1第七章群與環主要內容半群與群的定義群的性質子群與群的陪集分解循環群與置換群環與域2半群的定義半群的實例半群的基本性質7.1半群3半群、獨異點的定義定義7.1

設V=<S,°

>是代數系統，°為二元運算，如果°運算是可結合的，則稱V為半群.定義7.2

設V=<S,°>是半群，若e∈S是關于°運算的單位元，則稱V

是含幺半群，也叫做獨異點或擬群.有時也將獨異點V記作V=<S,°,e>.4實例例1

(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加法.這些半群中除<Z+,+>外都是獨異點(2)設n是大于1的正整數，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群，也都是獨異點，其中+和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法(3)<P(B),>為半群，也是獨異點，其中為集合對稱差運算(4)<Zn,>為半群，也是獨異點，其中Zn={0,1,…,n1}，

為模n加法(5)<AA,?>為半群，也是獨異點，其中?為函數的復合運算(6)<R*,?>為半群，其中R*為非零實數集合，?運算定義如下：x,yR*,x?y=y5可交換半群與循環半群的定義定義7.3（1）給定半群<S，⊙>，若⊙是可交換的，則稱<S，⊙>是可交換半群。類似地可定義可交換獨異點<M，⊙，e>。（2）給定半群<S，⊙>和g∈S，以及自然數集合N，則g為<S，⊙>的生成元：(x)(x∈S→(n)(n∈N∧x=gn))。此時也說，元素g生成半群<S，⊙>，而且稱該半群為循環半群。類似地定義獨異點<M，⊙，e)的生成元g和循環獨異點，并且規定g0=e。6實例例2

（1）給定<P(S)，∪>和<P(S)，∩>，其中P(S)是集合S的冪集，∩和∪為集合上的并與交運算。可知<P(S)，∪>和<P(S)，∩>都是可交換半群。不僅如此，它們還都是可交換獨異點，因為與S分別是它們的幺元。（2）給定<N，+>，其中N是自然數集合，+為普通加法，則<N，+>是無窮循環獨異點，0是幺元，1是生成元。定理：每個循環獨異點都是可交換的。證明：設循環獨異點<M，⊙，e)，生成元為g，則任取x,y∈M,都有x=gm,y=gn。因此x⊙y=gm⊙gn=gm+n=gn+m=gn⊙gm=y⊙x得證7生成集定義7.4給定半群<S，⊙>及GS，則G為<S，⊙>的生成集：(a)(a∈S→a=⊙(G))∧min|G|

GS這里⊙(G)表示用G中的元素經⊙的復合而生成的元素。類似地定義獨異點<M，⊙，e>的生成集。8例3：令半群<S，⊙>，其中S={a，b，c，d}，⊙定義如下表，試證明生成集G={a，b}⊙a

b

c

dad

c

b

abbbbbcccccda

b

c

d由表可以看出：a1=a；b1=b；a⊙a=a2=d；a⊙b=c即集合｛a,b}可以生成集合{a,b,c,d}.9子半群和循環子半群定義7.5給定半群<S，⊙>及非空集合TS，若T對⊙封閉，則稱<T，⊙>為<S，⊙>的子半群。類似地定義獨異點<M，⊙，e>的子獨異點<P，⊙，e>，應注意的是e∈P。定理：給定半群<S，⊙>及任意a∈S，則<{a，a2，a3，…}，⊙>是循環子半群。證明：因為<S，⊙>是半群，所以，對任意a∈S,a⊙a∈S(封閉性)即a2∈S,于是a2⊙a∈S,ai∈S,i∈Z+

即<{a，a2，a3，…}S,并且a是生成元，于是<{a，a2，a3，…}，⊙>是循環子半群．10積半群例4：給定兩個半群<S，⊙>和<T，*>。稱<S×T，>為<S，⊙>和<T，*>的積半群，其中S×T為集合S與T的笛卡兒積，運算定義如下：<s1，t1>

<s2，t2>=<s1⊙s2，t1*t2>，其中s1，s2∈S，t1，t2∈T。由于是由⊙和*定義的，易知積半群是個半群。證明：是一個二元運算，因為⊙和*都是二元運算。考慮：（s1，t1）（（s2，t2）（s3，t3））=（s1，t1）（s2⊙s3，t2*t3）=（s1⊙（s2⊙s3），t1*（t2*t3））=（（s1⊙s2）⊙s3，（t1*t2）*t3）=（（s1，t1）（s2，t2）（s3，t3））綜上是可結合的。11積半群的性質（1）若半群<S，⊙>和半群<T，>是可交換的，則<S×T，>也是可交換的。（2）給定半群<S，⊙>和半群<T，>，且e1和

e2分別是他們的幺元，則積半群<S×T，>含有幺元<e1,e2>。（3）給定半群<S，⊙>和半群<T，>，且01

和02

分別是他們的零元，則積半群<S×T>含有零元<01，02>。（4）給定半群<S，⊙>和半群<T，>，，且s∈S的逆元s-1，t∈T的逆元t-1，則積半群<S×T，>中<s,t>的逆元為<s-1,t-1>。1213群的定義群的實例群中的術語群的基本性質7.2群的性質14群的定義定義7.7

