學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2.4。2計算函數零點的二分法[學習目標］1。能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一種常用方法，體會“逐步逼近”的思想．[知識鏈接]現有一款三星手機,目前知道它的價格在500～1000元之間,你能在最短的時間內猜出與它最近的價格嗎?（誤差不超過20元），猜價格方案:（1)隨機；(2)每次增加20元；(3)每次取價格范圍內的中間價，采取哪一種方案好呢？[預習導引］用二分法求函數零點的一般步驟已知函數y＝f（x)定義在區間D上，求它在D上的一個零點x0的近似值x，使它與零點的誤差不超過正數ε,即使得|x－x0｜≤ε.用二分法求函數零點的一般步驟如下：（1)在D內取一個閉區間[a0，b0］?D，使f(a0)與f（b0)異號，即f（a0）·f(b0)＜0,零點位于區間［a0，b0］中．（2)取區間[a0，b0]的中點，則此中點對應的橫坐標為x0＝eq\f(a0＋b0，2).計算f(x0)和f(a0）．并判斷：①如果f(x0）＝0，則x0就是f(x)的零點，計算終止；②如果f(a0)·f（x0)＜0,則零點位于區間[a0，x0］中，令a1＝a0,b1＝x0；③如果f（a0)·f(x0）＞0，則零點位于區間［x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.(3)對區間[a1，b1］，按(2）中的方法，可以得到區間［a2，b2］，且它的長度是區間［a1，b1］長度的一半．如此反復地二分下去，可以得到一系列有限區間[a0，b0］，［a1，b1],[a2，b2],[a3，b3］，…，其中每個區間的長度都是它前一個區間長度的一半．繼續實施上述步驟，函數的零點總位于區間［an，bn]上，當｜an－bn|＜2ε時,區間［an,bn］的中點xn＝eq\f(1,2)（an＋bn)就是函數y＝f(x)的近似零點，計算終止．這時函數y＝f(x)的近似零點與真正零點的誤差不超過ε。要點一二分法概念的理解例1下列圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數零點的是（）答案A解析按定義，f（x)在[a，b］上是連續的，且f(a）·f（b)＜0，才能不斷地把函數零點所在的區間一分為二，進而利用二分法求出函數的零點．故結合各圖象可得選項B、C、D滿足條件，而選項A不滿足,在A中,圖象經過零點x0時，函數值不變號，因此不能用二分法求解．故選A.規律方法1.準確理解“二分法”的含義．二分就是平均分成兩部分．二分法就是通過不斷地將所選區間一分為二，逐步逼近零點的方法，找到零點附近足夠小的區間,根據所要求的精確度，用此區間的某個數值近似地表示真正的零點．2．“二分法”與判定函數零點的定義密切相關，只有滿足函數圖象在零點附近連續且在該零點左右函數值異號才能應用“二分法"求函數零點．跟蹤演練1(1)下列函數中，能用二分法求零點的為(）(2）用二分法求函數f（x)在區間［a,b］內的零點時，需要的條件是（)①f（x)在區間［a,b]內連續不斷；②f(a)·f(b)＜0;③f（a)·f(b）＞0；④f(a)·f（b)≥0。A．①② B．①③C．①④ D．①②③答案（1）B(2)A解析（1）函數圖象連續不斷，函數零點附近的函數值異號，這樣的函數零點才能使用二分法求解，觀察四個函數圖象,只有B選項符合．（2)由二分法的意義，知選A。要點二用二分法求方程的近似解例2用二分法求方程x2－10＝0在區間[3。1,3.2]上的近似解(誤差不超過0.001，即ε＝0.001）．解設f(x）＝x2－10，則f（3.1)＝－0。39，f（3。2)＝0。24。取a0＝3。1，b0＝3。2，有f(a0)·f(b0）＜0。列表計算:nanbnbn－anf(an）f(bn）xn＝eq\f（an＋bn，2)03。10003.20000。1000－0。39000.24003.150013.15003。20000。0500－0.07750.24003。175023。15003.17500。0250－0.07750。08063.162533。15003.16250.0125－0.07750.00143.156343.15633。16250.0062－0.03780.00143。159453。15943。16250.0031－0.01820。00143.161063.16103。16250。0015－0。00810。00143。1618由于b6－a6＝0.0015＜0.002＝2ε,計算停止，取eq\x\to（x）＝x6＝eq\f（3.1610＋3。1625,2)＝3。16175≈3。162為方程的近似解．規律方法給定ε，用二分法求f（x)零點近似值的步驟如下：(1）確定區間［a,b]，驗證f（a)·f（b）＜0；（2)求區間（a,b)的中點c；(3)計算f(c)；①若f(c）＝0,則c就是函數的零點；②若f（a)·f(c）＜0，則令b＝c(此時零點x0∈(a,c）)；③若f(a)·f(c)＞0，則令a＝c（此時零點x0∈（c，b））．(4）重復第（3）步，可得到一系列有限區間，其中每個區間的長度都是它前一個區間長度的一半,當所在區間值小于2ε時，區間中點就是函數f(x）的近似零點．跟蹤演練2若函數f(x）的圖象是連續不間斷的,根據下面的表格，可以斷定f（x)的零點所在的區間為______．(只填序號)①（－∞，1]②［1,2］③[2，3］④［3,4]⑤[4，5］⑥［5,6]⑦［6，＋∞）x123456f(x）136。