心理統計概率及其分布第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六第六講概率及其二項分布第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六一、概率的定義后驗概率（或統計概率）

隨機事件的頻率當n無限增大時，隨機事件A的頻率會穩定在一個常數P，這個常數就是隨機事件A的概率。（6．1）第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六先驗概率（古典概率）古典概率模型要求滿足兩個條件：⑴試驗的所有可能結果是有限的；⑵每一種可能結果出現的可能性相等。（6．2）第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六二．概率的公理系統1．任何隨機事件Ａ的概率都是在0與1之間的正數，即

0≤P（A）≤12．不可能事件的概率等于零，即P（A）=03．必然事件的概率等于1，即P（A）=1

第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六三．概率的加法定理和乘法定理概率的加法定理若事件Ａ發生，則事件Ｂ就一定不發生，這樣的兩個事件為互不相容事件。兩互不相容事件和的概率，等于這兩個事件概率之和，即（6．3）（6．4）第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六概率的乘法定理若事件Ａ發生不影響事件Ｂ是否發生，這樣的兩個事件為互相獨立事件。兩個互相獨立事件積的概率，等于這兩個事件概率的乘積，即（9．5）（9．6）第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例1：某一學生從５個試題中任意抽取一題，進行口試。如果抽到每一題的概率為1／5，則抽到試題１或試題２的概率是多少？如果前一個學生把抽過的試題還回后，后一個學生再抽，則４個學生都抽到試題1的概率是多少？

第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六計算抽到第一題或第二題的概率應為抽到第一題的概率和抽到第二題的概率之和，即四個學生都抽到第一題即四個學生同時抽到第一題，其概率應為抽到第一題的概率的乘積，即第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例2：從30個白球和20個黑球共50個球中隨機抽取兩次（放回抽樣），問抽出一個黑球和一個白球的概率是多少？第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六抽出一個白球的概率為3／5,抽出一個黑球的概率為2／5。抽出一個黑球和一個白球的情況應包括先抽出一個黑球、后抽出一個白球和先抽出一個白球、后抽出一個黑球兩種情況。因此：第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六四、概率分布類型概率分布（probabilitydistribution）是指對隨機變量取不同值時的概率的描述，一般用概率分布函數進行描述。依不同的標準，對概率分布可作不同的分類。第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六１、離散型分布與連續型分布依隨機變量的類型，可將概率分布分為離散型概率分布與連續型概率分布。心理與教育統計學中最常用的離散型分布是二項分布，最常用的連續型分布是正態分布。

第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六２、經驗分布與理論分布依分布函數的來源，可將概率分布分為經驗分布與理論分布。經驗分布（empiricaldistribution）是指根據觀察或實驗所獲得的數據而編制的次數分布或相對頻率分布。理論分布（theoreticaldistribution）是按某種數學模型計算出的概率分布。第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六３、基本隨機變量分布與抽樣分布依所描述的數據的樣本特性，可將概率分布分為基本隨機變量分布與抽樣分布（samplingdistribution）。基本隨機變量分布是隨機變量各種不同取值情況的概率分布，抽樣分布是從同一總體內抽取的不同樣本的統計量的概率分布。第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六五．二項分布二項分布（bionimaldistribution）是一種具有廣泛用途的離散型隨機變量的概率分布，它是由貝努里創始的，因此又稱為貝努里分布。第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六1．二項試驗滿足以下條件的試驗稱為二項試驗：一次試驗只有兩種可能的結果，即成功和失敗；各次試驗相互獨立，即各次試驗之間互不影響；各次試驗中成功的概率相等，失敗的概率也相等。第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六2．二項分布函數二項分布是一種離散型隨機變量的概率分布。用n次方的二項展開式來表達在n次二項試驗中成功事件出現的不同次數（X＝0，1…）的概率分布，叫做二項分布函數。第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六二項展開式的通式（即二項分布函數）：（6．7）第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六二項展開式的要點：項數：二項展開式中共有n＋1項。方次：p的方次，從n→0為降冪；q的方次從0→n為升冪。每項p與q方次之和等于n。系數：各項系數是成功事件次數的組合數。第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例３：從男生占２/５的學校中隨機抽取６個學生，問正好抽到４個男生的概率是多少？最多抽到２個男生的概率是多少？解：將n=6，p=2/5，q=3/5，X=4代入（6．7）式，則恰好抽到4個男生的概率為第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六最多抽到２個男生的概率，等于１個也沒有抽到、抽到１個和抽到兩個男生的概率之和，即第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六3．二項分布圖以成功事件出現的次數為橫坐標，以成功事件出現不同次數的概率為縱坐標，繪制直方圖或多邊圖，即為二項分布圖。二項分布是離散型分布，其概率直方圖是躍階式。第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六二項分布的性質從概率直方圖可以看到，二項分布有如下性質：①．當p=q時，圖形是對稱的。②．當p≠q時，直方圖呈偏態。p＞q與p＜q時的偏斜方向相反。第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六4．二項分布的平均數和標準差如果二項分布滿足p＞q且nq≥5（或者p＜q且np≥5時，二項分布接近于正態分布。可用下面的方法計算二項分布的平均數和標準差。二項分布的平均數為二項分布的標準差為（6．8）（6．9）第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六5．二項分布的應用二項分布函數除了用來求成功事件恰好出現X次的概率之外，在教育中主要用來判斷試驗結果的機遇性與真實性的界限。第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例如，一個學生憑猜測做10個是非題，平均可以猜對5題。什么情況下可以說他是真會而不是猜測呢？這種問題需要用累積概率來算。當做對８題或８題以上時，累積概率為0.989，也就是說，猜對９題或10題的概率不足0.05。第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六表6-1一個學生做10個正誤題做對不同題數的概率分布做對題目數出現方式數概率P(X)累積概率010.0010.0011100.0100.0112450.0440.05531200.1170.17242100.2050.37752520.2460.62362100.2050.82871200.1170.9458450.0440.9899100.0100.9991010.0011.000總和10241.000第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例題：一個教師對8個學生的作業成績進行猜測，如果教師猜對的可能性為1／3，問：⑴．平均能猜對幾個學生的成績？⑵．假如規定猜對95％，才算這個教師有一定的評判能力，那么這個教師至少要猜對幾個學生？第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六解：⑴．⑵．第三十頁，共三