設V=<S,°>是獨異點，eS關于°運算的單位元，若

aS，a1S，則稱V是群.通常將群記作G.例5

(1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<C,+>都是群，+是普通加法.分別稱為整數加群，有理數加群，實數加群和復數加群(2)<Q,×>,<Z+,+>不是群15例6

設G={e,a,b,c}，G上的運算由下表給出，稱為Klein四元群

eabceabceabcaecbbceacbae實例特征：1.滿足交換律2.每個元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何兩個元素運算結果都等于剩下的第三個元素16有關滅群的皆術語定義7.灣8(1摟)若群G是有扇窮集株，則敞稱G是有限呼群，否腿則稱昏為無鑼限群.群G的基扔數稱忍為群G的階，有例限群G的階集記作|G|.(2洪)只含窗單位盆元的詞群稱湯為平凡雁群.(3暗)若群G中的拾二元風運算寸是可饅交換技的，棟則稱G為交換賣群或阿貝爾(A徒be嗽l)群.實例土：<Z圍,+意>和<R馳,+匠>是無轟限群射，<Zn,>是有盆限群六，也焰是n階群.Kl屠ei伙n四元去群是4階群.慢<崇{0積},浸+>是平織凡群.上述款群都冶是交盆換群皺，n階(n≥2盡)實可搏逆矩免陣集派合關君于矩虹陣乘嗎法構成隱的群過是非茄交換萌群.17定義妨：設G是群之，a∈G，n∈Z，則a的n次冪.群中鳳元素資的冪群中堆元素毯可以育定義貌負整恐數次線冪.在<Z3,>中有23=喬(21)3=庭13=芽111仔=繼0在<Z些,+狹>中有(2)3=磁23=綿2+因2+林2惹=左618元素集的階定義嶄：設G是群喚，a∈G，使愿得等織式ak=e成立走的最怎小正茂整數k稱為a的階檔，記埋作|a|=k，稱a為k階元.若不鄭存在英這樣動的正整數k，則鴿稱a為無限沃階元.例如生，在<Z6,>中，2和4是3階元烈，3是2階元竟，1和5是6階元仍，0是1階元.在<Z雜,+攔>中，0是1階元攻，其駐它整前數的腔階都威不存概在.19群的土性質便：冪省運算于規則定理錄：設G為群緊，則G中的另冪運先算滿夢足：(1客)a∈G，(a1)1=a(2振)a,b∈G，(ab)1=b1a1(3譜)a∈G，anam=an+m，n,m∈Z(4夕)a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z(5客)若G為交豪換群真，則(ab)n=anbn.證(1計)傲(a1)1是a1的逆編元，a也是a1的逆燙元.根據蠅逆元花唯一性，遵等式認得證.(2屬)晉(b1a1)(ab)=b1(a1a)b=b1b=e,同理(ab)(b1a1)=e，故b1a1是ab的逆搞元.根據迅逆元宏的唯必一性早等式霸得證.20群的煤性質偷：方雪程存宵在惟鞏一解定理平：G為群灣，a,b∈G，方掀程ax=b和ya=b在G中有杰解且僅有古惟一滑解.例：設群G=<P({a,b})哥,>，其績中為對肅稱差.解下炭列群汽方程安：{a}X=，Y{a,b}=惹{b}解X={a}1={a}={a}，Y={b}{a,b}1={b}{a,b}=否{a}證a1b代入飽方程澆左邊們的x得a(a1b)息=欺(aa1)b=eb=b所以a1b是該唯方程始的解.下面刺證明絲式惟一勾性.假設c是方喝程ax=b的解勸，必雪有ac=b，從姥而有c=ec=非(a1a)c=a1(ac)金=a1b同理扣可證ba1是方分程ya=b的惟鍛一解.21群的教性質槐：消津去律定理嘆：G為群社，則G中適胃合消賄去律蠅，即叛對任羽意a,b,c∈G有(1民)若ab=ac，則b=c.(2燙)若ba=ca，則b=c.證明搜略例：設G=晴{a1,a2,漫…盞,an}是n階群孩，令aiG=新{aiaj|j=1太,2梳,…想,n}證明aiG=G.證臟由群河中運蘋算的洪封閉徑性有aiGG.假設aiGG，即|aiG|微<n.必有aj,ak∈G使得aiaj=aiak（j≠k）由消柳去律哄得aj=ak,與|G|熱=n矛盾.22群的闖性質竿：元拖素的雕階證(1丘)充分賣性.由于r|k，必民存在異整數m使得k=mr，所比以有ak=amr=瓶(ar)m=em=e.必要芽性.根據停除法槍，存造在整拼數m和i使得k=mr+i,播0≤i≤r1從而深有e=ak=amr+i=饞(ar)mai=eai=ai因為|a|證=r，必幅有i=層0.這就圓證明內了r|k.(2牙)由(a1)r=院(ar)1=e1=e可知a1的階岔存在.令|a1|總=t，根赴據上瓣面的看證明慮有t|r.a又是a1的逆堪元，孟所以r|t.從而謹證明京了r=t，即|a1|旨=辮|a|定理鳥：G為群窩，a∈G且|a|燙=r.設k是整音數，秋則(1澤)ak=e當且鉤僅當r|k(2紀)販|a1|亦=每|a|23實例例摧：設G是群轟，a,b∈G是有造限階辭元.證明(1摔)嫌|b1ab|杜=沉|a|蛛(異2)置|ab|地=債|ba|證(1)設|a|=r，|b1ab|=t，則有從而有t|r.另一方面，由a=(b1)1(b1ab)b1可知

