第二章應(yīng)力與應(yīng)變部分礦山巖體變形、破壞形式底臌變形冒落突出沉陷2.2

體力和面力

體力：分布在物體整個(gè)體積內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱為質(zhì)量力。

例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。2.2體力和面力

為了表明物體在xyz

坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)P所受體力的大小和方向，在P點(diǎn)的鄰域取一微小體積元素△V,如圖所示。設(shè)△V的體力合力為△F，則P點(diǎn)的體力平均集度為：

令微小體積元素△V

趨近于0，則可以定義一點(diǎn)P的體力為：一般來講，物體內(nèi)部各點(diǎn)處的體力是不相同的。物體內(nèi)任一點(diǎn)的體力用Fb表示，稱為體力矢量，其方向由該點(diǎn)的體力合力方向確定。體力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量用Fbi(i=1,2,3)或者Fbx,Fby,Fbz表示，稱為體力分量。體力分量的方向規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。

在彈性力學(xué)中，體力是指單位體積的力。它們的因次是2.2體力和面力2.2

體力和面力面力：分布在物體表面上的力稱面力。

例如風(fēng)力，靜水壓力，物體之間的接觸力等。對(duì)于物體表面上的任一點(diǎn)P，在P

點(diǎn)的鄰域取一包含P點(diǎn)的微小面積元素△S，如圖所示。設(shè)△S上作用的面力合力為△F，則P點(diǎn)的面力定義：面力矢量是單位面積上的作用力，面力是彈性體表面坐標(biāo)的函數(shù)。一般條件下，面力邊界條件是彈性力學(xué)問題求解的主要條件。

面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。面力的方向規(guī)定以與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)2.2體力和面力2.2

體力和面力內(nèi)力：物體在外界因素作用下，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將產(chǎn)生相互作用，物體內(nèi)部相互作用力稱為內(nèi)力。

內(nèi)力的計(jì)算可以采用截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計(jì)算內(nèi)力的截面暴露出來，通過平衡關(guān)系計(jì)算截面內(nèi)力F。應(yīng)力：指單位面積的內(nèi)力。2.2體力和面力內(nèi)力的分布一般是不均勻的。為了描述任意一點(diǎn)M的內(nèi)力，在截面上選取一個(gè)包含M的微面積單元ΔS，如圖所示。則可認(rèn)為微面積上的內(nèi)力主矢ΔF的分布是均勻的。設(shè)ΔS的法線方向?yàn)閚，則定義：上式中pn為微面積ΔS上的平均應(yīng)力。如果令ΔS逐漸減小，并且趨近于零，取極限可得：pn是通過任意點(diǎn)M，法線方向?yàn)閚的微分面上的應(yīng)力矢量。102.2體力和面力正應(yīng)力σ：應(yīng)力在其作用截面的法線方向的分量，稱正應(yīng)力。切應(yīng)力τ：應(yīng)力在其作用截面的切線方向的分量，稱切應(yīng)力。彈性體的強(qiáng)度與正應(yīng)力和切應(yīng)力息息相關(guān)，因此這是工程結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常使用的應(yīng)力分解形式。由于微分面法線n

的方向只有一個(gè)，因此說明截面方位就確定了正應(yīng)力σn的方向。但是平行于微分面的方向有無窮多，因此切應(yīng)力τn不僅需要確定截面方位，還必須指明方向。2.2體力和面力為表達(dá)物體內(nèi)部任意一點(diǎn)M的應(yīng)力狀態(tài)，利用三個(gè)與坐標(biāo)軸方向一致的微分面，通過M點(diǎn)截取一個(gè)微小的正平行六面體單元2.2體力與面力

正面：外法線沿著坐標(biāo)軸的正方向的截面。

正面上應(yīng)力正負(fù)規(guī)定：沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。

負(fù)面：外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向的截面。負(fù)面上應(yīng)力正負(fù)規(guī)定：沿坐標(biāo)軸正向?yàn)樨?fù)，沿坐標(biāo)軸負(fù)向?yàn)檎?/p>

