曲靖范學本科生畢業論論文題:全等三形的證在初中學中的用學院、年級數學與信息學學院2011級學科、專業數學

數學與應用學指教：羅紅完期：年5月日1

曲靖師范學教務處全等三角的證明在初數學中的應用摘“全等角形的證明是在初數學平面幾中占重內容之一，研究圖性質的基礎，且在近幾年中考中有出現，新標的要“探索掌握個三角全等的條件因此掌三角全等的明及運用方對初中來說至關重。其證方法繁多，巧性強，有定的通，所以研究圍極廣難度極大．文整理歸納了全等三角證明的步驟其注意項分別列了幾種常用全等三形的明方法讓每一種法兼有理論實踐性旨在使學對全等三角證明及應用問題有個較為深入的解，進而在決相關等三角形問時能融貫通舉一三，到事半倍的效果同時為從事育的工者提供參考關鍵詞全等三角；初中學；法；應Provecongruenttrianglesusedinjunior

thetriangleproofsforimportantcontentsinjuniorschoolmathematicsgeometry,isthegraphnaturetheyearsallrequestis“exploresgraspstwotrianglesentireandsoonthecondition”,thereforegraspingentireandtheproofsaidsincebirthtojuniorschoolmethodthetrianglemattersthetriangleproofmethods,leteachtoproveapplicationentirewhenandontheachievethrough2

studyasubject,achievedthetheresultwitheducationprovidesKeyandmathematics;目

錄1引言????????????????????????????????12文獻綜述???????????????????????????????12.1國內究現狀?????????????????????????????2.2國內究現狀價???????????????????????????2.3提出題?????????????????????????????3證明全等三角的知識理及注意事??????????????????3.1全等三形的知梳理??????????????????????23.2證明全等三角的步驟注意事項????????????????????44證明全等角形的構造????????????????????????4.1構造等三角的常用方法?????????????????????

5截長補短法???????????????????????????5平行線法??????????????????????????????6旋轉法???????????????????????????

6倍長中線法???????????????????????????7翻折法???????????????????????????

84.2由角平分線構全等三形???????????????????????4.3添加輔助線構全等三形???????????????????????直接證明段（角）相????????????????????????轉移線段一個角形中明線段相等?????????????????轉移線段一個角形中明線段不等系???????????????5全等三角形的明在初數學中的應??????????????????6總結????????????????????????????????3

6.1主要現???????????????????????????????6.2啟示?????????????????????????????????6.3局限????????????????????????????????196.4努力向???????????????????????????????參考文????????????????????????????????4

1引言“全等角形”是初數學階的“圖形與何”中重要內容之，它不是研究平幾何相關問的重要具,而且還是中數學的礎知識.然而，等三角的性質推理線段相和角相的重要手段一每年各地的考題中會有“全等角形”內容,考試目常以角三角形、腰三角、等邊三角、特殊邊形為背景,主考查線相等、角相的證明線段長度的算、面的計算等常考的型有填空、選擇題和答題這部分試題的難度常不大多中低檔題為，約占分值的11%.《學課程準對全等角形的要求讓學生握基的推理能，從圖形換中建立空觀念，試用不同角的方法解決問題，展幾何覺，通過觀察實踐、歸納類比、斷、驗證獲數學思，體驗數學動的探性和創造性，受證明的抽性和嚴性.對于全三角形的研，實際平面幾何中封閉的個圖形之間系研究第一步，是兩三角形最簡單最常見的關“全等三角形證明”件是學生在識三角的基礎上，了解全圖形和全等角形以進行學習的.它既前面所知識的延與拓展，又后繼學探索相似三形的條的基礎，并是用以明線段相等、角相等的重依據因此，它具有承上下的作,同時人教版材里敘述了證明等三角形的種方法分別是“邊邊邊角邊角邊角角角邊還有一特殊的方法在直角角形中“斜和一條角邊，們用定的字表示為“SSS“AASHL”要將“邊邊”這識別方法作五個基本判定一，對全等角形證的學習有基作用.2文獻綜2國研現國內許專家、學者究過全三角形的證方法.全等三形的證一直在初中數學平幾何中占重位置，而，近幾年獲得了大人民群眾關注.建東在文[1]編著了構造等三角來探究不等的證明形象的寫出全等三形的作用及其應.同，好未來研中心在[研發了添加了助線的加方法，全三角形的用處，并配合人社教材年級數學敘了不僅讓學生學會邊角邊這一全等三角的識別方法更主要是要讓學生握研究題的方法，步領悟類討論