r|t.從而有|b1ab|=|a|.24實例(2愉)設|ab|秀=r，|ba|廁=t，則早有由消姜去律哪得(ab)t=e，從段而可個知，r|t.同理品可證t|r.因此|ab|屢=道|ba|.257.待3子群嘗與群杏的陪箭集分姥解定義利：設G是群重，H是G的非燙空子店集，(1尸)如果H關于G中的歲運算權構成是群，樹則稱H是G的子群,記作H≤G.(2抵)若H是G的子繭群，桃且HG，則恭稱H是G的真子輩群，記營作H<G.例如nZ涼(n是自責然數)是整匙數加注群<Z遷,+描>的子保群.當n≠1時,nZ是Z的真斧子群.對任疫何群G都存拔在子疲群.G和{e}都是G的子鋤群，肆稱為G的平凡子群.26子群測判定造定理1定理雕：（判壯定定尾理一稱）設G為群斧，H是G的非臺空子旁集，拴則H是G的子倒群當慌且僅經當(1燥)a,b∈H有ab∈H(2當)a∈H有a1∈H.證鈔必要載性是糧顯然蝕的.為證程明充議分性懼，只騾需證旋明e∈H.因為H非空蘇，存館在a∈H.由條品件(2拐)知a1∈H，根眠據條校件(1撲)aa1∈H，即e∈H.27子群沒判定稀定理2定理竄：（判今定定換理二線）設G為群而，H是G的非約空子能集.H是G的子章群當言且僅瀉當a,b∈H有ab1∈H.證最必要宣性顯彎然.只證蠟充分聰性.因為H非空必，必稠存在a∈H.根據伐給定可條件帆得aa1∈H，即e∈H.任取a∈H,由e,a∈H得ea1∈H，即a1∈H.任取a,b∈H，知b1∈H.再利襖用給跟定條割件得a(b1)1∈H，即ab∈H.綜合饑上述百，可沸知H是G的子則群.28子群繞判定拾定理3定理都：（判鴿定定忍理三殃）設G為群輪，H是G的非令空有翁窮子鳴集，么則H是G的子用群當妖且僅潛當a,b∈H有ab∈H.證襪必要詳性顯黑然.為證到充分牛性，丙只需姥證明a∈H有a1∈H.任取a∈H,若a=e,則a1=e∈H.若a≠e，令S={a,a2,…后}，則SH.由于H是有籃窮集品，必假有ai=aj（i<j）.根據G中的擴消去訪律得aji=e，由a≠e可知ji>1，由塑此得aji1a=e和a肚aji1=e從而師證明恐了a1=aji1∈H.29典型爬子群貞的實掃例:生成寸子群定義丟：設G為群撕，a∈G，令H={ak|k∈Z氏}，則H是G的子刑群，主稱為攻由a生成抓的子里群，記瞎作<a>.證膜首先梨由a∈<a>知道<a>≠.任取am,al∈<a>，則am(al)1=amal=aml∈<a>根據極判定徒定理哀二可論知<a>≤G.實例不：例如惰整數她加群比，由2生成堡的子音群是<2括>=遠{2k|k∈Z搜}=砌2Z<Z6,>中，尼由2生成粥的子坦群<2慨>=跳{0怖,2刃,4幻玉}Kl營ei甘n四元嚴群G=任{e,a,b,c}的所速有生管成子衰群是扎：<e>=地{e},猶<a>=戴{e,a},遍<b>=未{e,b},劈燕<c>=沖{e,c}.30典型堂子群裁的實察例:中心C定義換：設G為群,令C={a|a∈G∧x∈G(ax=xa)}，則C是G的子仇群，奔稱為G的中心.證e∈C.C是G的非稅空子午集.任取a,b∈C，只尿需證錦明ab1與G中所朋有的世元素泥都可青交換.x∈G，有(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1=a(x1b)1=a(bx1)1=a(xb1)=癥(ax)b1=辰(xa)b1=x(ab1)由判銳定定態理二劑可知C≤G.對于麥阿貝熟爾群G，因撐為G中所撤有的秒元素老互相氏都可纖交換塔，G的中心就趨等于G.但是敬對某熟些非克交換幼群G，它域的中庸心是{e}.31典型貸子群朋的實鎮例:子群銳的交例：設G是群落，H,K是G的子感群.證明(1罵)H∩K也是G的子柜群(2歲)H∪K是G的子蠢群當宮且僅末當HK或KH證(1烏)由e∈H∩K知H∩K非空.任取a,b∈H∩K，則a∈H,a∈K,b∈H,b∈K.必有ab1∈H和ab1∈K，從嚷而ab1∈H∩K.因此H∩KG.(2縮慧)充分側性顯職然，驕只證搏必要錘性.用反坐證法.假設H?K且K?H，那角么存怪在h和k使得h∈H∧hK,k∈K∧kH推出hkH.否則檢由h1∈H得k=h1(hk)∈H，與援假設弊矛盾.同理呆可證hkK.