6-三角形全等【知識要點】1．兩個能夠重合的三角形叫做全等三角形，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．2．全等三角形的判定方法有（1）SAS；(2)ASA；(3)AAS；(4)SSS．（5）HL．3．兩個三角形的兩邊和一角對應相等，或兩個三角形的三個角對應相等，這兩個三角形不一定全等．【復習指導】1．應用全等三角形性質解決問題的前提是準確地確定全等三角形的對應邊和對應角，其規律主要有以下幾點：（1）以對應頂點為頂點的角是對應角；（2）對應頂點所對應的邊是對應邊；（3）公共邊（角）是對應邊（角）；（4）對頂角是對應角；（5）最大邊（角）是對應邊（角），最小邊（角）是對應邊（角）．全等三角形的對應邊和對應角可以依據字母的對應位置來確定，如若△ABC≌△DEF，說明A與D，B與E，C與F是對應點，則∠ABC與∠DEF是對應角，邊AC與邊DF是對應邊．2．判定兩個三角形全等的解題思路： 找夾角——SAS已知兩邊 找另一邊——SSS 邊為角的對邊——找任一角——AAS 找夾角的另一邊——SAS已知一邊一角 邊為角的鄰邊找夾邊的另一角——ASA 找邊的對角——AAS 找夾邊——ASA已知兩角 找任一邊——AAS3．運用三角形全等可以證明兩線段或兩角相等，在直接找不到兩個全等三角形時，可考慮添加輔助線構造全等三角形．【思想方法】1．轉化思想：應用全等三角形的知識解決測河寬、測池塘寬、測工件內徑等實際問題就是轉化思想的運用．2．運動變化思想：在研究三角形全等時，經常會出現三角形按照某種特定的規律變化，需要運用運動變化的思想進行解決．3．構造圖形法：在直接找不到兩個全等三角形時，常常通過平移、對稱、旋轉等圖形變換的方法構造全等三角形．4．分析綜合法：從已知條件出發探索解題途徑的方法叫綜合法；從結論出發不斷尋找使結論成立的條件與已知條件關系的方法叫分析法；兩頭湊的方法就是綜合運用分析綜合法去尋找證題的一種方法．【證明三角形全等】三角形全等是證明線段相等，角相等最基本、最常用的方法。（1）條件充足時直接應用在證明與線段或角相等的有關問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，而從近年的中考題來看，這類試題難度不大，證明兩個三角形的條件比較充分．只要同學們認真觀察圖形，結合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等．例1已知：如圖1，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，BD、CE交于點O，且AO平分∠BAC．那么圖中全等的三角形有___對．（2）條件不足，會增加條件用判別方法此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充使三角形全等的條件．解這類問題的基本思路是：執果索因，逆向思維，逐步分析，探索結論成立的條件，從而得出答案．例2如圖2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，還需添加的條件是（只需填一個）_____．（3）條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判別方法在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等．例3已知：如圖3，AB=AC，∠1=∠2．求證：AO平分∠BAC．（4）條件中沒有現成的全等三角形時，會通過構造全等三角形用判別方法有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作輔助線來構造全等三角形．例4已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF．求證：∠ADC=∠BDF．說明：常見的構造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構造出一對全等三角形；②涉及角平分線問題時，經過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得到一對全等三角形；③證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構造一對全等三角形．（5）會在實際問題中用全等三角形的判別方法新課標強調了數學的應用價值，注意培養同學們應用數學的意識，形成解決簡單實際問題的能力﹒在近年中考出現的與全等三角形有關的實際問題，體現了這一數學理念，應當引起同學們的重視．例5要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A，B兩點間的距離﹒請你用學過的數學知識按以下要求設計一測量方案﹒(1)畫出測量圖案﹒(2)寫出測量步驟（測量數據用字母表示）﹒圖5(3)計算A、B的距離（寫出求解或推理過程，結果用字母表示）﹒四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.五、旋轉例1正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數.例2D為等腰斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。當繞點D轉動時，求證DE=DF。若AB=2，求四邊形DECF的面積。【基礎練習】判斷題1.兩邊和其中一邊所對的角對應相等的兩個三角形不一定是全等三角形()2.有三個角對應相等的兩個三角形全等()單選題1.