第03講充分條件與必要條件（2大考點(diǎn)9種解題方法）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、充分條件與必要條件(1)一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q，這時(shí)，我們就說，由p可以推出q，記作p?q，并且說，p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)幾點(diǎn)說明若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p二、充要條件(1)如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們就說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．(2)如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．技巧方法技巧方法充分必要條件判斷精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個(gè)集合范圍一樣，就是充要條件的關(guān)系；2.若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，請寫出集合A，B的其他關(guān)系對應(yīng)的條件p，q的關(guān)系．①若AB，則p是q的充分不必要條件；②若A?B，則p是q的必要條件；③若AB，則p是q的必要不充分條件；④若A＝B，則p是q的充要條件；⑤若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．3、充要條件的兩種判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷.(2)集合法：根據(jù)使p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.4、充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時(shí)需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.(3)數(shù)學(xué)定義都是充要條件.考點(diǎn)考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：充分條件與必要條件題型一：判斷命題的充分不必要條件一、單選題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知命題p：，命題q：或，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】因?yàn)椋詐是q的充分不必要條件.故選：A2．（2021·湖南·衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，且，一次函數(shù)單調(diào)遞增.則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意求得命題對應(yīng)參數(shù)的取值范圍，從集合的角度即可判斷充分性和必要性.【詳解】對命題：因?yàn)椋士傻茫粚γ}：一次函數(shù)單調(diào)遞增，故可得，因?yàn)槭堑恼孀蛹适堑某浞植槐匾獥l件.故選：.3．（2022·廣東·化州市第三中學(xué)高一期末）已知命題p：x為自然數(shù)，命題q：x為整數(shù)，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)兩個(gè)命題中的取值范圍，分析是否能得到pq和qp．【詳解】若x為自然數(shù)，則它必為整數(shù)，即p?q．但x為整數(shù)不一定是自然數(shù)，如x＝－2，即qp．故p是q的充分不必要條件．故選：A.二、多選題4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）可以作為或的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由充分不必要條件的定義即可得出答案.【詳解】可以作為或的一個(gè)充分不必要條件是和.故選：AC.三、填空題5．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，或，則p是q的________條件．【答案】充分不必要【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.【詳解】命題“若p，則q”：假設(shè)不正確，即且，則有與已知矛盾，即假設(shè)是錯(cuò)的，于是得q是正確的，因此，“若p，則q”是真命題，即p是q的充分條件，命題“若q，則p”：顯然當(dāng)時(shí)，有，而滿足或，于是得“若q，則p”是假命題，即p不是q的必要條件，所以是q的充分不必要條件．故答案為：充分不必要題型二：根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)一、單選題1．（2022·湖南·長沙市南雅中學(xué)高二階段練習(xí)）已知p：，q：，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得命題p、q中x的范圍，根據(jù)p是q的充分不必要條件，即可得答案.【詳解】命題p：因?yàn)椋裕獾茫}q：，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以.故選：C二、多選題2．（2022·河南·溫縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】利用必要不充分條件的定義直接判斷.【詳解】由解得：.因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以只需，對照四個(gè)選項(xiàng)，a可以取1，2.故選：AB三、填空題3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______【答案】【分析】根據(jù)是的充分不必要條件，可得，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，所以.故答案為：.四、解答題4．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.(1)若a=3，求；(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）將a=3代入求出集合P，Q，再由補(bǔ)集及交集的意義即可計(jì)算得解.（2）由給定條件可得，再根據(jù)集合包含關(guān)系列式計(jì)算作答.(1)因a=3，則P={x|4≤x≤7}，則有或，又Q={x|-2≤x≤5}，所以.(2)“x∈P”是“x∈Q”充分不必要條件，于是得，當(dāng)a+1>2a+1，即a<0時(shí)，，又，即，滿足，則a<0，當(dāng)時(shí)，則有或，解得或，即，綜上得：，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.5．（2022·重慶復(fù)旦中學(xué)高一開學(xué)考試）在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題：已知集合，(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)條件選擇見解析，【分析】（1）化簡集合與之后求二者的并集（2）先判斷集合與的關(guān)系，再求的取值范圍(1)當(dāng)時(shí)，集合，，所以；(2)若選擇①A∪B＝B，則，因?yàn)椋裕郑裕獾茫詫?shí)數(shù)的取值范圍是．若選擇②，““是“”的充分不必要條件，則，因?yàn)椋裕郑裕獾茫詫?shí)數(shù)的取值范圍是．若選擇③，，因?yàn)椋曰颍獾没颍詫?shí)數(shù)的取值范圍是．6．（2022·全國·高一）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算；（2）根據(jù)充分不必要條件的定義求解．(1)由已知，或，所以或＝；(2)“”是“”的充分不必要條件，則，解得，所以的范圍是．題型三：判斷命題的必要不充分條件一、單選題1．（2022·江蘇·高一單元測試）“三角形的某兩條邊相等”是“三角形為等邊三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的定義結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】三角形的某兩條邊相等則三角形是等腰三角形，不一定是等邊三角形，所以充分性不成立；三角形為等邊三角形則其三邊相等，能得到三角形的任意兩邊也是相等的，所以必要性成立.