從而者得到hkH∪K.與H∪K是子代群矛瘦盾.32圖1定義晴：設G為群,令L(G)信=潑{H|H是G的子旁群}則偏跳序集<L(G),>稱為G的子群五格子群高格實例聽：Kl扯ei協n四元浩群的盟子群沫格如經下：33陪集薪定義斯與實掉例定義禮：設H是G的子軟群，a∈G.令Ha={ha|h∈H}稱Ha是子觸群H在G中的右陪感集.稱a為Ha的代表怠元素.例：(1峽)設G={e,a,b,c}是Kl梨ei糖n四元馬群，H=<a>是G的子斃群.H所有介的右希陪集蝕是：He={e,a}=H,Ha={a,e}=H,Hb={b,c},Hc={c,b}不同并的右但陪集防只有素兩個辛，即H和{b,c}.34實例(2頑)設A={卡1,奪2,右3}，f1,f2,沖…,f6是A上的累雙射伍函數.其中f1={厘<1你,1鍋>,森<2提,2日>,熱<3可,3演>}，f2={眉<1議,2揚>,遙<2濟,1喪>,政<3塊,3城>}f3={套<1廳,3浮>,囑<2攜,2偽>,般<3自,1此>}，f4={閃<1方,1袖>,障<2附,3薄>,慮<3蚊,2芳>}f5={巾<1抗,2兔>,歐<2鬧,3號>,屯<3苗,1歐>}，f6={襲<1蝴,3燃>,墾<2淋,1序>,給<3沒,2洞>}令G=創{f1,f2,塞…施,f6}，則G關于把函數加的復倒合運揚算構察成群.考慮G的子霧群H={f1,f2}.做出H的全網體右階陪集投如下甜：Hf1={f1f1,f2f1}=H屋,謎H腿f2={f1f2,f2f2}=HHf3={f1f3,f2f3}=盾{f3,f6},Hf5={f1f5,f2f5}=謠{f5,f4}Hf4={f1f4,f2f4}=舊{f4,f5},Hf6={f1f6,f2f6}=值{f6,f3}結論狡：Hf1=Hf2，Hf3=Hf6，Hf4=Hf5.35陪集怕的基躍本性尖質定理應：設H是群G的子克群，曉則(1雹)He=H(2侄)a∈G有a∈Ha證(1肢)He=疾{he|h∈H}粒=鵲{h|h∈H}姨=H(2旋)任取a∈G，由a=ea和ea∈Ha得a∈Ha36定理前：設H是群G的子丘群，悼則a,b∈G有a∈Hbab1∈HHa=Hb陪集件的基從本性多質證走先證a∈Hbab1∈Ha∈Hbh(h∈H∧a=hb)h(h∈H∧ab1=h)ab1∈H再證a∈HbHa=Hb希.充分蒙性.若Ha=Hb，由a∈Ha可知寫必有a∈Hb.必要蓋性.由a∈Hb可知蟲存在h∈H使得a=hb，即b=h1a任取h1a∈Ha，則聲有h1a=h1(hb)酸=奧(h1h)b∈Hb從而匠得到HaHb.反之率，任悟取h1b∈Hb，則奶有h1b=h1(h1a)左=耳(h1h1)a∈Ha從而逮得到HbHa.綜合谷上述坊，Ha=Hb得證.37定理劈燕：設H是群G的子鐘群，奴在G上定物義二脹元關明系R：a,b∈G,憶<a,b>∈Rab1∈H則R是G上的釋等價秋關系期，且[a]R=Ha.陪集購的基暗本性熔質證徑先證迎明R為G上的酸等價徹關系.自反宗性.任取a∈G，aa1=e∈H<a,a>∈R對稱露性.任取a,b∈G，則<a,b>∈Rab1∈H(ab1)1∈Hba1∈H<b,a>∈R傳遞西性.任取a,b,c∈G，則<a,b>∈R∧<b,c>∈Rab1∈H∧bc1∈Hac1∈H<a,c>∈R下面眾證明咳：a∈G，[a]R=Ha.任取b∈G，b∈[a]R<a,b>∈Rab1∈HHa=Hbb∈Ha38推論推論設H是群G的子墾群,則(1峰)a,b∈G，Ha=Hb或Ha∩Hb=(2大)皺∪{Ha|a∈G}割=G證明臨：由育等價誦類性債質可而得.定理遺：設H是群G的子陵群，霉則a∈G，H≈Ha證明游略39左陪驗集的抬定義濤與性葉質設G是群撐，H是G的子合群，H的左陪燦集，即aH=距{ah|h∈H}，a∈G關于單左陪呆集有加下述貓性質腔：(1冠)eH=H(2板)a∈G，a∈aH(3晨)a,b∈G，a∈bHb1a∈HaH=bH(4交)若在G上定甩義二咬元關蔽系R，a,b∈G，<a,b>∈Rb1a∈H則R是G上的揚等價游關系臣，且[a]R=aH.(5柏)a∈G，H≈aH40La茅gr國an寬ge定理定理谷：（La已gr斷an者ge）設G是有塑限群芳，H是G的子啊群，伴則|G|紗=渴|H|·旅[G:H]其中[G:H]是H在G中的級不同別右陪研集(或左冒陪集)數，煮稱為H在G中的指數.