12315.542－3。93010.678－50.667－305.678答案③④⑤1．用二分法求函數f(x）＝x3＋5的零點可以取的初始區間是（)A．[－2，1] B．[－1，0]C．[0,1] D．［1,2］答案A解析∵f（－2)＝－3＜0,f(1）＝6＞0，f(－2)·f（1)＜0，故可取[－2，1］作為初始區間,用二分法逐次計算．2．定義在R上的函數f（x）的圖象是連續不斷的曲線，已知函數f(x）在區間（a，b）上有一個零點x0，且f(a)·f(b)＜0，用二分法求x0時，當feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a＋b，2）））＝0時，則函數f(x）的零點是()A．（a，b)外的點B．x＝eq\f（a＋b,2)C．區間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a，\f(a＋b，2）)）或eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a＋b，2)，b)）內的任意一個實數D．x＝a或x＝b答案B解析由二分法的思想，采用二分法得到的零點可能是準確值，也可能是近似值．由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a＋b,2）））＝0，知選B.3．函數f（x)的圖象是連續不斷的曲線,在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)內近似解的過程中得f(1）＜0，f（1.5)＞0,f（1.25）＜0,則方程的解所在區間為（)A．（1.25,1。5) B．（1，1。25)C．(1。5,2) D．不能確定答案A解析由于f(1.25）f(1。5)＜0，則方程的解所在區間為(1.25，1.5）．4．函數f(x）＝log2x＋2x－1的零點必落在區間（)A.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,8）,\f（1，4）)） B.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，4）,\f(1，2））)C。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）,1)) D．(1，2)答案C解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,8))）＝－eq\f(15,4）＜0,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,4）)）＝－eq\f(5，2)＜0，feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2））)＝－1＜0,f(1）＝1＞0，f（2）＝4＞0，∴函數零點落在區間eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）,1))上．5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區間(2,3)內的實根，取區間中點為x0＝2.5，那么下一個有根的區間是________．答案（2，2.5)解析f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f（2。5）＝2。53－2×2。5－5＝5。625＞0，∴下一個有根的區間是(2,2。5）．1。二分法就是通過不斷地將所選區間一分為二,使區間的兩個端點逐步逼近零點，直至找到零點附近足夠小的區間，根據所要求的誤差，用此區間的某個數值近似地表示真正的零點．2．并非所有函數都可以用二分法求其零點，只有滿足:(1）在區間［a，b]上連續不斷；(2)f（a)·f(b）＜0.上述兩條的函數方可采用二分法求得零點的近似值．一、基礎達標1．已知函數f（x)的圖象如圖，其中零點的個數及可以用二分法求解的個數分別為(）A．4，4B．3,4C．5,4D．4，3答案D解析由圖象知函數f（x)與x軸有4個交點，因此零點個數為4，從左往右數第4個交點兩側不滿足f（a)·f（b)＜0，因此不能用二分法求零點,而其余3個均可使用二分法求零點．2．為了求函數f（x）＝2x－x2的一個零點，某同學利用計算器，得到自變量x和函數值f（x)的部分對應值[f(x）的值精確到0。01］如下表如示：x0。61.01。41。82。22。63.0f(x）1。161.000.680.24－0。25－0。70－1。00則函數f(x)的一個零點所在的區間是（）A．（0。6,1。0） B．(1。4,1。8)C．（1。8,2.2) D．（2。6，3。0）答案C解析∵f(1。8)·f(2.2）＝0。24×（－0。25）＜0，∴零點在區間（1.8,2。2)上．故選C。3．用二分法研究函數f（x)＝x3＋3x－1的零點時,第一次經計算f(0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一個零點x0∈________，第二次應計算________，以上橫線上應填的內容為（)A．（0，0.5）,f(0。25） B．(0,1)，f（0.25)C．（0。5,1），f(0.75) D．(0，0.5）,f（0.125)答案A解析二分法要不斷地取區間的中點值進行計算．由f（0）＜0，f（0.5）＞0知x0∈（0,0。5)．