故選：B.2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）2022年3月21日，東方航空公司MU5735航班在廣西梧州市上空失聯(lián)并墜毀．專家指出：飛機(jī)墜毀原因需要找到飛機(jī)自帶的兩部飛行記錄器（黑匣子），如果兩部黑匣子都被找到，那么就能形成一個(gè)初步的事故原因認(rèn)定.3月23日16時(shí)30分左右，廣西武警官兵找到一個(gè)黑匣子，雖其外表遭破壞，但內(nèi)部存儲設(shè)備完整，研究判定為駕駛員座艙錄音器．則“找到駕駛員座艙錄音器”是“初步事故原因認(rèn)定”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】因?yàn)閮刹亢谙蛔佣急徽业剑湍苄纬梢粋€(gè)初步的事故原因認(rèn)定，根據(jù)充分與必要條件的定義即可判斷出結(jié)果．【詳解】因?yàn)閮刹亢谙蛔佣急徽业剑湍苄纬梢粋€(gè)初步的事故原因認(rèn)定，則“找到駕駛員座艙錄音器”不能形成“初步事故原因認(rèn)定”；而形成“初步事故原因認(rèn)定”則表示已經(jīng)“找到駕駛員座艙錄音器”，故“找到駕駛員座艙錄音器”是“初步事故原因認(rèn)定”的必要不充分條件，故選：C．3．（2020·安徽·合肥市第十中學(xué)高一期中）設(shè)集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)集合的包含與充分必要條件的關(guān)系判斷．【詳解】由題意集合是集合的真子集，因此“”是“”的必要不充分條件，故選：B．二、多選題4．（2021·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．"”是“”的充分不必要條件B．若方程的兩根都是負(fù)數(shù)，則C．設(shè)x，，則“且”是“”的必要而不充分條件D．設(shè)a，，則“”是“”的必要而不充分條件【答案】AD【分析】根據(jù)充分性、必要性的定義進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】A正確．“”可推出“”，但是當(dāng)“”時(shí)，a有可能是負(fù)數(shù)，所以“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件：B錯(cuò)誤．∵∴；C錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，但是“且”不成立，所以“”推不出“且”，所以“”不是“”的必要條件D正確”推不出但“”可推出”，所以”是的必要而不充分條件，故選：AD三、填空題5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）寫出的一個(gè)必要不充分條件_____．【答案】（答案不唯一）【分析】由充分條件、必要條件的定義即可得出答案.【詳解】?，所以“”是不等式“”成立的一個(gè)必要不充分條件.故答案為：.題型四：根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)一、填空題1．（2022·全國·高一）已知集合，或，若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念可得集合A與B的包含關(guān)系，畫出數(shù)軸即可得不等式組從而求出a的范圍．【詳解】∵“”是”的必要條件，∴，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，由圖可知或，解得或，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．二、解答題2．（2021·江西·豐城九中高一階段練習(xí)）已知集合或，集合(1)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)已知集合，若是的必要不充分條件，判斷實(shí)數(shù)是否存在，若存在求的范圍【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）由集合交運(yùn)算可得，根據(jù)集合的包含關(guān)系并討論是否為空集，列不等式組求參數(shù)范圍；（2）由題意，列不等式組求參數(shù)m范圍.(1)由題設(shè)，又，當(dāng)時(shí)，，可得.當(dāng)時(shí)，，可得.綜上，a的范圍.(2)由題意，而，所以，結(jié)合（1）有(等號不同時(shí)成立)，可得.故存在實(shí)數(shù)且.3．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合，，全集．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)集與交集的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算即可得出答案.（2）若“”是“”的必要條件等價(jià)于.討論是否為空集，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)當(dāng)時(shí)，集合，或，．(2)若“”是“”的必要條件，則，①當(dāng)時(shí)，；②，則且，.綜上所述，或．4．（2022·江蘇·高一）已知其中.(1)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意可得A?B，所以從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，（2）由題意可得B?A，然后分a=0，a>0和a<0三種情況求解即可(1)設(shè)命題p：A={x|x2>0}，即p：A={x|x>2}，命題q：B={x|ax4>0}，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以A?B，.即解得a>2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2)由（1）得p：A={x|x>2}，q：B={x|ax4>0}，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以B?A，①當(dāng)a=0時(shí)，B=，滿足題意；②當(dāng)a>0時(shí)，由B?A，得.>2，即0<a<2；.③當(dāng)a<0時(shí)，顯然不滿足題意.綜合①②③得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為5．（2022·河南駐馬店·高一期末）已知集合，.(1)若，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先求出集合，再對與兩種情況討論，分別得到不等式，解得即可；（2）依題意可得集合，分與兩種情況討論，分別到不等式，解得即可；(1)解：由得解，所以，又若，分類討論：當(dāng)，即解得，滿足題意；當(dāng)，即，解得時(shí)，若滿足，則必有或；解得.綜上，若，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.(2)解：由“”是“”的必要不充分條件，則集合，若，即，解得，若，即，即，則必有，解得，綜上可得,，綜上所述，當(dāng)“”是“”的必要不充分條件時(shí)，即為所求．題型五：充分條件的判定及性質(zhì)一、單選題1．（2022·江蘇鹽城·高一期末）“”的一個(gè)充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次判斷選項(xiàng)中的滿足的大小關(guān)系式，由此可判斷充分性是否成立.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，滿足，無法得到，充分性不成立，A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，或，充分性不成立，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，可得到，C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，或，充分性不成立，D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2022·貴州畢節(jié)·高一期末）對于實(shí)數(shù)x，“”是“”的（

