程的解，因此有其中y1與Q(x)均為已知函數(shù)，代入y=

C(x)y1中，得容易驗證，上式給出的函數(shù)滿足線性非齊次方程所以可以通過積分求得第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一且含有一個任意常數(shù)，所以它是一階線性非齊次方程的通解在運算過程中，我們?nèi)【€性齊次方程的一個解為于是，一階線性非齊次方程的通解公式，就可寫成：上述討論中所用的方法，是將常數(shù)C變?yōu)榇ê瘮?shù)

C(x)，再通過確定

C(x)而求得方程解的方法，稱為常數(shù)變易法.第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例8求方程2y

-

y=ex的通解.解法一使用常數(shù)變易法求解．將所給的方程改寫成下列形式：這是一個線性非齊次方程，它所對應的線性齊次方程的通解為將y及y代入該方程，得設所給線性非齊次方程的解為第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一于是，有因此，原方程的通解為解法二

運用通解公式求解．將所給的方程改寫成下列形式：第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一則代入通解公式，得原方程的通解為第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例9求解初值問題．解

使用常數(shù)變易法求解．將所給的方程改寫成下列形式：則與其對應的線性齊次方程的通解為第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一設所給線性非齊次方程的通解為于是，有將y及y代入該方程，得第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一因此，原方程的通解為將初始條件y(p)=1代入，得C=p，所以，所求的特解，即初值問題的解為第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例10求方程y2dx+(x-2xy

-

y2)dy