定積分在經(jīng)濟學中的應(yīng)用摘要：定積分是微積分中重要內(nèi)容，它是解決許多實際問題的重要工具，在經(jīng)濟學中有著廣泛的應(yīng)用，而且內(nèi)容十分豐富。文中通過具體事例研究了定積分在經(jīng)濟學中的應(yīng)用，如求總量生產(chǎn)函數(shù)、投資決策、消費者剩余和生產(chǎn)者剩余等方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：定積分；原函數(shù)；邊際函數(shù)；最大值最小值；總量生產(chǎn)函數(shù)；投資；剩余引言積分學是微分學和積分學的總稱。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和應(yīng)用的加深，也由于科學技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數(shù)學發(fā)展中的地位是十分重要的。可以說是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學中最大的一個創(chuàng)造。微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著并發(fā)展起來的。定積分推動了天文學、物理學、化學、生物學、工程學、經(jīng)濟學等自然科學、社會科學及應(yīng)用科學各個分支的發(fā)展。并在這些學科中有越來越廣泛的應(yīng)用，微積分是一門歷史悠久而又不斷發(fā)展進步的學科，歷史上許多著名的數(shù)學家把畢生的心血投入到微積分的研究中，從生產(chǎn)實際的角度上看，應(yīng)用又是重中之重，隨著數(shù)學的不斷前進，微積分的應(yīng)用也呈現(xiàn)前所未有的發(fā)展。本文將重點介紹定積分在經(jīng)濟學中的應(yīng)用。1利用定積分求原經(jīng)濟函數(shù)問題在經(jīng)濟管理中,由邊際函數(shù)求總函數(shù)(即原函數(shù)),一般采用不定積分來解決,或求一個變上限的定積分。可以求總需求函數(shù),總成本函數(shù),總收入函數(shù)以及總利潤函數(shù)。設(shè)經(jīng)濟應(yīng)用函數(shù)u(x)的邊際函數(shù)為,則有例1生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為,固定成本C(0)=10000,求出生產(chǎn)x個產(chǎn)品的總成本函數(shù)。解總成本函數(shù)===2利用定積分由變化率求總量問題如果求總函數(shù)在某個范圍的改變量,則直接采用定積分來解決。例2已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率為(件/天),求從第5天到第10天產(chǎn)品的總產(chǎn)量。解所求的總產(chǎn)量為(件)3利用定積分求經(jīng)濟函數(shù)的最大值和最小值例3設(shè)生產(chǎn)x個產(chǎn)品的邊際成本C=100+2x,其固定成本為元,產(chǎn)品單價規(guī)定為500元。假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售,需求曲線(函數(shù))P=與供給曲線(函數(shù))P=的交點A(P*,Q*)稱為均衡點。在此點供需達到均衡。均衡點的價格P*稱為均衡價格,即對某商品而言,顧客愿買、生產(chǎn)者愿賣的價格。如果消費者以比他們原來預期的價格低的價格(如均衡價格)購得某種商品,由此而節(jié)省下來的錢的總數(shù)稱它為消費者剩余。假設(shè)消費者以較高價格P=購買某商品并情愿支付,Q*為均衡商品量,則在[Q,Q+]內(nèi)消費者消費量近似為,故消費者的總消費量為,它是需求曲線P=在與Q*之間的曲邊梯形OQ*的面積,如圖如果商品是以均衡價格P*出售,那么消費者實際銷售量為P*Q*,因此,消費者剩余為它是曲邊三角形的面積。如果生產(chǎn)者以均衡價格P*出售某商品,而沒有以他們本來計劃的以較低的售價出售該商品,由此所獲得的額外收入,稱它為生產(chǎn)者剩余。同理分析可知:P*Q*是生產(chǎn)者實際出售商品的收入總額,是生產(chǎn)者按原計劃以較低價格售出商品所獲得的收入總額,故生產(chǎn)者剩余為它是曲邊三角形的面積。例6設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)是P=。如果價格固定在每件10元,試計算消費者剩余。解已知需求函數(shù)P=,首先求出對應(yīng)于P*=10的Q*值,令=10,得Q*=10000。于是消費者剩余為==(30Q-=66666.67(元)。例7設(shè)某商品的供給函數(shù)為P=250+3Q+0.01,如果產(chǎn)品的單價為425元,計算生產(chǎn)者剩余。