27五月2023第2章第34節功和能（2）變力的功質點在變力作用下沿曲線L從a運動到b，計算力所作的功。

在a、b上任取位移元，在上的元功為(elementarywork)若在a、b上連續，則從a到b，變力的總功功的求解：（1）知道力和位移的直角坐標分量則（2）若知道力、位移大小及夾角，則功是一個過程量解：例1：一質點做圓周運動，有一力

作用于質點，在質點由原點至P(0，2R)點過程中，力作的功

A=？xyOPROP上任取位移元，上作用于質點的力為（3）合力的功即：合力的功等于各分力的功的代數和。物體受幾個力作用時，合力的功*(4)一對相互作用力的功是

相對

的位移.(5)功率(power)單位時間內力所作的功平均功率：瞬時功率：單位：W=J/s(表征作功快慢程度的物理量)瞬時功率等于力和速度的標積。已知

m=2kg,在

F=12t

作用下由靜止做直線運動解例求t=02s內F作的功及t=2s時的功率。質量為10kg的質點，在外力作用下做平面曲線運動，該質點的速度為解在質點從y=16m到y=32m的過程中，外力做的功。求例,開始時質點位于坐標原點。L緩慢拉質量為m的小球，解xy例求已知用力保持方向不變從豎直位置開始到=0

時，作的功。（結果中不含）例2重力的功

質點在重力作用下,沿曲線從a到b,計算重力的功。

在a、b上任取位移元,重力在上的元功為從a到b重力的總功重力作功與路徑無關本例中,雖然重力是恒力,但由于質點運動的路徑是曲線,需按變力作功計算.y1y2abyx例3彈性力的功x2box1mxamx質點在彈力作用下,從a

到b,計算彈力的功。在a、b上(x處)任取位移元

,上作用于質點的力，在

上的元功從a到b,彈力的總功彈力作功也與路徑無關2.動能和動能定理

作用于質點的合力在某一路程中對質點所作的功，等于質點在同一路程的始、末兩個狀態動能的增量。

(1)Ek是一個狀態量,A

是過程量。(2)動能定律只適用于慣性系。

說明長為l的均質鏈條，部分置于水平面上，另一部分自然下垂,已知鏈條與水平面間靜摩擦系數為0,滑動摩擦系數為(1)以鏈條的水平部分為研究對象，設鏈條每單位長度的質量為，沿鉛垂向下取Oy軸。解Oy例求滿足什么條件時，鏈條將開始滑動(2)若下垂部分長度為b時，鏈條自靜止開始滑動，當鏈條末端剛剛滑離桌面時，其速度等于多少？當y>b0

，拉力大于最大靜摩擦力時，鏈條將開始滑動。

設鏈條下落長度y=b0時，處于臨界狀態(2)以整個鏈條為研究對象，鏈條在運動過程中各部分之間相互作用的內力的功之和為零，摩擦力的功重力的功根據動能定理有

一輕彈簧的勁度系數為k=100N/m，用手推一質量m=0.1

kg

的物體把彈簧壓縮到離平衡位置為x1=0.02m處,如圖所示。放手后，物體沿水平面移動到x2=0.1m而停止。

放手后，物體運動到x1

處和彈簧分離。在整個過程中，解例物體與水平面間的滑動摩擦系數。求摩擦力作功彈簧彈性力作功根據動能定理有作業P56~64頁10，22計40xyzO1.保守力和非保守力重力mg在曲線路徑M1M2上的功為

重力所作的功等于重力的大小乘以質點起始位置與末了位置的高度差。(1)重力的功只與始、末位置有關，而與質點所行經的路徑無關。(2)質點上升時，重力作負功；質點下降時，重力作正功。

mG結論②①(1)重力的功§2.4保守力的功勢能機械能守恒律(2)彈簧彈性力的功彈性力的功只與始、末位置有關，而與質點所行經的路徑無關。(2)彈簧的變形減小時，彈性力作正功；彈簧的變形增大時，彈性力作負功。彈簧彈性力由x1到x2