）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用定義法即可判斷.【詳解】充分性：由，能推出，所以是的充分條件，必要性：由，不能推出，所以是的不必要條件.故選A．二、多選題3．（2022·河南·永城市苗橋鄉(xiāng)重點(diǎn)中學(xué)高一期末）使成立的一個(gè)充分條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】解不等式，根據(jù)充分條件的概念即可求解.【詳解】或，故使成立的一個(gè)充分條件的x的范圍應(yīng)該是的子集.故選：AB.4．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的充分條件的有（

）A．若x＜1，則x＜2 B．若兩個(gè)三角形的三邊對應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形相似C．若|x|≠1，則x≠1 D．若ab＞0，則a＞0，b＞0【答案】ABC【分析】根據(jù)充分條件的定義逐一判斷即可.【詳解】由x＜1，可以推出x＜2，所以選項(xiàng)A符合題意；由兩個(gè)三角形的三邊對應(yīng)成比例，可以推出這兩個(gè)三角形相似，所以選項(xiàng)B符合題意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以選項(xiàng)C符合題意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如，所以本選項(xiàng)不符合題意，故選：ABC三、解答題5．（2022·江蘇·高一）已知集合，.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分條件，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)，由BA求解;（2）根據(jù)是的充分條件，由AB求解.(1)解：因?yàn)椋遥訠A，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；(2)因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以AB，則，解得，所以的取值范圍是.題型六：必要條件的判定及性質(zhì)一、單選題1．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）如果關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)解是，（其中），而且不等式的必要條件是，那么（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由必要條件的定義和一元二次方程的解可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)椴坏仁降谋匾獥l件是，關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)解是（其中），所以，故選：A.2．（2021·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高一期中）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（

