幾個常用組合數公式.⑸①幾個常用組合數公式②常用的證明組合等式方法例.i.裂項求和法.如：（利用）ii.導數法.iii.數學歸納法.iv.倒序求和法.v.遞推法（即用遞推）如：.vi.構造二項式.如：證明：這里構造二項式其中的系數，左邊為，而右邊四、排列、組合綜合.1.I.排列、組合問題幾大解題方法及題型：①直接法.②排除法.③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某個元素必相鄰的排列有個.其中是一個“整體排列”，而則是“局部排列”.又例如①有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數為.②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.注：①③區別在于①是確定的座位，有種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個，有不確定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數為多少？（插空法），當n–m1≥m,即m≤時有意義.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.⑥調序法：當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法.例如：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m1）（m2）…n=n！/m！；解法二：（比例分配法）.⑦平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有.例如：從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法？有（平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了）又例如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？（）注意：分組與插空綜合.例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有，當n–m1≥m,即m≤時有意義.⑧隔板法：常用于解正整數解組數的問題.例如：的正整數解的組數就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式（如圖所示）故方程的解和插板的方法一一對應.即方程的解的組數等于插隔板的方法數.注意：若為非負數解的x個數，即用中等于，有，進而轉化為求a的正整數解的個數為.⑨定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規定某r個元素都包含在內，并且都排在某r個指定位置則有.例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少種排法？固定在某一位置上：；不在某一位置上：或（一類是不取出特殊元素a，有，一類是取特殊元素a，有從m-1個位置取一個位置，然后再從n-1個元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的）⑩指定元素排列組合問題.i.從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規定某r個元素都包含在內。先C后A策略，排列；組合.ii.從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規定某r個元素都不包含在內。先C后A策略，排列；組合.iii從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規定每個排列（或組合）都只包含某r個元素中的s個元素。先C后A策略，排列；組合.II.排列組合常見解題策略：①特殊元素優先安排策略；②合理分類與準確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；④正難則反，等價轉化策略；⑤相鄰問題插空處理策略；⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構造模型的策略.2.組合問題中分組問題和分配問題.①均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數相等，不管是否分盡，其分法種數為（其中A為非均勻不編號分組中分法數）.如果再有K組均勻分組應再除以.例：10人分成三組，各組元素個數為2、4、4，其分法種數為.若分成六組，各組人數分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數為②非均勻編號分組:n個不同元素分組，各組元素數目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數為例：10人分成三組，各組人數分別為2、3、5，去參加不同的勞動，其安排方法為：種.若從10人中選9人分成三組，人數分別為2、3、4，參加不同的勞動，則安排方法有種③均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數相同且考慮各組間的順序，其分法種數為.例：10人分成三組，人數分別為2、4、4，參加三種不同勞動，分法種數為④非均勻不編號分組