第7講 拋物線拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：(1)在平面內；動點到定點F的距離與到定直線l的距離相等；定點不在定直線上．2標準方程

2＝px

2＝px0)

22py

x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點對稱軸

O(0，0)焦點 p

p

2，02

－，0

0，

0，－222離心率 222準線方程范圍

px＝－2x≥0，y∈R

px＝2x≤0，y∈R

py＝－2y≥0，x∈R

py＝2y≤0，x∈R開口方向 向右焦半(其中 p

向左 向上 向下p p p

＋，y)) 0 2

0 2 0 2 0 20 0[疑誤辨析]判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)Fl的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．( )若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定切．( )若一拋物線過點(－2，3)，則其標準方程可寫為2＝)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形答案：(1)×(2)×(3)×(4)×1．(選修21P72練習T1改)過點P(－2，3)的拋物線的標準方程是( )9 42＝－x或2＝y2 39 42＝x或2＝y2 39 42＝x或2＝－y2 39 42＝－x或2＝－y2 3解析：選A.設拋物線的標準方程為＝kx或2＝m，代入點9494232323)，解得＝－＝，所以＝－x或2＝949423232．(選修21P73A組T3改)拋物線28x上到其焦點F距離為5的點P( )A．0個 B．1個C．2個 D．4個解析：選C.設x，y|P＝x

，所以1 1 1 1 1x＝3，y1

＝±26.故滿足條件的點P有兩個．故選C.[易錯糾偏](2)忽視p的幾何意義；(3)易忽視焦點的位置出現錯誤．1．拋物線82＝0的焦點坐標( A．(0，－2) 1C.0，－

B．(0，2) 1D.0，

321解析：選C.由＋＝，得2＝－.8p1p1

0，－12＝，

＝，所以焦點為

32，故選C.8 16 已知拋物線C與雙曲線2－21有相同的焦點且頂點原點，則拋物線C的方程是( )A．2＝±2C．2＝±x

B．2＝±xD．2＝±4D.2020)p拋物線方程為2＝±p0)，則＝2，所以22，所以拋2物線方程為2＝±42.故選D.若拋物線的焦點在直線上，則此拋物線的準方程為 ．所以拋物線的(40)(0，2)，故所求拋物線的標準方程為216x或2＝.答案：216x或2＝8y拋物線的定義、標準方程與應用(高頻考點)拋物線的定義是高考的熱點，考查時多以選擇題、填空題形式出現，個別高考題有一定難度．主要命題角度有：求拋物線的標準方程；(3)求距離和的最值．角度一求拋物線的標準方程p p已知動圓過定點

，2 2

2則動圓圓心的軌跡E的方程．p 【解析】依題意得，圓心到定點F2，0的距離與到直線x p＝－E2物線，其方程為2p.【答案】22px角度二求拋物線上的點與焦點的距離已知F是拋物線＝x的焦點M是C上一點FM的延長線交y軸于點若M為FN的中點，【解析】法一：依題意，拋物線28x的焦點準線，因為M是C的延長線交y軸于點為FN的中點，設)，所以2，所以±42)，|FN|＝4＋32＝6.法二：依題意，拋物線：28x的焦點(20)，準線＝－2，因為M是C的延長線交y軸于點FN點，則點M1＝6.【答案】6角度三求距離和的最值已知拋物線2x的焦點是，點P是拋物線上的動點又有點B(3，2)，的最小值．BBQ點P|P

Q|＝|BQ|＝4.1 1 1 1 1即|PB|＋|PF|的最小值為4.【答案】4B3，4)，的最小值．解：由題意可知點(3，4)在拋物線的外部．因為|PB|＋|PF|的最小值即為兩點間的距離，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25.|PB|＋25.拋物線定義的應用利用拋物線的定義解決此類問題，應靈活地進行拋物線上焦點，看到焦點想到準線”．Fp p＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.2 21．已知拋物線2x的焦點為，準線為P是l上點Q是直線PF與C的一個交點，＝，則|Q|＝( )7A.2C．3解析：選C