）A．必要條件 B．充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】利用充分必要條件判斷即可得解．【詳解】由題意可知：“返回家鄉(xiāng)”則可推出“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”必要條件，故選：．3．（2022·湖南·新化縣教育科學(xué)研究所高一期末）“兩個(gè)三角形相似”是“兩個(gè)三角形三邊成比例”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，由“兩個(gè)三角形相似”可得到“兩個(gè)三角形三邊成比例”，即充分性成立；反之：由“兩個(gè)三角形三邊成比例”可得到“兩個(gè)三角形相似”，即必要性成立，所以“兩個(gè)三角形相似”是“兩個(gè)三角形三邊成比例”的充分必要條件.故選：C.二、多選題4．（2022·江蘇·高一單元測試）(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的必要條件的有（

）A．若x，y是偶數(shù)，則x＋y是偶數(shù) B．若a＜2，則方程x2－2x＋a＝0有實(shí)根C．若四邊形的對角線互相垂直，則這個(gè)四邊形是菱形 D．若ab＝0，則a＝0【答案】BCD【分析】根據(jù)必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】A：x＋y是偶數(shù)不一定能推出x，y是偶數(shù)，因?yàn)閤，y可以是奇數(shù)，不符合題意；B：當(dāng)方程x2－2x＋a＝0有實(shí)根時(shí)，則有，顯然能推出a＜2，符合題意；C：因?yàn)榱庑螌蔷€互相垂直，所以由四邊形是菱形能推出四邊形的對角線互相垂直，符合題意；D：顯然由a＝0推出ab＝0，所以符合題意，故選：BCD三、填空題5．（2022·全國·高一）給出下列命題：①已知集合，且，則集合的真子集個(gè)數(shù)是4；②“”是“”的必要不充分條件；③“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件④設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件其中所有正確命題的序號是__________．【答案】③④【分析】①根據(jù)集合描述列舉出元素，進(jìn)而判斷真子集個(gè)數(shù)；②③④由充分、必要性的定義判斷條件間的推出關(guān)系，即可判斷正誤.【詳解】①，故真子集個(gè)數(shù)為個(gè)，錯(cuò)誤；②由，可得或，故“”是“”的充分不必要條件，錯(cuò)誤；③由開口向上且對稱軸為，只需即可保證原方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，故“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件，正確；④當(dāng)，時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，且，故“”是“”的必要不充分條件，正確.故答案為：③④6．（2021·湖北孝感·高一期中）寫出的一個(gè)必要不充分條件_____【答案】（答案不唯一）【分析】解分式不等式的解集，再寫出一個(gè)集合真包含不等式的解集的條件；【詳解】，，所以滿足題意故答案為：四、解答題7．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知命題P：方程沒有實(shí)數(shù)根．(1)若P是真命題，求實(shí)數(shù)t的取值集合A；(2)集合，若是的必要條件，求a的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）列出關(guān)于t的不等式即可求得實(shí)數(shù)t的取值集合A；（2）分類討論并列不等式組去求a的取值范圍．(1)若P是真命題，則，解得，則．(2)因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，當(dāng)時(shí)，由，得，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，則有，解之得，綜上所述，a的取值范圍為．考點(diǎn)二：充要條件題型七：充要條件的證明一、單選題1．（2021·河南·高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷，求解注意分類討論．【詳解】當(dāng)時(shí)，則，中至少有一個(gè)數(shù)小于0，不妨設(shè)此數(shù)為，若，則，因?yàn)椋裕簦瑒t顯然成立．若，則也顯然成立，所以充分性滿足；當(dāng)時(shí)，則，中至少有一個(gè)數(shù)小于0，不妨設(shè)此數(shù)為，若，則，所以，所以．若，則，此時(shí)顯然成立．若，此時(shí)也顯然成立，所以必要性滿足．所以“”是“”的充要條件．故選：C．二、填空題2．（2022·江蘇·高一）從“充分而不必要條件”“必要而不充分條件”“充要條件”與“既不充分又不必要條件”中選出適當(dāng)?shù)囊环N填空：（1）中，是的______；（2）是的______；（3）是的______；（4）是的______．【答案】