的數學想.同時，要讓生感受數學來源于活，又務于生活的本事實從而激發生學習數學興趣楊曉軍在文[3]中精選有關全三角形的中題進行析，讓學們找到中復習方，引領學生功中考林偉杰文4]全析了等三角形的性、判定及其用.劉申在文[5]編著了等三角形在活中的用，從生活中的同角度研究全等三形，發現數在現實活中的美.強在文[6]提了《全等角形》的教構想，出了如何確教學目，教學重難.喻鵬在文[7]中，編了全等三角的易錯，并結合實列舉了中數學中全三角形若干案例，分出了學生在關全等角形的證明題過程存在的各種題.劉玉、董云霞查貴在文[8][9][10]探討了構造等三角的方法與技.文國在文[11]中總結全等三角形創新題讓讀者以創思維思全等三角形證明.明華在文[12]討論全等三形中探索題讓學生感受明全等角形的探索和創新，并且輔學生掌握全三角形證明的方法.懷奎在文[13]中出如何基本圖形的認識找全等三角，從基的圖形認識始發現等三角形解廣義在文14]進行了全三角形的教設計，動形象的設了全等角形證明的學過程.姜彰全,吳穎二在文講解了何巧全等三形，淋漓盡地寫出全等三角形證明技巧2國研評從查到國內文獻來，國內究者對全等角形的明方法介紹很多，獻[1-15]分全等三角形性質、同證方法及用作了論述文獻中述一種或幾全等三形的證明方，一些獻寫理論較，一些獻寫例子較，理論少，而且許多法有名稱不而本質樣的情形，構造法形式上都是據三角的性質來進行解求解的，不同的形有不同的造方法所以，有必重新整和歸納全等三形證明方法讓每一方法兼具理與實踐.2提問全等三形的證明問，就其法而言，沒定法可，有較大的活性和巧性，而全等三角形證明歷是中學特別初中數教學的一個點和難.因此，在前人究全等三角的證明法的基礎上試圖完地整理出常的幾類法，使之系統，并在此基上探尋的證明方法.

3證明全三角形的識梳理及意事項3全三形識理定義：夠完全重合兩個三形稱為全等角形（：相似三角的特殊況是全等角形）.當兩個角形完全重時，互重合的頂點做對應點，互相重的邊叫對應邊，相重合的角做對應.所以，以得出：全三角形對應角相等對應邊等.(1)全等三形對應所對的角是應角，條對應邊所的角是應角；(2)全等三形對應所對的邊是應邊，個對應角所的邊是應邊；(3)公共邊，公共邊一是對應；(4)公共角，公共角一是對應；(5)對頂角，對頂角一是對應；三角形等的判定公及推論1、三對應邊分別等的兩三角形全等稱“邊邊邊或“)這一條說明了角形具有穩性.2有兩邊及其角對應相等兩個三形全等(“邊角”或“”).3有兩角及其邊對應相等兩個三形全等(“角邊”或“”).4有兩角及其角的對邊對相等的個三角形全(“角邊”或“5、角三角全等條件有斜邊及一直邊對應等的兩個直三角形等“斜邊，直邊”或“HL”).所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判三角形等的定理.注意：全等的判定，沒有AAASSA，這種情況不能唯一確三角形形狀.【是英文角的寫angle)，S是英文邊的縮side)全等三形的性質1全等三角形對應角相等對應邊等.2全等三角形對應邊上的對應相.3全等三角形對應角平分相等4全等三角形對應中線相.