切應(yīng)力互等性：作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的切應(yīng)力是互等的，即大小相等，正付號(hào)相同。2.2體力與面力一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：6個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量定義。

例題2-1：知：矩形板邊緣上均布著給定的荷載。板厚b=50mm,邊AB=500mm,BC=400mm。求:(1)確定BC、DA邊上為保持板平衡必須作用的剪力。(2)相對(duì)于x,y參考軸，確定板內(nèi)任一點(diǎn)P的應(yīng)力狀態(tài)。解：（2）相對(duì)于x、y參考軸：

x=PBC/（bBC）=300/（10000.050.4）=15MPa；

y=PAB/（bAB）=400/（10000.050.5）=16MPa；

xy=TAB/（b

AB）

=250/（10000.050.5）=10MPa。2.3應(yīng)力變換問：已知在（X，Y，Z）坐標(biāo)系下一點(diǎn)的6個(gè)應(yīng)力分量，如何求得該點(diǎn)在（l，m，n）坐標(biāo)系下的6個(gè)應(yīng)力分量？2.3應(yīng)力變換舊坐標(biāo)系（x，y，z）新坐標(biāo)系（l，m，n）其中，l，m，n軸相對(duì)于舊坐標(biāo)的方向余弦分別為：（lx，ly，lz）（mx，my，mz）（nx，ny，nz）

一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，對(duì)于舊坐標(biāo)系[]，對(duì)于新坐標(biāo)系[*]如何用[]和l，m，n軸相對(duì)于舊坐標(biāo)軸的方向余弦表示[*]？zzOP：abc面的外法線，其方向余弦（X，Y，Z）。t：切去部分在abc面的平衡應(yīng)力。ZXZYXXZXYYYZYXYYXYZXXYXZZZYZXo2.3應(yīng)力變換2.3.1從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上的應(yīng)力假設(shè)abc面的外法線OP由用方向余弦（x、y、z）的行矢量定義。如果的面積為A，abc在其法線分別為x、y、z軸的各平面上的投影面積由下式給出：Oac面=Ax=Ax，Oab面=Ay=Ay，Obc面=Az=Az假定牽引力矢量t的分量為tx、ty、tz。第二章應(yīng)力與應(yīng)變2.3.1從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上的應(yīng)力利用x方向的靜力平衡條件得出：txA-xAx-xyAy-zxAz=0即：tx=xx+xyy+zxz同理可推出：對(duì)于y、z方向?qū)?yīng)的關(guān)于ty、tz的表達(dá)式：ty=xyx+y

y+yzztz=xzx+yz

y+zz第二章應(yīng)力與應(yīng)變2.3.1從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上的應(yīng)力所以，abc面上的牽引力分量與x、y、z坐標(biāo)系下的應(yīng)力矩陣和abc面外法線的方向余弦的關(guān)系表達(dá)式為：第二章應(yīng)力與應(yīng)變或2.3.1從一般空間應(yīng)力狀態(tài)求任意斜截面上的應(yīng)力同理，abc面上的牽引力分量與l、m、n坐標(biāo)系下的應(yīng)力矩陣和abc面外法線的方向余弦的關(guān)系表達(dá)式為：第二章應(yīng)力與應(yīng)變或2.3.2坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變換方程根據(jù)矢量分析，矢量[V]按照如下變換方程從一組正交參考坐標(biāo)x、y、z變換到另一組參考坐標(biāo)l、m、n。第二章應(yīng)力與應(yīng)變或上式中，[R]為旋轉(zhuǎn)矩陣，該矩陣的行可看作是由新軸相對(duì)于舊軸的方向余弦的行矢量組成的。該旋轉(zhuǎn)矩陣的唯一性性質(zhì)是其逆陣等于它的轉(zhuǎn)置，即：2.3.2坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變換方程利用上述旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)，再看[t]和[t*]、[]和[*]之間的關(guān)系式：