充要條件；

必要而不充分條件；

充分而不必要條件；

既不充分又不必要條件.【分析】根據(jù)充分性、必要性的定義逐一判斷即可.【詳解】空1：由能推出，由能推出，所以中，是的充要條件；空2：由不一定能推出，比如，由能推出，所以是的必要而不充分條件；空3：由推出，由不一定能推出，比如，所以是的充分而不必要條件；空4：由不一定能推出，比如，由不一定能推出，比如，所以是的既不充分又不必要條件.故答案為：充要條件；必要而不充分條件；充分而不必要條件；既不充分又不必要條件.三、解答題3．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）求證：對任意實(shí)數(shù)，，，成立，等號成立的充分必要條件．【分析】化簡可得，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出結(jié)論.【詳解】證明：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，所以當(dāng)時(shí)，對任意實(shí)數(shù)，，，成立，等號成立，當(dāng)對任意實(shí)數(shù)，，，成立，等號成立時(shí)，，所以對任意實(shí)數(shù)，，，成立，等號成立的充分必要條件．題型八：探求命題為真的充要條件一、單選題1．（2022·全國·高一）“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】對求解，結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得出答案【詳解】由題，將代入，等式成立，所以“”是“”的充分條件；求解，得到，故“”是“”的不必要條件；故選：A二、多選題2．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．“且”是“”的充分不必要條件C．當(dāng)時(shí)，“”是“方程有解”的充要條件D．若P是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件【答案】ABD【分析】對命題進(jìn)行正反邏輯推理，并結(jié)合四種條件的定義即可判斷答案.【詳解】對A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，滿足成立，但顯然得不到.所以A正確；對B，由且顯然可以得到，但若，滿足，但不滿足且.所以B正確；對C，時(shí)，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也無法得到.所以C錯(cuò)誤.對D，若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件.所以D正確.故選：ABD.3．（2021·安徽·高一期中）已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，下列命題正確的是（

）A．是的必要不充分條件 B．是的充要條件C．是的充分不必要條件 D．是的充要條件【答案】BD【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義逐項(xiàng)判斷可得出結(jié)論.【詳解】由題意得，，，，，，所以，，，所以是的充要條件，是的充要條件，是的充要條件，故選：BD.4．（2022·廣東肇慶·高一期末）下列說法中正確的有（

）A．“”是“”的必要條件B．“”是“”的充分不必要條件C．“或”是“”的充要條件D．“”是“”的必要不充分條件【答案】BC【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的知識，結(jié)合不等式或方程的知識對選項(xiàng)逐一判斷即可選出答案.【詳解】對于A，“”成立，“”不一定成立，A錯(cuò)誤；對于B，“”可以推出“”，取，得，但，所以“”不能推出“”，B正確；對于C，的兩個(gè)根為或，C正確；對于D，“”不能推出“”，同時(shí)“”也不能推出“”，D錯(cuò)誤．故選:BC．5．（2021·浙江·麗水外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即，.則下列結(jié)論正確的是（