已知：如圖,∠BAC=∠EDF,∠C=∠F,要使△ABC≌△DEF,所缺條件是[]A.∠B=∠EB.∠1=∠2C.AC=DFD.∠C=∠F2.已知：如圖,AC=CD,∠B=∠E=90°,AC⊥CD,則不正確的結論是[]A.∠A與∠D互為余角B.∠A=∠2C.△ABC≌△CEDD.∠1=∠23.下列條件：①已知兩腰;②已知底邊和頂角;③已知頂角與底角;④已知底邊和底邊上的高,能確定一個等腰三角形的是[]A.①和②B.③和④C.②和④D.①和④填空題4.如圖,已知：∠1=∠2,∠3=∠4,要證BD=CD,需先證△AEB≌△AEC,根據是_________再證△BDE≌△______,根據是__________． 已知：如圖,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,則AD=___________．證明題6.已知：如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC．求證：△ABD≌△CDB7.如圖,已知:AD∥BC,AD=BC．求證:AB∥CD．8.如圖,已知:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求證:△ABC≌△DEF【綜合測試】DCDCAB1、如圖，△ABC≌△BAD，點A點B，點C和點D是對應點。如果AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4厘米，那么BC的長是（）。(A)4厘米(B)5厘米(C)6厘米(D)無法確定2、如圖，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，則∠MAC的度數等于（）A．120°B.70°C.60°D.50°.3.使兩個直角三角形全等的條件是（）Ａ.一銳角對應相等Ｂ.兩銳角對應相等Ｃ.一條邊對應相等Ｄ.兩條邊對應相等4.在△ＡBC和△AˊB′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，在下面判斷中錯誤的是（）BCDA.若添加條件AC=AˊCˊ，則△ABC≌△A′B′CBCDB.若添加條件BC=B′C′，則△ABC≌△A′B′C′C.若添加條件∠B=∠B′，則△ABC≌△A′B′C′D.若添加條件∠C=∠C′，則△ABC≌△A′B′C′5.某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事方法是（）A．帶①去B．帶②去C．帶③去D．①②③都帶去6．將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，為折痕，則的度數為（）A．60°B．75°C．90°D．95°7.下列說法中不正確的是（）A.全等三角形一定能重合B.全等三角形的面積相等C.全等三角形的周長相等D.周長相等的兩個三角形全等8．（2004·山東濰坊市）如圖,已知△ABC的六個元素,則下面甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙9．9.根據圖中所給條件,判定____這兩個三角形全等．（）①和②B.②和④C.①和④D.②和③如右圖所示，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形。則下列結論：①AE=CD；②BF=BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC=600,⑤△BFG是等邊三角形；⑥FG∥AD。其中正確的有（）A3個B4個C5個D6個二．填空題11．如圖示，AC，BD相交于點O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，則其它對應角分別為______________________，對應邊分別為_____________________.圖5圖5ADCB第12題圖ADBCO第11題圖第13題圖12．如圖示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，則△ABD的面積是______；13.如圖示,點B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD,還需添加一個條件是__________.（填上你認為適當的一個條件即可）14．如圖5，于O，BO=OD，圖中共有全等三角形對。15.如右圖示,正方形ABCD中,E、F分別在AB、BC上，AC、BD交于O點且AC⊥BD,∠EOF＝90o,已知AE＝3,CF＝4,則S△BEF為＿＿＿.ABDCABDCAC=4，則AD的取值范圍是17.如果兩個三角形的兩條邊和其中一條邊上的高對應相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的角的關系是__________.ADCB第19題圖E18.如圖10，E點為ADCB第19題圖E交AB與M點，交CN于N點，若MB=6cm，CN=4cm，則AB=_____.19.如圖示，直線AE∥BD，點C在BD上，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面積為16，則的面積為______．20．如右圖示，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，則∠α的度數為（）A．80°B．100°C．60°D．45°．三、證明題21.如圖示，已知AB=AC，BD=DC，圖中有相等的角嗎？請找出來