證欠設[G:H]榨=r，a1,a2,…躺,ar分別救是H的r個右潑陪集奮的代禍表元瞎素，G=Ha1∪Ha2∪…寒∪Har|G|欣=崖|Ha1|康+邁|Ha2|先+雨…軌+抄|Har|由|Hai|侄=谷|H|，i=寨1,戴2,吳…,r,得|G|鍋=揚|H|·r=侮|H|·莊[G:H]41La騰gr區an穴ge定理偏的推尤論推論1設G是n階群星，則a∈G，|a|是n的因婦子，里且有an=e.證談任取a∈G，<a>是G的子劉群，<a>的階揮是n的因食子.<a>是由a生成晶的子仔群，擋若|a|夏=r，則<a>護=古{a0=e,a1,a2,…滔,ar1}即<a>的階轟與|a|相等,所以|a|是n的因造子.從而an=e.推論2對階億為素找數的撒群G，必盾存在a∈G使得G=溫<a>.證甩設|G|眨=p，p是素怠數.由p≥2知G中必省存在睛非單耍位元.任取a∈G，a≠e，則<a>是G的子笨群.根據雄拉格確朗日霸定理插，<a>的階甜是p的因須子，聚即<a>的階急是p或1.顯然<a>的階尤不是1，這就紛推出G=齒<a>.42La例gr飽an圖ge定理盯的應厭用命題：如投果群G只含1階和2階元猶，則G是Ab更el群.例：證明6階群失中必擦含有3階元.證棍設a為G中任列意元蹄素，敲有a1=a.任取x,y∈G，則xy=按(xy)1=y1x1=yx，因此G是Ab腐el群.證略設G是6階群始，則G中元花素只握能是1階、2階、3階或6階.若G中含耽有6階元嗓，設廁為a，則a2是3階元.若G中不勢含6階元賊，下搶面證票明G中必槍含有3階元.如若布不然乎，G中只恨含1階和2階元杰，即a∈G，有a2=e，由半命題抹知G是Ab陡el群.取G中2階元a和b，ab，令H=熟{e,a,b,ab}，則H是G的子粉群，帥但|H|框=拋4，|G|冠=父6，與滴拉格精朗日騾定理臨矛盾.43例：證明而階小鹿于6的群贊都是Ab稍el群.La篇gr讓an致ge定理面的應振用證1階群絮是平會凡的掏，顯點然是穩阿貝糖爾群.2,勺3和5都是患素數御，由微推論2它們嚴都是薯單元往素生袖成的味群，族都是Ab紐奉el群.設G是4階群.若G中含縣有4階元趴，比移如說a，則G=<a>，由怪上述分穩析可圈知G是Ab銅el群.若G中不智含4階元穿，G中只亮含1階和2階元代，由氣命題煎可知G也是Ab梅el群.44/5前9利用恰拉格萌朗日依定理回求子縣群任何孕素數泄階群墨除自漲身外拆，只林含有修平凡四子群辣。任何映非素親數階捎群僅耕可能蹲含有杜因子嘗階子衣群。需（6的因迎子：1，6，2，3）45/5獨9例：趁求<Z6,+6>的所煮有子疼群。解：蛇這是臉一個6階群性，只燈可能誰含有1，2，3，6階子暖群。先構折造+6的運柿算表捧：+601234500123451123450223450133450124450123550123446/5撿9由子事群的燒定義毫知道腿，子超群中六一定灣要含琴有原鴿群的桃么元蛾，因機此，1階子優群是<{罵0}冠,+6>，6階子礎群是<Z6,+6>。剩徐下的葬，是2階和3階子榨群。再分贏析表葬中的留元素哀，0是么箭元，0，3的逆禮元是南自身牙；1和5互為輸逆元座，2和4互為卵逆元掩。2階子綁群中脂，含織有么汽元0，加慰入的1個元起素必巴須有鳳逆元允，因歐此只絲式能加劉入逆螺元是遣自身姿的元今素——趙3。考劑察<{鎖0,乎3}草,+6>，滿帶足封睡閉性下，因靜此是武子群仰。3階子哥群中漂，含奴有么腫元0，加蛋入兩崇個元炕素，夫有兩掛種方真式：茶一是撥加入偶非么曉元的畝兩個效等冪趨元；旗二是仙加入圈互為哲逆元剃的兩字個元移素。唐這里虹只能興用第蓮二種足方案遺。考慮<{柄0,鵝1,頌5}燃,+6>，由犬于1+61=贊2，不男滿足憂封閉黎性，堤因此腸排除太；考察<{樣0,吳2,柄4}早,+6>，滿探足封忽閉性漏，因萌此是孝子群配。綜上礎所述鴉，<Z6,+6>有四冊個子蠟群，饑分別貫是<{霞0}汽,+6>，<Z6,+6>，<{灶0,現3}柏,+6>，<{貪0,留2,地4}膚,+6>477.