）A．； B．；C．； D．整數(shù)，屬于同一“類”的充要條件是“”.【答案】ABD【分析】根據(jù)[k]的定義，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】A：除以5，所得余數(shù)為，滿足的定義，故正確；B：整數(shù)集就是由除以所得余數(shù)為的整數(shù)構(gòu)成的，故正確；C：，故，故錯(cuò)誤；D：設(shè)，則；若整數(shù)，屬于同一“類”，則，所以；反之，若，則，即，屬于同一“類”.故整數(shù)，屬于同一“類”的充要條件是“”，正確.故選：.三、解答題6．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）通過分析初中學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，探討邏輯用語和集合的聯(lián)系．（例如，“若，則，反之不然”可表述為．）【分析】把邏輯用語的知識等價(jià)轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系得解.【詳解】解：是的充分條件，即，可表述為；是的必要條件，即，可表述為；是的充分不必要條件，即，不能推出，可表述為；是的必要不充分條件，即不能推出，，可表述為；是的充要條件，即，可表述為.7．（2022·全國·高一）已知集合，，其中，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使得“”是“”的充要條件？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.(2)若“”是“”的必要不充分條件，求a的取值范圍.【答案】(1)存在，，(2)或【分析】（1）假設(shè)存在，即，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）由題意轉(zhuǎn)化為BA，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組求解即可.(1)假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，則，即，.因?yàn)椋顷P(guān)于x的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，即，解得，即當(dāng)時(shí)，“”是“”的充要條件.(2)由題意可知，關(guān)于x的方程的兩根分別為和.因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以BA.當(dāng)，即時(shí)，，則解得；當(dāng)，即時(shí)，，則解得.綜上，a的取值范圍是或.題型九：根據(jù)充要條件求參數(shù)一、單選題1．（2021·山西太原·高一階段練習(xí)）設(shè)集合，若集合，，則的充要條件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】先根據(jù)集合的運(yùn)算，求得，結(jié)合，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，可得，因?yàn)椋裕獾茫粗喑闪ⅲ缘某湟獥l件是．故選：A．2．（2021·全國·高一專題練習(xí)）方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】按和討論方程有負(fù)實(shí)根的等價(jià)條件即可作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為有一個(gè)負(fù)實(shí)根，反之，時(shí)，則，于是得；當(dāng)時(shí)，，若，則，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，即與一正一負(fù)，反之，方程有一正一負(fù)的兩根時(shí)，則這兩根之積小于0，，于是得，若，由，即知，方程有兩個(gè)實(shí)根，必有，此時(shí)與都是負(fù)數(shù)，反之，方程兩根都為負(fù)，則，解得，于是得，綜上，當(dāng)時(shí)，方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，反之，方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，必有.所以方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是.故選：C3．（2022·江西·新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，則甲是丁的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】記甲、乙、丙、丁各自對應(yīng)的條件構(gòu)成的集合分別為，，，，根據(jù)題目條件得到集合之間的關(guān)系，并推出D，，所以甲是丁的充分不必要條件.【詳解】記甲、乙、丙、丁各自對應(yīng)的條件構(gòu)成的集合分別為A，，，，由甲是乙的充分不必要條件得，B，由乙是丙的充要條件得，，由丁是丙的必要不充分條件得，D，所以D，，故甲是丁的充分不必要條件.故選：A.二、填空題4．（2022·江蘇·高一）若“”是“”的充要條件，則實(shí)數(shù)m的取值是_________．【答案】0【分析】根據(jù)充要條件的定義即可求解.【詳解】，則{x|}＝{x|}，即.故答案為：0.三、解答題5．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，求的充要條件.【答案】【分析】依題意方程至少有一個(gè)非負(fù)根，則，即可求出參數(shù)的取值范圍，再求出方程有兩個(gè)負(fù)根時(shí)參數(shù)的取值范圍，從而求出方程至少有一個(gè)非負(fù)根的的取值范圍，即可得解；【詳解】解：的充要條件是方程組至少有一組實(shí)數(shù)解，即方程至少有一個(gè)非負(fù)根，方程有根則，解得.上述方程有兩個(gè)負(fù)根的充要條件是且，即，∴.于是這個(gè)方程至少有一個(gè)非負(fù)根的的取值范圍是.故的充要條件為.6．（2021·江蘇·高一單元測試）已知（1）是否存在m∈R使是的充要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）不存在，理由見解析；（2）存在，.【分析】（1）依題意，即可得到方程組，由方程組無解即可判斷；（2）依題意可得，再對與分兩種情況討論，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：，．（1）要使是的充要條件，則，即