[t*]=[R][t]或[t]=[R]T[t*]

[*]=[R][]或[]=[R]T[*]

則：[t*]=[R][t]=[R][][]=[R][][R]T[*]

由于：[t*]=[*][*]于是：[*]=[R][][R]T（應(yīng)力變換方程）第二章應(yīng)力與應(yīng)變2.3.2坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變換方程應(yīng)力變換方程擴(kuò)展式：第二章應(yīng)力與應(yīng)變坐標(biāo)變換情況下應(yīng)力分量的顯式表達(dá)：l=lx2x+ly2y+lz2z+2（lxlyxy+lylzyz+lxlzxz）lm=lxmxx+lymyy+lzmzz+（lxmy+lymx）xy++（lymz+lzmy）yz+（lzmx+lxmz）xz

2.3.2坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變換方程第二章應(yīng)力與應(yīng)變坐標(biāo)變換情況下應(yīng)力分量的顯式表達(dá)：m=mx2x+my2y+mz2z+2（mxmyxy+mymzyz+mxmzxz）mn=mxnxx+mynyy+mznzz+（mxny+mynx）xy++（mynz+mzny）yz+（mznx+mxnz）xz

n=nx2x+ny2y+nz2z+2（nxnyxy+nynzyz+nxnzxz）ln=lxnxx+lynyy+lznzz+（lxny+lynx）xy++（lynz+lzny）yz+（lznx+lxnz）xz

2.4應(yīng)力不變量第二章應(yīng)力與應(yīng)變主平面：指剪應(yīng)力分量為零的平面。主應(yīng)力：作用在主平面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力軸方向：主平面的外法線方向。對(duì)于任何一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，都可以找到三對(duì)相互垂直的主平面，主平面上作用著三個(gè)主應(yīng)力：

1（最大主應(yīng)力，majorprincipalstress）

2（中間主應(yīng)力,intermediateprincipalstress）

3（最小主應(yīng)力,minorprincipalstress）按照代數(shù)值的大小排列為：123

2.4應(yīng)力不變量第二章應(yīng)力與應(yīng)變?cè)O(shè)圖2-4(2)切割面正是一個(gè)主平面：牽引力t=p；外法線（x，y，z）牽引力分量：圖2-4(2)確定應(yīng)力變換方程、主應(yīng)力及其方向的割離體圖2.4應(yīng)力不變量第二章應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)齻€(gè)聯(lián)立齊次線性方程組：根據(jù)高等數(shù)學(xué)中有關(guān)線性組的理論，該方程組有非零解的必要與充分條件是這個(gè)方程組的系數(shù)行列式=0。2.4應(yīng)力不變量第二章應(yīng)力與應(yīng)變2.4應(yīng)力不變量第二章應(yīng)力與應(yīng)變I1、I2、I3分別稱為第一、第二、第三應(yīng)力不變量，它們由下式定義：2.4應(yīng)力不變量主應(yīng)力的方向余弦：第二章應(yīng)力與應(yīng)變2.4應(yīng)力不變量主應(yīng)力軸之間正交：檢驗(yàn)正交性的條件是方向余弦矢量的三個(gè)點(diǎn)積的每一個(gè)必須為零，即：2.4應(yīng)力不變量球形（靜水）分量與偏斜分量：偏斜主應(yīng)力：2.4應(yīng)力不變量應(yīng)力偏量不變量：2.5平面問題和雙軸應(yīng)力例題2-1：知矩形板邊緣上均布著給定的荷載。板厚50mm,長(zhǎng)500mm,長(zhǎng)400mm。第二章應(yīng)力與應(yīng)變求：(3)對(duì)于所示的l,m軸，確定應(yīng)力分量。(4)確定最大主應(yīng)力值和最大主應(yīng)力軸相對(duì)x軸的方向。(5)對(duì)于GH面，其外法線對(duì)軸的傾角為。確定作用在該面上的x、y、xy和的函數(shù)表達(dá)式，并分別給出=0、60、90時(shí)的值。給出=60時(shí)的平面合應(yīng)力。解:（3）l軸的方向余弦：lx=cos30°=0.866