貢4循環撤群與將置換尸群定義仁：設G是群因，若遵存在a∈G使得G={ak|k∈Z疾}則稱G是循環真群，記家作G=<a>，稱a為G的生積成元.循環糧群的雹分類喂：n階循誓環群和無限勁循環鏟群.設G=<a>是循設環群抓，若a是n階元慎，則G=嚼{a0=e,a1,a2,查…徑,an1}那么|G|度=n，稱G為n階循憲環群.若a是無士限階狹元，遮則G=墓{a0=e,a±1,a±2,盜…匙}稱G為無幸限循他環群.48循環錫群的龍生成粗元定理行：設G=<a>是循鑒環群.(1茶)若G是無盆限循淘環群成，則G只有伍兩個注生成錘元，席即a和a1.(2遙)若G是n階循觸環群么，則G含有(n)個生役成元.對于抵任何泛小于n且與n互素銳的數r∈{0,億1,精…,n-1焦},ar是G的生驚成元.(n)成為俱歐拉驗函數誦，例翻如n=1摧2，小漲于或鑒等于12且與12互素采的正整班數有4個：1,吉5展,芒7,球1弓1，所以(1態2)砌=4棒.49證明證(1符)顯然<a1>G.ak∈G，ak=(a1)k<a1>，因此G<a1>，a1是G的生釣成元.再證元明G只有a和a1這兩額個生岔成元.假設b也是G的生秒成元尖，則G=<b>.由a∈G可知紹存在算整數t使得a=bt.由b∈G=決<a>知存皺在整絮數m使得b=am.從而偵得到a=bt=京(am)t=amt由G中的蛛消去雨律得amt1=e因為G是無義限群檔，必秧有mt1都=犬0.從而患證明孫了m=t=泉1或m=t=1，即b=a或b=a150(2摘)只須椒證明誦：對棗任何狼正整伏數r(r≤n)，ar是G的生折成元n與r互素.充分符性.設r與n互素襖，且r≤n，那勉么存英在整丘數u和v使得ur+vn=殘1從而a=aur+vn=有(ar)u(an)v=葬(ar)u這就廁推出ak∈G，ak=迫(ar)uk∈<ar>，即G<ar>.另一鋼方面勻，顯真然有<ar>G.從而G=材<ar>.必要筐性.設ar是G的生破成元墊，則|ar|宵=n.令r與n的最觸大公距約數為d，則午存在狠正整軟數t使得r=dt.因此,尸|ar|是n/仙d的因殘子，呆即n整除n/米d.從而輸證明細了d=雹1.證明51實例例：(1首)設G={e,a,表…破,a11}是12階循末環群和，則(1宮2)木=4展.小于12且與12互素砌的數棉是1,日5割,類7,滅1避1,由定脈理10坡.1炮3可知a,提a5,a7和a11是G的生各成元.(2慕)設G=<柏Z9,>是模9的整芽數加貸群，丟則(9浸)=爐6.小于9且與9互素的本數是1,溜2乖,婚4,來5賣,麥7,翅8翅.根據豎定理10御.1廣3，G的生貼成元懸是1,佛2凈,4,盛5斥,脹7和8.(3借)設G=3繳Z=邪{3z|z∈Z抹},G上的圾運算摔是普饅通加疫法.那么G只有兩個水生成利元：3和3.52循環賤群的王子群定理街：設G=<a>是循征環群.(1嶄)設G=<a>是循席環群振，則G的子該群仍數是循餡環群.(2塵)若G=<a>是無皂限循劈燕環群蹲，則G的子柳群除{e}以外窯都是紡無限循環逃群.(3欲)若G=<a>是n階循趟環群及，則示對n的每府個正諸因子d，G恰好沫含有一薪個d階子銷群.53證明證(1撇)設H是G=<a>的子蹄群，懂若H={e}，顯罵然H是循碗環群排，否則取H中的陵最小奔正方召冪元am，下稱面證蜂明H=<am>.易見<am>H.下面絮證明H<am>.為此年，只汁需證病明H中任析何元昌素都辱可表撓成am的整途數次曉冪.任取al∈H，由乘除法挺可知鑰存在輔整數q和r，使快得l=qm+r，碗其中0≤r≤m1ar=alqm=al(am)q由al,am∈H且H是G的子寶群可邀知ar∈H.因為am是H中最參小正窗方冪丑元，寒必有r=剩0.這就到推出al=泰(am)q∈<am>54證明(2甩)設G=<a>是無輩限循懶環群報，H是G的子術群.若H≠{e}可知H=<am>，其拘中am為H中最妻小正例方冪則元.假若|H|=t，則|am|=t，從而限得到amt=e.這與a為無蠻限階才元矛坑盾.(3)設G=<a>是n階循環群，則G={a0=e,a1,…,an1}下面證明對于n的每個正因子d都存在一個d階子群.易見是G的d階子群.假設H1=<am>也是G的d階子群，其中am為H1中的最小正方冪元.則由(am)d=e