此方程組無解，則不存在實(shí)數(shù)，使是的充要條件；（2）要使是的必要條件，則，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，要使，則有解得，所以，綜上可得，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，是的必要條件．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2022·重慶南開中學(xué)高一階段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【分析】易知充分性成立，取特殊值檢驗(yàn)知必要性不成立，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，成立，即充分性成立，當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，即必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．（2021·廣東·化州市第三中學(xué)高一階段練習(xí)）已知命題，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析根據(jù)集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】解：因?yàn)槭堑恼孀蛹允堑某浞植槐匾獥l件.故選：A3．（2022·江蘇·高一）“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】討論，，可得“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根”等價(jià)于“”再根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程即為，解得；當(dāng)時(shí)，，得，；所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根”等價(jià)于“”“”能推出“方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根”，反之不成立；所以“”是“方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根”的充分不必要條件.故選：B.4．（2021·陜西·西工大附中分校高一期中）已知：關(guān)于的方程的解集至多有個(gè)子集；：，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)條件得到是的充分不必要條件，再求出命題中的范圍，列出不等式求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的充分不必要條件，對于，依題意，知，所以，設(shè)，，由題意知，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故選：A.5．（2021·河北·滄縣中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：由，顯然由推不出，比如推不出，又推不出，比如推不出，故“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D．6．（2021·山西太原·高一階段練習(xí)）設(shè)集合，若集合，，則的充要條件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】先根據(jù)集合的運(yùn)算，求得，結(jié)合，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，可得，因?yàn)椋裕獾茫粗喑闪ⅲ缘某湟獥l件是．故選：A．7．（2021·全國·高一專題練習(xí)）方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】按和討論方程有負(fù)實(shí)根的等價(jià)條件即可作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為有一個(gè)負(fù)實(shí)根，反之，時(shí)，則，于是得；當(dāng)時(shí)，，若，則，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，即與一正一負(fù)，反之，方程有一正一負(fù)的兩根時(shí)，則這兩根之積小于0，，于是得，若，由，即知，方程有兩個(gè)實(shí)根，必有，此時(shí)與都是負(fù)數(shù)，反之，方程兩根都為負(fù)，則，解得，于是得，綜上，當(dāng)時(shí)，方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，反之，方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，必有.所以方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是.故選：C二、多選題8．（2022·江西省銅鼓中學(xué)高一開學(xué)考試）下列選項(xiàng)中，滿足是的充分不必要條件的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AC【分析】利用充分條件、必要條件的定義逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對于A，∵，，∴由能推出，由推不出，即是的充分不必要條件，故A正確；對于B，∵即，即，∴是的充要條件，故B錯(cuò)誤；對于C，∵，即或，∴由能推出，由推不出，即是的充分不必要條件，故C正確；對于D，∵，，取，則，由推不出；取，由推不出；故是的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò)誤.故選：AC.9．（2022·江蘇·南京師大附中高一期末）設(shè)是的必要條件，是的充分條件，是的充分必要條件，是的充分條件，則下列說法正確的有（

）A．是的必要條件 B．是的充分條件C．是的充分必要條件 D．是的既不充分也不必要條件【答案】BC【分析】根據(jù)條件得到可判斷每一個(gè)選項(xiàng).【詳解】由題意，，則.故選：BC.10．（2022·江蘇·高一單元測試）已知p：或，q：，則a取下面那些范圍，可以使q是p的充分不必要條件（）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】p：或，q：，q是p的充分不必要條件，故，范圍對應(yīng)集合是集合的子集即可，對比選項(xiàng)知AB滿足條件.故選：AB.11．（2022·福建廈門·高一期末）已知a，，則的必要不充分條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：對于A：由，即，即，所以或，故充分性不成立，由，若時(shí)，則，故必要性不成立，故A錯(cuò)誤；對于B：由，可得，由推得出，故充分性成立，故B錯(cuò)誤；對于C：由可得，所以或，故充分性不成立，反之當(dāng)時(shí)，可得，所以，故必要性成立，故C正確；對于D：由得不到，如，滿足但，即充分性不成立，反之當(dāng)時(shí)可得故必要性成立，即是的必要不充分條件，故D正確；故選：CD12．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下列選項(xiàng)中p是q的必要不充分條件的有（）A．p：a≤1，q：a＜1B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝BC．p：兩個(gè)三角形全等，q：兩個(gè)三角形面積相等D．p：x2+y2＝1，q：x＝1，y＝0【答案】AD【分析】根據(jù)充分必要條件的定義分別判斷即可．【詳解】解：A：∵a＜1?a≤1，而當(dāng)a≤1時(shí)，不一定有a＜1，∴p是q的必要不充分條件，∴A正確，B：∵p：A∩B＝A，∴A?B，∵q：A∪B＝B，∴A?B，∴p是q的充要條件，∴B錯(cuò)誤，C：∵兩個(gè)三角形全等?兩個(gè)三角形面積相等，但兩個(gè)三角形面積相等不一定推出兩個(gè)三角形全等，∴p是q的充分不必要條件，∴C錯(cuò)誤，D：當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)，則x2+y2＝1，反之，當(dāng)x2+y2＝1時(shí)，x＝1，y＝0不一定成立，∴p是q的必要不充分條件，∴D正確，故選：AD．三、填空題13．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列命題的真假：（1）是的必要條件；()（2）是的充分條件；()（3）兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)角分別相等是兩個(gè)三角形相似的充要條件；()（4）是的充分而不必要條件．()【答案】