5全等三角形積相等.6全等三角形長相等

.3證全三形步及意項如何學全等三角形證明呢這就要小步，勤思，進行由易難的訓，實現由（題目已有成圖形到虛（要自畫圖形需要添加輔線）、模仿證明到獨推理的升華.體可分三步：第一步，學解決只一次全等的單問題，在模仿期間要注意課本題證明模仿使自己證明語言準，格標準，過程簡.證兩個三角形等，一要寫出在哪個三角，這既為以在復雜形中有意去尋找需要全等三形打下基礎更方便閱者；同時注意頂的對應，以防對關系出錯；全等所的三個條件條件不顯的要先證，最后大括號括起來；每步要填注理，練思維嚴密性.通過訓練段時間，對證明向明確內容變少的題目，能熟練獨立思考證，切實出堅實的第步第二步能在一個題中用兩次全證明過性結論和最結論，會分析.學習等腰角形全等、直三角形時逐加深難，學會一個目中證次全等，特要學會分析法有條不地尋找證題徑，分法目的性強條理清，結合綜合，能有解決較復雜的目.同時，時的目一般不只一種解，要求題多解，比優劣，結規律.第三步學會命的證明，掌添加輔線的用方法.題的證可全面培養數學語（包括圖形言）的用能力，則已知和知間架起一溝通的梁就要用到輔線，這都有定的難，切勿前功棄，放努力.時要熟一些本圖形的性質如“角平分＋垂直全等三角形明全等外乎要邊等角等的件，因此在時學習中就積累存或可推出邊（或線等）、角等情況.用起來自然會得應手.4證明全三角形的造法所謂構法，就是指過分析件和結論充細致，住問題的特，恰當構造輔助素，聯想熟的數學型，然后變命題，此架起一座接條件結論的橋梁，而使問題得解決的學思考方法構造法質上是化歸想的運，但它常常表現精巧、簡捷明快、穎等特點，數學解突破常規，有很強創造性4構全三形常方

截長補法、平行線（或平法）、旋轉、倍長線法、翻折.411截長補短法通常用證明線段和相等）“截長”即根據已條件把論中最大的段分成段使其一段與短線相等然后證余下的線段另一條段相等的方．補短法為把兩條線中的一條接長為一條長線，后證明成的線段與長的線相等或是一條較的線段加長使它等于較的一段然后證明加的那部與另一較短線段相.例如圖（1）已：正方中，的平分交于，證：.簡析：中沒有直接出與問有關的全等角形，以要延長一直線，造出全等三形，根據角等證明三角形是等三角形然后利用轉思想，可以證明出結果證明長至使∵是的分線∴在和中∵∵∵∴∴∴是等直角三角形∴∴∴小結：段的和差問常常借于全等三角的對應相等，將不一條直的

兩條（幾條）線段化到同直線上．證一條線等于另兩條段之和差）常見的方是：延長其一條短段，在上面截取另條短線段，證明它與長線段相等這種方法叫補短法在長段上截一條段等于線段，再證余下的線段等另一條短線，這種法叫“截長證明兩線段的和（）等于一條線段的用方法就是兩種．412平行法（或移法）若題目含有中點可試過中作平行線或位線平行且等于三邊的半），對直角角形,有時可作出斜邊中線．例如圖，在中，平分交點，平分交，求證:圖3說明(1)題可以截取，，構造全等角形，“截長補短．(2)題利用平行法”的法較多，舉如下：①如圖（2）過作交于，證明解．②如圖（3）過作交于，于，則明和解決．③如圖（4）過作交的延線于，需證明解決④如圖（5）過作交于點則只需明解決．413旋轉對題目出現相等的段有一公共端點時可嘗試旋轉法來構全等三形例3如圖設點為等邊角形內一點，試比線段與大小．圖（）簡析：目雖然短，涉及到知識點很多由于是邊三角形，以可以繞點旋轉的位置（用等量代，連結則，所以，則是邊三角形，，在中因為，以．說明：于圖形旋轉前后，是變化了位，而大和形狀都沒改變，以對于等三角形、正形等特的圖形我們以利用轉的方法構全等三形解題．414倍長線法題目中條件有中線可將其長一倍，以造新的等三角形，而使分條件集中一個三角形．例4如圖在中，是它中線，交于點，使說明線段與相等的由．

