基與維數的幾種求法基與維數的幾種求法/NUMPAGES10基與維數的幾種求法基與維數的幾種求法線性空間基和維數的求法方法一根據線性空間基和維數的定義求空間的基和維數,即：在線性空間V中，如果有個向量滿足:(1)線性無關。(2)中任一向量總可以由線性表示。那么稱為維（有限維）線性空間，為的維數，記為，并稱為線性空間的一組基。如果在中可以找到任意多個線性無關的向量，那么就成為無限維的。例1設，為數域上矩陣，為數域上維向量，求的維數和一組基。解設矩陣的秩為，則齊次線性方程組的任一基礎解系都是的基，且的維數為。例2數域上全體形如的二階方陣，對矩陣的加法及數與矩陣的乘法所組成的線性空間，求此空間的維數和一組基。解易證為線性空間的一組線性無關的向量組，且對中任一元素有按定義為的一組基，的維數為2。方法二在已知線性空間的維數為時，任意個向量組成的線性無關向量組均作成線性空間的基。例3假定是一切次數小于的實系數多項式添上零多項式所形成的線性空間，證明：構成的基。證明考察由的系數為得，并代入上式可得的系數依此類推便有，故線性無關又的維數為,于是為的基。方法三利用定理：數域上兩個有限維線性空間同構的充分必要條件是它們有相同的維數。例4設，證明：由實數域上的矩陣的全體實系數多項式組成的空間與復數域作為實數域上的線性空間同構，并非求它們的維數。證明中任一多項式可記為，建立到的如下映射易證是到上的單射，滿射即一一映射。再設，則有故是到的同構映射，所以到同構另外，易證的一個基為，，故方法四利用以下結論確定空間的基：設與是維線性空間中兩組向量，已知可由線性表出：令如果為的一組基，那么當且僅當可逆時，也是的一組基。例5已知是的一組基，證明也是的一組基。證明因為且所以也為的一組基。方法五如果空間中一向量組與中一組基等價，則此向量組一定為此空間的一組基。例6設表示次數不超過2的一切實系數一元多項式添上零多項式所構成的線性空間的一組基，證明為這空間的一組基。證明則解得于是線性無關，它們皆可由線性表示，因此與等價，從而中任意多項式皆可由線性表示，故為的基。方法六利用下面兩個定理：定理一：對矩陣施行行初等變換和列變換，不改變矩陣列向量間的線性關系。定理二：任何一個矩陣，總可以通過行初等變換和列變換它為標準階梯矩陣：，其中表示階單位矩陣。依據這兩個定理，我們可以很方便地求出的一個基，從而確定了維數。例7設是數域上四維線性空間的子空間，且求的一個基與維數。解若，則存在，使……（1）即有……（2）若線性無關，（2）僅當時成立那么是零子空間，因而沒有基，此時維數為，是直和若存在不全為零的數使（2）成立，則有可能是非零子空間若為非零子空間，由（1）便可得到基向量。以為列向量作矩陣，經行初等變換將化為標準階梯形矩陣。是的一個基同時知，是的一個基，是的一個基，是的一個基，方法七在線性空間中任取一向量，將其表成線性空間一線性無關向量組的線性組合的形式，必要的話需說明向量組是線性無關的。這一線性無關向量組就是我們要找的基。例8求與的交的基和維數。設，解任取，則，且，（注：此時雖然已表成一線性組合的形式，但它僅僅是在、中的表示，并非本題所求，即要在空間中將線性表出），求解得故是一維的，基是易知是非零向量，是線性無關的。方法八按維數公式求子空間的交與和的維數和基維數公式：如果是有限維線性空間的兩個子空間，那么例9已知求由向量生成的的子空間與向量生成的子空間的交與和空間的維數的一組基。解因為，對以為列的矩陣施行行初等變換：秩秩，所以的維數是且為極大線性無關組，故它們是的一組基。又由線性無關知的維數為，同理的維數也為，由維數公式知的維數為。從矩陣易知,故是公有的非零向量，所以它是交空間的一組基。方法九由替換定理確定交空間的維數。替換定理：設向量組線性無關，并且可由向量組線性表出，那么必要時可適當對中的向量重新編號，使得用替換后所得到的向量組與向量組等價。特別，當時，向量組與向量組等價。例10已知向量組設它們是向量組的線性組合，又