再計算0與0。5的中點0.25的函數值，以判斷x0的更準確位置．4．設方程2x＋2x＝10的根為β，則β∈(）A．(0，1） B．（1，2)C．（2,3) D．(3,4）答案C解析設f(x)＝2x＋2x－10,則f(x）在R上為單調增函數，故只有一個零點．f(0）＝－9，f(1）＝－6，f（2）＝－2,f（3）＝4，∴f（2）·f(3）＜0。∴β∈(2，3）．5．函數y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）))x與函數y＝lgx的圖象的交點的橫坐標約是(）A．1。5 B．1.6C．1.7 D．1.8答案D解析設f（x)＝lgx－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）)）x，經計算f(1）＝－eq\f(1,2）＜0，f(2）＝lg2－eq\f(1，4）＞0，所以方程lgx－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）））x＝0在(1,2)內有解．應用二分法逐步縮小方程實數解所在的區間，可知選項D符合要求．6．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在區間[1,2]上零點的近似值，先取區間中點c＝eq\f(3，2），則下一個含根的區間是________．答案eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1，\f(3，2）)）解析令f（x)＝lnx－2＋x,∵f（1）＝－1＜0,f（2)＝ln2＞0，feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,2）))＝lneq\f（3，2）－eq\f（1，2）＞0，∴下一個含根的區間是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1,\f(3，2))）.7．用二分法求函數f（x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數據如下：f（1。6000）＝0.200f（1.5875）＝0.133f(1。5750）＝0。067f(1。5625)＝0.003f（1。5562）＝－0.029f(1.5500)＝－0。060據此數據，求f(x）＝3x－x－4的一個零點的近似值（誤差為0.01）．解由表中f（1。5625）＝0.003，f（1。5562）＝－0。029.∴f（1.5625）·f(1.5562)＜0。又｜1。5625－1。5562｜＝0.0063＜0。01，∴一個零點近似值為1。5625（不唯一)．二、能力提升8．在用“二分法”求函數f（x）零點近似值時,第一次所取的區間是［－2,4]，則第三次所取的區間可能是（）A．[1,4］ B．[－2，1］C。eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（－2，\f(5，2）)） D。eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)，1））答案D解析由于第一次所取的區間為［－2，4］,∴第二次所取區間為［－2，1]或[1，4]，第三次所取區間為eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,－\f（1,2）））,eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2），1)），eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（1，\f(5,2）))或eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(5,2）,4）).9．下面關于二分法的敘述，正確的是(）A．用二分法可求所有函數零點的近似值B．用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數點后的任一位C．二分法無規律可循D．只有在求函數零點時才用二分法答案B解析只有函數的圖象在零點附近是連續不斷且在該零點左右函數值異號，才可以用二分法求函數的零點的近似值，故A錯；二分法有規律可循，可以通過計算機來進行,故C錯；求方程的近似解也可以用二分法，故D錯．10．已知圖象連續不斷的函數y＝f(x）在區間(0，0。1)上有唯一零點，如果用二分法求這個零點(誤差為0.01)的近似值，則應將區間（0,0。1)等分的次數至少為________．答案4解析設等分的最少次數為n,則由eq\f(0。1,2n)＜0.01，得2n＞10，∴n的最小值為4。11．畫出函數f(x)＝x2－x－1的圖象，并利用二分法說明方程x2－x－1＝0在［0,2］內的根的情況．解圖象如圖所示，因為f(0）＝－1＜0，f(2）＝1＞0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2）內有根x0；取（0,2)的中點1，因為f（1)＝－1＜0，所以f(1）·f（2）＜0，根x0在區間（1，2）內；再取（1,2）的中點1。5，f（1。5)＝－0.25＜0,所以f(1.5）·f（2）＜0，根x0在區間（1。5,2）內;取（1.5,2）的中點1.75，f(1。75)＝0。3125＞0，所以f（1。5)·f(1.75)＜0，根x0在區間（1。5,1.75