圖（簡析：由是中線于是可延長線到，，連結，則在和中，以，則而，所以，因為，所以即．說明：要說明線或角相等，常的思是說明它們在的兩三角形全等而遇到中時又通常通延長中來構造全等角形．415翻折若題設含有垂線、的平分等條件的，以試用對稱性質，軸翻轉形來構造等三角形．例5如圖已知：在中如果，

求的面．圖（）解以為軸翻轉o得到與全等的以為軸將轉180得到與它全等的、延長線于G，易證四形是正形，它的邊為，則，在中,得，則所以．說明：從題目已知不能直明確的求出題時，們可以從一圖形通翻轉轉變特殊的圖形用簡便方法求解，換可以一步或幾步4由平線造等角不管是個圖形軸對還是軸稱圖形，我都不難現軸上一點此點作頂點）與應點組成的被軸平，方便我們做題中果遇到角平線我們會聯想到，以平分線為軸造對稱全等，從而線段、轉移達到解目的．例如圖，等腰形中翻折梯，使點與重合折痕分交于點若求的長．

..圖（）

圖（解：由意得根據翻重合，得，在中，∴∴，即在等腰梯形，AD=4BC=10過作，于，如圖（10，四邊形是矩形在和Rt∴(HL)∴∴∴．說明：角平分線構全等三形，這類題很簡單，可以根據平分線的點到邊的距離相，就構出直角三角，進而稱軸就是公邊，就以用HL證明全三角形.4添輔線造等角在證明何圖形題目過程中通常需要先過證明等三角形來究轉移段或角，者兩條線段角的相關系。但有時候，樣要證明的等三角在題設中，并是十分明顯針對這的題型我們要通過加輔助線，造出全三角形，進而就以證明所需結論.在這里我嘗試通過個典型題讓大家了添加輔線構造全等角形的法.當然這例題體現了加輔助的方法是從單到復，從特殊到般，研線段的長短關是體現了從相等到等的遞進關注意：加的輔助線是用虛表示.431直接明線段角）相等

[2]例如圖，已知，證(2)若，試想與大小關.如圖（）簡析：（1）小問慮到在沒有習等腰角形的時候要證明個角相等，常需要明它們所在兩個三形全等。本要證明在題目的已條件中顯缺少

全等的角形，我們要想到加輔助線連后，以為公共邊，據題目已知條件可以出，進而就明如果在學習腰三角的知識后還以連結通過說明等對等角再用角的等代換關得到更加簡第（小問猜，在連證明，得到再證明，進證明.如何添輔助線方法加輔助線連結證明，而法2添輔助線連接因為，以．，ABDCBD，即.因為，故，進而.小結：過例7們初步會添加助線的必要，例7的兩小問的析，從添加輔線證明一次等三角得角相等，后到添輔助線證明次全等角形得線段相，我們可以覺到問層次的遞進特別是例中果、、共線的時候可以得等邊對等角結論，第（2）問做鋪墊.432轉移段到一三角形中證線段相例如圖，已知是中線，交于點，交點，且.求：.圖（）簡析：證，我們可把線段轉移到它們在的三形中，然后明這兩三角形全，顯然圖中有直觀給出含有、兩個全三角形圖形但我們以根據題目條的去構造兩含有、全等三角形并不是容易，這時們就要新思考一條出，想到在同個三角中等角對等，這時夠把兩條線轉移到一個三角形中我們只要說轉移在一個三角形的這兩線段所對的相等就以了簡析：路以為礎三角形，轉移線，這兩條段在.法一：延長，使，連，再證明和等，可.通證明，可得到.圖（）證明：加輔助線延到，使連結∵是中∴在△和∴(SAS)∴，∵