假

假

真

假【分析】（1）利用四種條件的定義，進(jìn)行判斷；（2）利用特例進(jìn)行判斷；（3）利用四種條件的定義，進(jìn)行判斷；（4）利用四種條件的定義，進(jìn)行判斷；【詳解】（1）因?yàn)椋裕粗灰欢ǖ贸觯允堑某浞植槐匾獥l件；故命題為假.（2）例如，但是；但是，所以是的既不充分也不必要條件；故命題為假.（3）兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)角分別相等則這兩個(gè)三角形相似，反之兩個(gè)三角形相似則兩個(gè)三角形的對應(yīng)角均相等，所以兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)角分別相等是兩個(gè)三角形相似的充要條件；故命題為真.（4）因?yàn)椋曰颍允堑谋匾怀浞謼l件，故命題為假.14．（2022·江蘇·高一）若“”是“”的充要條件，則實(shí)數(shù)m的取值是_________．【答案】0【分析】根據(jù)充要條件的定義即可求解.【詳解】，則{x|}＝{x|}，即.故答案為：0.15．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）從“充分而不必要條件”“必要而不充分條件”“充要條件”與“既不充分又不必要條件”中選出適當(dāng)?shù)囊环N填空：（1）“”是“”的______；（2）“，”是“”的______；（3）“兩個(gè)角是對頂角”是“兩個(gè)角相等”的______；（4）設(shè)，，都是實(shí)數(shù)，“”是“是方程的一個(gè)根”的______．【答案】

充要條件

既不充分又不必要條件

充分而不必要條件

必要而不充分條件【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐一分析判斷即可得出答案.【詳解】解：（1）若，則，則充分性成立，若，則，必要性成立，所以“”是“”的充要條件；（2）當(dāng)，則，所以充分性不成立，當(dāng)，則，即推不出，，則必要性不成立，所以“，”是“”的既不充分又不必要條件；（3）兩個(gè)角是對頂角，則兩個(gè)角相等，則充分性成立，當(dāng)兩個(gè)角相等，兩個(gè)角不一定是對頂角，如兩角為同位角，則必要性不成立，所以“兩個(gè)角是對頂角”是“兩個(gè)角相等”的充分而不必要條件；（4）若，當(dāng)時(shí)，方程有無數(shù)個(gè)根，則是方程的一個(gè)根不成立，則充分性不成立，當(dāng)是方程的一個(gè)根時(shí)，則有，則必要性成立，所以“”是“是方程的一個(gè)根”的必要而不充分條件.故答案為：（1）充要條件；（2）既不充分又不必要條件；（3）充分而不必要條件；（4）必要而不充分條件.16．（2022·江蘇·高一）已知條件，，p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______．【答案】【分析】設(shè)，，則，再對分兩種情況討論得解.【詳解】記，，因?yàn)閜是q的充分條件，所以.當(dāng)時(shí)，，即，符合題意；當(dāng)時(shí)，，由可得，所以，即.綜上所述，實(shí)數(shù)的k的取值范圍是．故答案為：．四、解答題17．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)全集，集合，集合.(1)若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若命題“，則”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）將充分條件轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，利用子集的定義即可列出不等式求解.（2）將真命題轉(zhuǎn)化成是的子集，然后分情況討論集合為空集和非空集合，即可求解.(1)是的充分條件，，又，，，，實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)命題“，則”是真命題，①當(dāng)時(shí)，，，；②當(dāng)時(shí)，，且是的子集.，，;綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（2022·河南河南·高一期末）已知集合，或．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先得到集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；（2）首先求出集合的補(bǔ)集，依題意可得是的真子集，即可得到不等式組，解得即可；(1)解：當(dāng)時(shí)，，或，∴．(2)解：∵或，∴，∵“”是“”的充分不必要條件，∴是的真子集，∵，∴，∴，∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．19．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合和或，若是的充分條件，求的取值范圍．【答案】【分析】由是的充分條件，可得出AB，即可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以AB，又，所以．故的取值范圍為：.20．（2021·江蘇·高一單元測試）已知（1）是否存在m∈R使是的充要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）不存在，理由見解析；（2）存在，.【分析】（1）依題意