ly=cos60°=0.5m軸的方向余弦：mx=cos120°=0.5my=cos30°=0.866

所以,

l=lx2x+ly2y+lz2z+2（lxlyxy+lylzyz+lxlzxz）=0.866215+0.52（16）+20.8660.5（10）=11.2493448.66=1.41（MPa）第二章應(yīng)力與應(yīng)變x=15MPay=16MPa

xy=10MPa解:（3）

m=mx2x+my2y+mz2z+2（mxmyxy+mymzyz+mxmzxz）=（-0.5）215+0.8662（-16）+2（-0.5）0.866（-10）=3.7511.9993+8.66=0.41（MPa）lm=lxmxx+lymyy+lzmzz+（lxmy+lymx）xy++（lymz+lzmy）yz+（lzmx+lxmz）xz

=0.866(-0.5)15+0.50.866(-16)+[0.8660.866+0.5(-0.5)](-10)=-6.495-6.928-4.99956=18.42第二章應(yīng)力與應(yīng)變解:（4）最大主應(yīng)力：最大主應(yīng)力方向(相對(duì)x軸):1=20.1°第二章應(yīng)力與應(yīng)變解:（5）當(dāng)=0°時(shí):x=1，y=0，z=0

tx=xx+xyy+zxz=15（MPa）ty=xyx+y

y+yzz=-10（MPa）當(dāng)=60°時(shí):x=0.5，y=0.866，z=0

tx=xx+xyy=150.5100.866=1.16（MPa）ty=xyx+y

y=-100.5160.866=-18.856（MPa）

t=（tx2+tx2）1/2=18.89（MPa）第二章應(yīng)力與應(yīng)變解:（5）當(dāng)=90°時(shí):x=0，y=1，z=0

tx=xx+xyy=10（MPa）ty=xyx+y

y=-16（MPa）

第二章應(yīng)力與應(yīng)變作業(yè)1：

如圖中所示的單位割離體，在正六面體的可見面上，作用有平行于給定參考軸方向的應(yīng)力分量。

（1）填寫所需的應(yīng)力分量使割離體圖形完整，確定x，y，z坐標(biāo)系中的六個(gè)應(yīng)力分量。（2）l，m，n參照軸相對(duì)于x，y，z的方向余弦由下式確定：

作業(yè)1：（續(xù)）（2）試寫出m，nl相對(duì)于x，y，z的應(yīng)力分量和方向余弦的表達(dá)式，并計(jì)算它們各自的值。（3）根據(jù)上面（1）中建立的應(yīng)力分量，計(jì)算應(yīng)力不變量I1、I2、I3，寫出應(yīng)力矩陣的特征方程。并求出各主應(yīng)力值和相對(duì)于x，y，z軸的方向角。（4）證明主應(yīng)力方向形成一組相互正交的軸。2.6位移和應(yīng)變第二章應(yīng)力與應(yīng)變2.6位移和應(yīng)變第二章應(yīng)力與應(yīng)變2.6位移和應(yīng)變位移增量的矩陣表示：第二章應(yīng)力與應(yīng)變相對(duì)位移的組成：剛體旋轉(zhuǎn)+單元變形2.6位移和應(yīng)變（1）剛體旋轉(zhuǎn)

繞x軸發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動(dòng)x，對(duì)應(yīng)的Q相對(duì)于P的相對(duì)位移分量為：

duy=xdz；

duz=

xdy。第二章應(yīng)力與應(yīng)變2.7位移和應(yīng)變（1）剛體旋轉(zhuǎn)

x：duy=xdz；duz=

xdy

y：duz=ydx；dux=

ydzz：dux=zdy；duy=

zdx第二章應(yīng)力與應(yīng)變2.7位移和應(yīng)變（1）剛體旋轉(zhuǎn)第二章