5B.2D．2FP

3 Q所以||＝4|

|，所以PF＝.如圖，過作||4′，設l與x軸的交點為則|PQ||QQ′|3||| 所以PF＝|AF||| 所以|QQ′|＝3，根據拋物線定義可知|QF|＝|QQ′|＝3.如圖，設拋物線2x的焦點為點的直線上有三個不同的點，其中點C在yBCF與△ACF比是()|BF|－1A.|AF|－1B.|B21B.|A21|BF|＋1C.|AF|＋1D.|B21D.|A21解析：選A與△ACF三點共線，易知△BCF△ACF的面積之比就等于|AC|點l的方程為.因為點B在拋物線上，過分別作與準線垂直，垂足分別為點，且與y軸分別交于點1，|AN|＝|AF|1.在△CANBM∥AN，所以

|AC|＝|AN|＝|BF|－1|－1|AF .|－1拋物線的性質及應用CCC的準線于兩點．已5，則C的焦點準線的距離( )A．2C．6

B．4D．8(2)(2020·P為拋物線22F為拋物線的焦點，的最小值( )1A．2 B.21 1C. D.4 8【解析】(1)由題意，不妨設拋物線方程為2＝p＞0)，由2，|DE|＝25，可取

4Ap，2

2，

pD－，

5，設O 2 為坐標原點，由，得2

2＋8＝4＋5，得

p＝4，所以選B.1 1由題意知2＝，則0，，設

，22)，則|P|＝

2 8 0 01 1 12－

4＋2＋＝2＋，所以當2＝0時，0||PF|

08＝.1＝.

0 20 64 0 8 0min 8【答案】(1)B(2)D拋物線性質的應用技巧物線方程化成標準方程．要結合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質以形助數．1．已知拋物線2x的焦點為x，y)是C上一點，0 0x|AF 5，則x＝( )x|＝40 0A．1 B．2C．4

D．8解析：選A.由題意知拋物線的準線為＝－.因為|x 1解析：選A.由題意知拋物線的準線為＝－.因為|

AF 5，|＝x4 4|＝x＋＝||＝根據拋物線的定義可得x1 AF 5，解得＋＝||＝x

＝1.0 4 40 02．(2020·22p(>0)的焦點為為坐標原點，M△MFO的面積為43，則拋物線的方程( )26xC．216x28x15xD．y2＝2pB.設，2p 3p x p x y p＝2，由拋物線定義知＋＝2，所以＝，所以＝±3，2 2又△MFO

1p p p p432 23舍去)．所以拋物線的方程為28.

＝4

＝4(

＝－43(2020·杭州中學高三月設拋物線p(＞0)的焦點為準線為點若線段FA的中點B在拋物線上，F到l的距離．解析：依題意可知

p F2，0， 所以

p 點坐標為4，1，代入拋物線方程解得

2，所以F到

FB pp32答案：

的距離為2，|324

|＝＋＝ .42 4拋物線與圓的交匯ClC兩點那么拋物線C的準線與以AB為直徑的圓的位置關系( )相離C

相切D(2)(2020·A是拋物線2＝p(>0)為其焦點，以FC

128的面積是3，則拋物線的方程為( )212xC．216x

214xD．218x【解析】(1l的垂線，垂足分別為A

1|＝(|

AA|＋|BB|)．由拋物線定義1 1

1 2 1 1可知|，1 1所以|＋|AA

1AB

M到準線的1 1

|＝|2

|，即圓心距離等于圓的半徑，故以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．|DF|

DF|由題意，如圖可得BF＝cos30°|||＝p，可得2p，3從而2p，3由拋物線的定義知點A到準線的距離也為2p，3又因為△ABC

128 12p2p128的面積為3，所以× × ＝ ，2 3 3 3解得＝，故拋物線的方程為216.【答案】(1)B(2)C解拋物線與圓的交匯問題的方法者的元素關系列出相應關系式．是求解圓與拋物線綜合問題的有效方法．0

y)為拋物線：28yF為拋0物線CFC的準線相交，則y0

的取值范圍( )A．(0，2)C．(2，＋∞)