可知n整除md，即n/d整除m.令m=(n/d)·l，l是整數，則有

這就推出H1H.又由于|H1|=|H|=d，得H1=H.

55實例例11(1岡)G=<敵Z,亂+>是無折限循制環群睬，其旋生成思元為1和1.對于杯自然徑數m∈N，1的m次冪權是m，m生成絨的子盯群是mZ，m∈N犬.即<0特>分=妨{0建}管=蔑0Z奏<m>翠=憂{mz|z∈Z齊}=mZ，m>0(2速)G=Z12是12階循晝環群.狐12正因贈子是1,缺2,歉3,開4,漲6和12，G的子懂群:牲1階子治群<1忽2>秤=<覆0>瀉={絹0}芝2階子碗群<6趙>=狠{0忌,6怖}適3階子腥群<4蜘>=招{0湊,4李,8搖}總4階子發群<3銷>=銅{0贈,3民,6猾,9溫}風6階子望群<2繼>=肥{0客,2秧,4月,6扔,8鞠,1斧0}妹12階子棗群<1掀>=聽Z1256n元置絡換及臂乘法定義暖：設S=斯{1伏,踢2,街…計,n},S上的毯任何加雙射述函數σ:S→S稱為S上的n元置嚼換.例如S={賊1,耕2湊,虜3,閣4聲,蕉5}妻,下述憲為5元置墊換定義賣：設σ,景τ是n元置吸換,σ和τ的復薦合σ°τ也是n元置蝦換,稱為σ與τ的乘內積,記作σ水τ.例如57n元置品換的箱輪換疊表示設S=裂{1牲,寄2,牧…達,n}，對符于任殃何S上的n元置央換,存在窮著一史個有限浴序列i1,i2,河…,ik,k≥1盤,豈(可以偷取i1=1身)使得(i1)拴=i2,(i2)冬=i3,棚…,(ik1)衰=ik,(ik)逼=i1令1=叢(i1i2…ik),是分解揭的第侵一個臨輪換.將寫作1臘,繼續煤對分解.由于S只有n個元獲素,經過丹有限如步得郵到=12…t輪換赴分解換式的弟特征輪換玻的不桃交性分解寨的惟曾一性:若=12…t和=12…s是的兩刺個輪限換表規示式口，則夜有{1,2,墨…,t}夸=翁{1,2,與…,s}58例：設S=著{1潮,島2,圓…芬,條8崖},扛則洋輪換亞分解管式為籠：=藍(1脂5兵2羞3勵6兼)硬(4格)捕(7佩8幼)課=逮(1螞5誦2割3偏6唇)之(7雹8小)=翅(1窩8盛3醋4漿2推)躺(5童6跡7奮)實例59置換廈的對印換分認解設S=發{1菠,2鹿,…扮,n}，=鞏(i1i2…ik)是S上的k階輪貫換，可以進一幣步表租成對螺換之累積，般即(i1i2…ik)狡=語(i1i2)冒(i1i3)菜…也(i1ik)任何n元置棟換表窮示成上不交清的輪建換之伍積，綠然后軋將每軌個輪漫換表談成對絞換之趨積.例如8元置星換=閉(1積5知2蓋3惹6姿)煙(7啦8腫)戒=岔(1翁5悼)狡(1絨2駱)想(1角3蓮)透(1路6誓)碎(7堵8淚)=凳(1脈8殿3勉4虜2爽)誓(5別6找7縱)兄=次(1館8欠)姻(1里3果)閥(1陷4合)婆(1影2艦)覺(5林6遙)發(5箭7療)60對換蒸分解跑的特挺征對換愈分解柱式中肥對換醬之間評可以的有交宴，分瞧解式淡也不碎惟一.例如4元置拳換可以口有下民面不運同的杜對換贏表示億：=再(1佩2與)哲(1南3織)，=終(1聾4貫)蜂(2捕4紛)火(3進4型)黑(1喉4室)表示咸式中越所含摩對換壩個數異的奇匠偶性懂是不于變的.如果n元置調換可以井表示躺成奇踩數個略對換辭之積甲，則擊稱為奇置倘換，否寬則稱得為偶置跑換，不碧難證睛明奇姨置換附和偶胳置換阿各有n!/辮2個.61n元置例換群所有暖的n元置猾換構宋成的叢集合Sn關于圾置換羨乘法召構成核群，稱為n元對害稱群.n元對瓦稱群派的子志群稱濟為n元置回換群.例：設S=監{1鳥,昨2,桑3裹}，3元對破稱群S3={狐(少1)趙,殖(1互2貪),嗎(密1色3)忌,矩(2步3毫),艷(回1周2蔑3)準,已(1埋3鹽2布)租}(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(12)(1)(123)(132)(13)(23)(13)(132)(1)(123)(23)(12)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(123)(23)(12)(13)(132)(1)(132)(13)(23)(12)(1)(123)62Sn的子著群n元交乖錯群An是Sn的子捕群，An是所川有的n元偶偵置換織的集形合.證斧恒渡等置叉換(1域)是偶筆置換滑，所幟以An非空.根據稠判定炸定理升三，符只需串證明我封閉柄性：任取,∈An，,都可扇以表基成偶雙數個禽對換伶之積滴，那褲么也可郊以表脾成偶害數個呈對換譯之積準，所敞以∈An.實例谷：S3的子嗓群格S3={羨(1似),遺(孕12釋),根(彼13棗),木(喜23記),(1冰23灑),喉(欠13蛇2)引},A3={傭(1往),桂(裹12六3)從,絨(1危32豈)}鑼,{(斤1)掘},{(帆1)攏,訪(1尼2)野},逆{虎(1鮮),川(偶13犬)}藍,{(癢1)留,厭(2療3)丹}.63/1笨257.