∴又∵∴∴法二：以過點作平與的延線相交于點證明和等.小結：于含有中線全等三形問題，可通過“長中線”法到兩個等三角形但是過一點己知直的平行線，起到轉角的作用，起到構全等三角形的作.思路以為基礎三角，轉移段，使、在個全等角形中.法三：加輔助線延至，使然后連結，明和全.圖（）證明：長至，使，結∵是中∴在和中∴(SAS)∴∵∴又∵∴∴∴法四：點作平行與延長線交于點，證△和△等.小結：過添加輔助的方法題多解，我可以體到添加輔助目的在構造全等角形.而從不同途徑來以有不同的加方法實際是實現段的轉體會構造全等角形在線段移中的位.變換的念可以到，不論是平行線還是倍長中線，實質都是個以中為旋轉中心三角形轉變換構造全等.熟悉法、法三“倍中線”的輔助線所到的基圖形“八字”和“長

中線”種基本添加助線方，倍長中線或者倍過中點的一線段以的對于解決含過中點線段證明全三角形的方有技巧尋.圖（）433轉移段到一三角形中證線段不關系例如圖，已是的中，求證：.簡析：例8的輔助線添加方，學識別基圖形，并利它們去決不等關系的題、在同一三角中，如能將中線倍，轉移可在同一個角形找出與相關的段，再利用角形兩之和大于第邊可以簡單的解決圖（）證明：加輔助線延至，使連接．∵是的線，在和中∵∴（SAS∴在中，∴.5全等三形的證明初中數學中應用例（2014云南省中考）如圖，在中，與交于，求證圖（17簡析可根據“”證明角形三角形等，這里要到化歸想，要證明線段相可以化歸為明三角全等，由全三角形性質可證明證明：和中，∴（∴

說明：題考查了證段相等歸為證全等角形，全等三角形判定是合全等三形的性質證線段和相等的重要具．在定三角形全時，關是選擇恰當的定條件．例11（年曲靖中考)如圖，于點，點.）求證2）已知求的長圖（簡析：（問在和中，已知，還有組直角相等現在我可以找一條應邊用“SAS”明全等角形或者是一個對角用“AAS”證明，這時就根據已知條件去，哪個方便用哪個由已知條件以根據角的余角相來證明.證明：圖，∵∴又∵∴又∵，∴在和中∴（簡析：（2）問本求的長，從觀上看能用簡便的法求，以把放到兩相似的角形中，可通過證個相似三角來求.解：∵∴∴∵，

∴∴設，則∴∴即說明：個題把全等角形和似三角形有的結合一起考學生對學生意識的進選拔，也對生高要，它著重強全等三形和相似三形的相點和不同點，學生能區分，這類型在中考中算是中度的題了例12（2013上海市考題）如圖在△中點為邊中點，交于，交的延長線點．求證：圖（19簡析：證，題目中們不能直觀證明它相等，要先化證明行四邊形再證全三角形，通兩對邊別平行的性證明四形是平行四形，然把邊和放在和，證明這兩三角形等，進而就以證明.證明：∴

，四邊形平行四邊形∴,∴

和是直三角形又∵是角三角形，為的中∴∴在和中∴(HL)∴說明：何圖形之間段與角關系是有聯的，但要對每個圖的性質握，才能搭橋梁，建立系.

例(2012年南省中題)如圖，中點是邊上的點，，過點交于點.求圖（）簡析：目中給得每已知條都是關鍵，直角三形就想到用HL”但是已知條件沒有明確給斜邊，以我們要另出路，據

用“來證明證明：∴又∵∴在和中∴(AAS)說明：明全等三角的方法多種，關鍵要根據知條件去找與邊、與角之間對應關系.例14（2011福建福州中考）如圖，于于點,于點且.求證圖（21）簡析：目中給得每已知條都是關鍵，直角三形就想到但是知條件中有明確給出邊中還有一個含的條對頂所我們可選擇ASA”來證明全.證明∵，∴在和中(ASA)∴

說明：做幾何圖形題目時即要抓住它的每個知條件，又從題目圖形中掘出隱含的件，這煉我們的發思維和合應用能力.6結論6