B．[0，2]D．[2，＋∞)解析：選C.設圓的半徑為r，因為F(0，2)是圓心，拋物線C的準線方程為y＝－2，由圓與準線相交知r>4，因為點M(x0

，y)0為拋物線2y上的一點，所以F|y0

＋2＞4，所以y0＞2.[基礎題組練]已知點23)在拋物線2p>0)的準線上，記C的焦點為則直線AF的斜率( )4A．－33C．－4

B．－11D．－2C.由已知得準線方程為F2，0)．又A(－2，3)，所以直線AF的斜率

3－0 3＝－.－2－2 4已知拋物線C1

：2＝p>0)的準線與拋物線C2

：2＝－兩點，C1

1，則C的方程( )122yC．2y2＝2y2D．2＝2y

p 解析：選A.由題意得，F0，，不妨設A

，－，B(－p， －)，所以＝·2·＝1，則＝1，即拋物線p S 1 pp p－)，所以＝·2·＝1，則＝1，即拋物線

2C的方程是2 △FAB2 12，故選A.3．(2020·ABF的頂點F是拋物線2B在拋物線的準線l上且A的位置( )在CC．在C

p

在C上D．與ppB.3p

B－，m，由已知有 2

AB中點的橫坐標為，則22A ，△ABF2

是邊長＝2p的等邊三角形，即＝23p23p

－＋2＝p，所2

2＋2＝2，所以m＝±3p，所以2，±2

3p，代入

22px中，得點A在拋物線C上，故選B.已知拋物線22p0)的焦點為PxyP(x，1 1 1 2 2y)，P(x，y)在拋物線上，且2x＝x＋x，則( )2 3 3 3 2 1 3A．|FP|＋|FP|＝|FP|1 2 3B．FP2＋FP|FP21 2 3C．|FP|＋|FP|＝2|FP|1 3 2D．|FP|·|FP|＝|FP|21 3 2p p解析：選C.|FP|＝x＋，|＝x＋，1 1 2 2 2 2p|FP|＝x＋，3 3 2所以|FP|＋|FP|＝x

p＋x

p＝(x

＋x)＋p＝2x

＋p＝ ＋ ＋1 3x＋2 p＝2|FPx＋2

1 2 3 1 3 222拋物線24x的焦點為F且斜率為3x軸上方的部分相交于點，垂足為△AKF的面積( )A．4C．43

B．33D．8解析：選C.F(1，0)，直線3(x－1)，代入24x得210＋3＝，x x1解得＝3或＝.3Ax軸上方且直線的斜率為323)．因為|A|＝A|3＋1AF的斜率為360°，所以∠KAF＝60°，所以△AKF為等邊三角形，所以△AKF

34×42＝43.α的直線l經過拋物線Г2＝p>0)的焦點，與拋物線Г交于BA x B x

|AF|m

的值( )在軸上方

BF

cos||m

m2mp解析：選A.設拋物線2p(>0)的準線為＝－.2如圖所示，分別過點作垂足分別為在△ABCBAC等于直線AB的傾斜角，|AF|m

AF|＝m|BF|，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(m＋1)|BF|，|由|BF＝，||根據拋物線的定義得，|AM|＝|AF|＝m|BF|，|BN|＝|BF|，所以|AC|＝|AM|－|MC|＝m|BF|－|BF|＝(m－1)|BF|，Rt△ABC中，cos∠|（＋1）|||AB＝m BF＝|（＋1）||m－1m ，故選A.＋1已知拋物線22p>0M到焦點F的距離等于則直線MF的斜率．

，y

p＋＝2p，解M M M 23px＝，代入拋物線方程可得

y＝±3pMF的斜率為M 2 My ±3pMp＝p＝±3.x－M 23答案：±3已知拋物線C的方程為2p>0)，○M的方程為2＋120如果拋物線C的準線與○M相切那么p的為 ．解析：將○·M的方程化為標準方程(＋42＋24，圓心坐p標為(－4，0)，，22所以4.2 答案：124若點P在拋物線2xQ在圓(32＋21的最小值．解析：由題意得拋物線與圓不相交，且圓的圓心為A(3，0)，則|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，當且僅當三點共線時取等號，所以當|PA|取得最小值時，|PQ|最小．設yy2＝