路程上彈性力的功為彈性力的功等于彈簧勁度系數乘以質點始末位置彈簧形變量平方之差的一半。結論xO(3)萬有引力的功上的元功為萬有引力F在全部路程中的功為(1)萬有引力的功，也是只與始、末位置有關，而與質點所行經的路徑無關。Mabm結論在位移元(4)摩擦力的功在這個過程中所作的功為

摩擦力的功，不僅與始、末位置有關，而且與質點所行經的路徑有關。摩擦力方向始終與質點速度方向相反(2)質點移近質點時，萬有引力作正功；質點A遠離質點O時，萬有引力作負功。結論摩擦力保守力:力所作的功與路徑無關，僅決定于相互作用質點的始末相對位置.總結：重力功彈力功引力功非保守力:力所作的功與路徑有關.（例如摩擦力）保守力沿閉合路徑一周所做的功為零！即：摩擦力功2.勢能(位能)保守力的功都可以表示為一個與位置有關的標量函數在初位置與末位置之差！若用Ep表示該函數，則有：稱Ep為勢能，則Epi為i點的勢能。在保守力場中選定某點為勢能零點，則有：則空間某點勢能可如此求得：質點在保守力場中某點的勢能，在量值上等于質點從M點移動至零勢能點M0的過程中保守力(1)重力勢能

(2)彈性勢能

xyzOOx所作的功。3.幾種常見的勢能函數和勢能曲線(3)萬有引力勢能

rMm等勢面在保守力場中，質點從起始位置

1到末了位置2，保守力的功

W等于質點在始末兩位置勢能增量的負值(2)保守力場中任意兩點間的勢能差與勢能零點選取無關。說明(1)由于勢能零點可以任意選取，所以某一點的勢能值是相對的。質點的勢能與位置坐標的關系可以用圖線表示出來。(4)上述三種勢能的勢能曲線zO重力勢能彈性勢能E萬有引力勢能xOrO(1)質點系動能定理質點動能定理應用于質點系內所有質點并相加有:內力和為零,內力功的和是否為零？不一定為零ABABSL討論4、機械能守恒定律或簡寫為即：所有外力對質點系作的功和內力對質點系作的功之和等于質點系總動能的增量。這個結論稱為質點系的動能定理。質點系動能定理表明：內力可以改變系統的總動能。

質點系相互作用的內力可能是保守內力，也可能是非保守內力。質點系動能定理重寫為（2）質點系功能原理(principleofworkandenergy)代入并整理得：稱為機械能——質點系的功能原理則（3）機械能守恒定律

(lawofconservationofmechanicalenergy)

即：如果一個系統只有保守內力作功，非保守內力和一切外力都不作功，那么系統的總機械能保持不變。

——機械能守恒定律系統功能原理中，若。則注意：系統機械能守恒有條件，條件就是：解：(1)質點的速度由牛頓第二定律求得例1質量為m的質點在指向圓心的平方反比力的作用下,作半徑為r的圓周運動,(1)求質點的速率v;(2)若取距圓心無限遠處為勢能的零點,計算該質點的機械能E.·(2)質點的機械能例2

如圖,設小車與斜面的摩擦系數為,問小車應以多大的初速度才能在關閉發動機后沖上長為L,傾角為的斜坡.解1：用牛頓第二定律求解

視小車為質點,它受三個力作用,如圖.取沿斜面向上的方向為正,由牛頓第二定律解2：用質點動能定理求解

取小車+地球為系統,重力成為內力,且為保守內力,斜面的支承力(外力)不作功,系統內無非保守內力作功.解3：用質點系功能原理求解

取過斜面底為重力勢能零點;由系統功能原理例3在光滑的水平面上，水平放置一固定的半圓形屏障，有一質量為m的滑塊以初速度v0沿切線方向進入屏障一端。設滑塊與屏障的摩擦系數為,求：當滑塊從另一端滑出時摩擦力所作的功。解：由牛頓第二定律求出滑塊滑出另一端的速度,再由動能定理求摩擦力的功.例求物體從地面出發的逃逸速度，即逃脫地球引力所需要的從地面出發的最小速度。地球半徑取R=6.4×106m.解取地球和物體作為研究系統。則整個過程中只有保守內力作功，故系統機械能守恒。以v、v∞分別表示離開地面和到達無窮遠處的速度。由系統機械能守恒有解得