屢2半群境和獨右異點劫的同棟態與胃同構定義7.數2.蹈1給定土兩個葡半群<S，⊙>與<T，*>，則<S，⊙>~<T，*>：(f)(f∈TS∧(x)(y)(x，y∈S→f(x⊙y)=f(x)*f(y))并稱f為從<S，⊙>到<T，*>的半累群同資態映責射。由定厘義可幅以知泳道，邪半群哲同態表映射f可以凡不是爺惟一惠的。64/1臥25與前谷面定出義類絹似，輝根據旱半群虜同態司映射f是單榜射(一對抗一)、滿色射、宇雙射羅，把格半群德同態咳映射f分別模定義畜半群珠單一跡同態標映射箭、半泰群滿甲同態將映射衛和半體群同裂構映窮射。如果敏兩個鄉豐半群揮，存歷在一捎個同宰構映應射，敏則稱鵲一個充半群鄰同構些于另揉一個催半群娃。由于爐代數陵結構岔之間湖的滿妙同態妄具有器保持濕運算望的各伐種性榆質，撞對于臣半群名滿同匯態當棗然完堪全適漏用。65/1昨25下面釘給出廊一個斥半群覆同態遇保持能等冪織性的趣定理折。定理7.雀2.辮1如果f為從<S，⊙>到<T，*>的半硬群同純態映燒射，脖對任壺意a∈S且a⊙a=a，則f(a)屈*f(a)=f(a)。證明桌：因咱為對父任意a∈S且a⊙a=a而f是同聽態映怨射，魄即有f(a⊙a)=戀f(市a)壩=f(登a)俗*拋f(備a)著,即等謀冪性比保持陡．66/1腰25由于午半群竹同態俊映射杏是個或函數參，因急此可獎對半娃群同叫態映粥射進濾行復介合運么算，偏從而統產生團新的杠半群工同態井映射持。請才看如驗下定犧理：定理7.蔬2.甚2如果g是從<S，⊙>到<T，☆>的半俘群同翻態映趁射，h是從<T，☆>到<U，*>的半輸群同居態映歐射，糾則h○g是從<S，⊙>到<U，*>的半喚群同善態映絲式射。證明顏：對室任意x,殲yS桂,有(h速○g咸)(盾x⊙詠y)笨=h幟(g鉗(x瓣⊙y府))/*也gTS且是兼同態仔＊／=h晝(g頸(x咱)介☆g閘(y票))=h每(g兼(x嫁))逢*h賤(g炮(y顯))/*糟hu閃t且是攪同態證＊／即(h壯○g柳)始us且是火同態捉．67/1恰25定義7.成2.將2若g是從<S，⊙>到<S，⊙>的半坊群同蹦態映股射，積則稱g為半燙群自鞠同態賄映射來；若g是從<S，⊙>到<S，⊙>的半布群同棵構映萍射，俯則稱g為半登群自赤同構都映射補。定理7.誕2.病3給定辜半群<S，⊙>，如縮慧果A={g|g為<S，⊙>到<S，⊙>的半鵲群自寬同態墊映射}且○包是函阿數復虎合運膽算，闖則<A，○>為半鞠群。該定謊理是冷明顯舍的，奶由前論一個妙定理表知○右在Ａ旋上是腦封閉虎的，糟函數仰的復緩合運忙算是控可結吸合的率．68/1舊25由于雀恒等擁映射id泊A是復聯合運勉算○楚的幺血元，挨因此晃可得擴下面綿定理樣：定理7.楚2.敬4給定灰半群<S，⊙>，若B={h|h為<S，⊙>到<S，⊙>的半怕群自航同構曠映射}，○飼為函惑數復漂合運曬算，拜則<B，○逃，id撲A>是獨梨異點壯。定理7.寄2.斜5給定逐半群<S，⊙>，又<SS，○>是從S到S的所墓有函乎數在陽復合躍運算幕○下返構成乘的函迅數半士群，模則存剝在從<S，⊙>到<SS，○>的半塔群同棉態映皆射g，或唱者說<S，⊙>半群漏同態最于<SS，○>。但該摸函數綠是射疼入的廚．69/1微25例7.社2.妥1給定襪半群<S，⊙>，其中S={a，b，c}，⊙置定義松由表7.摟2.臟1所示扎。今定附義g∈(SS)S，g(a)=fa，g(b)=fb，g(c)=fc，這傳里fa，fb，fc∈SS，并壯且fa(a)=afa(b)=bfa(c)=cfb(a)=bfb(b)=cfb(c)=afc(a)=cfc(b)=afc(c)=b顯然待，SS中有33=漲27個元姻素，監且<SS，○>是獨剖異點桶。根泳據定獻理7.蝴2.襪5可知南，g是從<S，⊙>到<SS，○>的半惕群同風態映壁射。70/1棕25表7.裂2.忍1⊙abcaabcb喜b偽c著ac絮c元a捆b上面言介紹同半群寄同態孩及有幅關定瘦理。您接著勞討論窮獨異快點之露間的勁同態執及其療有關東定理規。71/1擔25定義7.走2.亦3給定抓獨異曉點<M，⊙案，eM>和<T，*現，eT>，則<M，⊙糊，eM>~<T，*睛，eT>：(g)廢(g氧∈TM∧(x)懇(y)耽(施x，y∈造M→轎g(扁x⊙登y)局=趕g(尤x)擴*g馬(y托))箏∧g抗(eM)=寨eT)并稱g為從<M，⊙魚，eM>到<T，*深，eT>的獨家異點增同態陰映射五。注意況，獨魯異點炮同態洪區別筑半群闖同態聞就在情于保胸持幺偉元，精即g(辜eM)=搭eT。因套此，蔑半群罪同態辛未必