，＝ ＝（x（x3220 0 5211 5－6x9x0 0 0＝ x－－6x9x0 0 011最小值2

0 2 4 0 2－PQ|取得最小值111.－211答案：2－110．(2020·點，焦點在x(4，4)，焦點為求拋物線的焦點坐標和標準方程；P是PF的中點，求M的軌跡方程．解：(1x設拋物線解析式為2p(44)代入，得1＝2×，所以p＝2，所以拋物線的標準方程為2＝，焦點坐標為(10)．(2)設M(x，y)，P(x0

，yPFx0 0＋1＝2x，0＋y0

＝2y，所以x＝2x－1，y0 0因為P是拋物線上一動點，所以x，0 0所以(2)＝4(1)，化簡得所以M的軌跡方程為2－1.11．已知拋物線＝2p>0)的焦點為，A是拋物線上橫坐4，且位于x5，過作AB垂直于y軸，垂足為的中點為求拋物線的方程；若過M作，求點N的坐標．p解：(1)拋物線＝2px的準線為＝－，2p于是4＋＝5，所以p＝2.2所以拋物線方程為2.(2)因為點A由題意得B(0，4)，M(0，2)．＝，又因為F(1，0)，所以k 4＝，因為

FA 3＝－.3＝－.又FA

MN 4y4x的方程為

＝(－1)，①3MN y 3，②的方程為

－2＝－x4x8y4聯立①②，解得＝，＝，所以點

5 5N84N的坐標為5，. 5[綜合題組練]1．(2020·2＝p>0，已知點ABMlMN

N ，垂足為

，則AB的最大||值為( )333323C.3

B．1D．2A.過A，1B連接AB由拋物線的定義|MN 1AA||BB 1AF|＝(|1 2 1

|)＝(||1 2|B|AFBA2|A2|B22A|B|cos12°|A2B|＋A||B|.|M21|A2|B|22|A||B|所以 ＝·

4|A2|B|2A|B|1＋1 1＋＝ |A2|B|2A|B1＋ 1 1 1 1＝

≤×1＋

＝，||4 ||

＋|AF

＋1 4

2＋1 3當且僅當|AF|＝|BF

3.|時取等號，所以AB的最大值為|| 3已知F為拋物線2x的焦點，點B在該拋物線上且位于xO2(其中OABOAFO面積之和的最小值( )A．2172C.8

B．3D.10解析：選B.設，x，－x)，1 1 2 2＝×＝則S 11x1x.＝×＝△AFO 24 1 8 1由·O＝2得xx－x

＝2，12 12即xx－xx－2＝0，解得x

＝4，12 12 12→ →所以(|O|O|)2＝＋x)(x)1 1 2 2＝＋x

·(x＋x)＋xx＝20＋4(x＋x)，12 1

1 2 12 1 2OOB因為

OA

，OB||||所以sinAO＝1－co2AOB＝1→所以S＝△AOB 21＝O||O|1 →→ →→＝ （O||O|）－O·O）22＝116＋4（x＋x）＝4＋（x＋x）＝2 1 2 1 24＝ x＋4＋

2x＋ ，1 x 1 x1 1所以

9＋S＝

x＋2

9 2 9x· ＝3，當 x＝△ABO2，即x

△AFO 8 1 x1

8 1 x 8 111x ＝11

時等號成立．如圖，正方形ABCD和正方形DEFG)，原點O為AD的中點，拋物線＝2p0，F兩點，b則．解析：依題知

a a

在拋物線2p，

b b上，所以

－2a－1＝022）， b＋2－2答案：1＋24．(2020·2＝4x的焦點F作直線與拋物線及其準線分別交于CF＝F，則A|＝ ．解析：分別過作準線的垂線，垂足分別為A，1B|，1 1|，1因為F＝F，所以|D||F|4|BB

＝BC＝，所以|FB|＝|BB

|||313|＝.1 2所以|FC|＝4|FB|＝6，所以cos∠

|DF|1＝FC＝，||3|AA| 1所以cos∠A1＝ ＝，解得1 3所以39|＝3＋＝.229答案：25．已知拋物線