解首先求出對應(yīng)于=425的的值,令425=250+3Q+0.01,得一正解Q*=50,于是生產(chǎn)者剩于為===4583.339(元)。5利用定積分決定廣告策略問題例8某出口公司每月銷售額是1000000美元,平均利潤是銷售額的10%.根據(jù)公司以往的經(jīng)驗,廣告宣傳期間月銷售額的變化率近似地服從增長曲線(t以月為單位),公司現(xiàn)在需要決定是否舉行一次類似的總成本為美元的廣告活動.按慣例,對于超過美元的廣告活動,如果新增銷售額產(chǎn)生的利潤超過廣告投資的10%,則決定做廣告。試問該公司按慣例是否應(yīng)該做此廣告?解由公式知,12個月后總銷售額是當t=12時的定積分即總銷售額==(美元)公司的利潤是銷售額的10%,所以新增銷售額產(chǎn)生的利潤是(美元)156000美元利潤是由花費130000美元的廣告費而取得的,因此,廣告所產(chǎn)生的實際利潤是156000-130000=26000(美元)這表明贏利大于廣告成本的10%,故公司應(yīng)該做此廣告。6利用定積分計算資本現(xiàn)值和投資若有一筆收益流的收入率為f(t),假設(shè)連續(xù)收益流以連續(xù)復利率r計息,從而總現(xiàn)值y=。例9現(xiàn)對某企業(yè)給予一筆投資A,經(jīng)測算,該企業(yè)在T年中可以按每年a元的均勻收入率獲得收入,若年利潤為r,試求:(1)該投資的純收入貼現(xiàn)值;(2)收回該筆投資的時間為多少?解(1)求投資純收入的貼現(xiàn)值:因收入率為a,年利潤為r,故投資后的T年中獲總收入的現(xiàn)值為Y=從而投資所獲得的純收入的貼現(xiàn)值為(2)求收回投資的時間:收回投資,即為總收入的現(xiàn)值等于投資。由得T=即收回投資的時間為T=例如,若對某企業(yè)投資A=800(萬元),年利率為5%,設(shè)在20年中的均勻收入率為a=200(萬元/年),則有投資回收期為=(年)由此可知,該投資在20年內(nèi)可得純利潤為1728.2萬元,投資回收期約為4.46年.例10有一個大型投資項目,投資成本為A=10000(萬元),投資年利率為5%,每年的均勻收入率為a=2000(萬元),求該投資為無限期時的純收入的貼現(xiàn)值(或稱為投資的資本價值).解由已知條件收入率為a=2000(萬元),年利率r=5%,故無限期的投資的總收入的貼現(xiàn)=====40000（萬元）從而投資為無限期時的純收入貼現(xiàn)值為R=y-A=40000-10000=30000(萬元)=3億元.例11?一對夫婦準備為孩子存款積攢學費,目前銀行的存款的年利率為5%,以連續(xù)復利計算,若他們打算10年后攢夠5萬元,計算這對夫婦每年應(yīng)等額地為其孩子存入多少錢?解設(shè)這對夫婦每年應(yīng)等額地為其孩子存入A元(即存款流為f(t)=A),使得10年后存款總額的將來值達到5萬元,由公式得又得(元)。即這對夫婦每年應(yīng)等額地存入4517元,10年后才能為孩子攢夠5萬元的學費。總結(jié)定積分在數(shù)學中占主導地位。同時，它和經(jīng)濟學也有很大的聯(lián)系，以上幾個方面的應(yīng)用也只是定積分在經(jīng)濟學中應(yīng)用的一部分,定積分還有很多在經(jīng)濟學中的應(yīng)用之處。只要勤于學習,善于思考,勇于探索,就一定能從中感受到定積分的無窮魅力,同時也能提高應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力。參考文獻誤傳生，《經(jīng)濟數(shù)學—微積分》，高等教育出版社，2003侯風波，《經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)》，高等教育出版社，2004華東師范大學數(shù)學系，<<數(shù)學分析>>，高等教育出版社,1990王向東，<<數(shù)學分析概念與方法>>，上海科技文獻出版社，1989陳錫璞，<<工程經(jīng)濟>>，機械工業(yè)出版社，北京，1994.10Г.М.菲赫金哥爾茨,《微積分學教程》,高等教育出版社,2006

白銀鳳羅蘊玲,《微積分及其應(yīng)用》,高等教育出版社TheapplicationofdefiniteintegralintheeconomicsAbstract:Definiteintegralisanessentialofcalculus,anditisalsoanimportantmeanstosolvemanypracticalproblemsDefiniteintegralisappliedineconomicswidely,andisabundantincontent.Inthispaper,theapplicationofdefiniteintegralinsuchcasesasaggregateproductionsfunction,investmentstrategy,consumerssurplusandproduce