相交線相交線與平行線XXXXX-理解鄰補角和對頂角的概念,會識別鄰補角和對頂角探究如圖5-1-1,任意畫兩條相交的直線,形成四個角:∠1,∠2,∠3,∠4,觀察它們的頂點、邊、兩個角之間的位置關

系、數量關系.圖5-1-1(1)完成下表:兩條直線相交所成的角頂點邊圖5-1-1∠1

和

∠2

和

∠3

和

∠4

和

OOAOCOOCOBOOBODOOAOD(2)∠1和∠2有一條公共邊

,它們的另一邊

,則∠1+∠2=

.

圖5-1-1OC互為反向延長線180°(3)任意畫兩條相交的直線,形成四個角,可分為兩類:①有一條公共邊,另一邊互為反向延長線,具有這種關系的兩個角,互為鄰補角.圖中的鄰補角有:

;圖5-1-1∠1和∠2,∠1和∠4,∠2和∠3,∠3和∠4②有一個公共頂點,并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線,具有這種位置關系的兩個角,互為對頂角.圖中的對頂角有:

.

圖5-1-1∠1和∠3,∠2和∠4例1

(教材補充例題)如圖5-1-2,直線AB,CD,EF相交于點O.(1)指出∠AOD和∠BOC是由哪兩條直線相交形成的對頂角;(2)分別指出∠BOD和∠FOC的對頂角;(3)指出∠AOF的鄰補角.圖5-1-2解:(1)∠AOD和∠BOC是由直線AB,CD相交形成的對頂角.(2)∠BOD和∠FOC的對頂角分別是∠AOC和∠DOE.(3)∠AOF的鄰補角是∠AOE和∠BOF.[解析]找一個角的對頂角時,應抓住對頂角的兩邊互為反向延長線這一特征.找一個角的鄰補角時,關鍵是找這個角的某一邊的反向延長線,因此當兩條直線相交時,一個角的鄰補角總是有兩個.識別鄰補角和對頂角的方法鄰補角的識別方法:一看這兩個角有沒有公共邊;二看這兩個角的另一邊是否互為反向延長線.對頂角的識別方法:一看這兩個角有沒有公共頂點;二看這兩個角的兩邊是否互為反向延長線.注意:鄰補角和對頂角都是成對出現的,單獨的一個角不能稱為鄰補角或對頂角.當兩條直線相交時,鄰補角有4對,對頂角有2對.變式如圖5-1-3,直線AB,CD相交于點O,OE是一條射線.(1)寫出圖中所有的鄰補角;(2)寫出圖中所有的對頂角.圖5-1-3解:(1)∠AOD與∠AOC,∠AOD與∠BOD,∠BOC與∠AOC,∠BOC與∠BOD,∠AOE與∠BOE,∠COE與∠DOE.(2)∠AOD與∠BOC,∠AOC與∠BOD.掌握“對頂角相等”的性質,會用性質進行計算與說理探究(1)如圖5-1-4,直線AB,CD相交于點O,量一下各角的度數,發現∠1和∠2的度數的關系是

,∠1和∠3的度數的關系是

;

(2)如圖5-1-4,因為∠1與∠2互補,∠3與∠2互補(

的定義),所以

(

).

圖5-1-4量角的度數略互補相等鄰補角∠1=∠3同角的補角相等對頂角的性質:對頂角

.

相等例2

(教材P3例1)如圖5-1-5,直線a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度數.圖5-1-5解:由鄰補角的定義,得∠2=180°-∠1=180°-40°=140°;由對頂角相等,得∠3=∠1=40°,∠4=∠2=140°.變式1如圖5-1-6,直線AB,CD相交于點O,射線OE把∠BOD分成兩部分.(1)圖中∠AOC的對頂角為

,∠BOE的鄰補角為

;

圖5-1-6∠BOD∠AOE(2)若∠AOC=70°,且∠BOE∶∠EOD=2∶3,求∠AOE的度數.圖5-1-6解:因為∠BOD=∠AOC=70°,∠BOD=∠BOE+∠EOD,∠BOE∶∠EOD=2∶3,所以∠AOE=180°-∠BOE=152°.變式2(2021岳陽期末)如圖5-1-7,直線AB和直線CD相交于點O,OB平分∠DOE.(1)若∠EOC=110°,求∠BOD的度數;圖5-1-7解:因為直線AB和直線CD相交于點O,∠EOC=110°,所以∠DOE=180°-∠EOC=70°.又因為OB平分∠DOE,(2)若∠DOE∶∠EOC=2∶3,求∠AOC的度數.圖5-1-7解:因為∠DOE∶∠EOC=2∶3,∠DOE+∠EOC=180°,又因為OB平分∠DOE,所以∠AOC=∠BOD=36°.[小結]1.鄰補角:有一條

,另一邊

,具有這種關系的兩個角互為鄰補角.

2.對頂角:有一個

,并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的

,具有這種位置關系的兩個角互為對頂角.

3.對頂角的性質:對頂角

.

公共邊互為反向延長線公共頂點反向延長線相等[檢測]1.如圖5-1-8,∠1和∠2是對頂角的是 (

)圖5-1-8C2.如圖5-1-9是一把剪刀,若∠AOB+∠COD=82°,則∠BOD=

.

圖5-1-9139°3.如圖5-1-10,直線l1與直線l2相交,能構成

對對頂角,

對鄰補角.

圖5-1-10244.如圖5-1-11,已知直線a,b相交于點O,若∠2=2∠1,則∠1的度數是

.

圖5-1-1160°5.如圖5-1-12,直線AB和CD相交于點O,若∠