第二節二次函數復習目標學法指導1.理解并掌握二次函數的圖象及性質.2.能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.1.能從開口方向、對稱軸位置、交點坐標三個方面畫出二次函數圖象.若含有參數則會分類討論,但要善于動中取“定”.2.能根據解析式求得函數性質,更要能根據性質確定參數.3.善于利用數形結合思想,分類討論思想解決含參數的二次函數問題,準確掌握討論的起點與標準.二次函數1.定義形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函數叫做二次函數.2.表示形式(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);(2)頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)為拋物線頂點坐標;(3)零點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是拋物線與x軸交點的橫坐標.3.圖象與性質y=ax2+bx+ca>0a<0圖象定義域RR值域y∈[,+∞)y∈(-∞,QUOTE4ac-b24a對稱軸x=-頂點坐標(-QUOTEb2a,QUOTE4ac-b24a)奇偶性b=0?y=ax2+bx+c是偶函數單調性x∈(-∞,-QUOTEb2a)時是減函數;x∈(-QUOTEb2a,+∞)時是增函數x∈(-∞,-QUOTEb2a)時是增函數;x∈(-QUOTEb2a,+∞)時是減函數最值當x=-QUOTEb2a時,ymin=QUOTE4ac-b24當x=-QUOTEb2a時,ymax=QUOTE4ac-b241.概念理解(1)由二次函數解析式的三種形式求對稱軸及頂點坐標.①y=ax2+bx+c(a≠0),其圖象的對稱軸是直線x=-QUOTEb2a,頂點坐標(-QUOTEb2a,QUOTE4ac-b24a).②y=a(x-h)2+k(a≠0),其圖象的對稱軸是直線x=h,頂點坐標(h,k).③y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其圖象的對稱軸是直線x=.(2)與對稱軸相關的結論:對于二次函數y=f(x)的定義域內所有x:①若都有f(x1)=f(x2),則函數f(x)的圖象關于直線x=QUOTEx1+x22②若都有f(a+x)=f(b-x),則函數f(x)的圖象關于直線x=QUOTEa+b2對稱.(3)分析二次函數的圖象,主要從兩方面入手,一是看二次項系數,它確定二次函數的圖象;二是看對稱軸和最值,或圖象與y軸、x軸交點的位置,它確定二次函數圖象的具體位置.2.二次函數在給定區間上求值域對稱軸-QUOTEb2a與區間[m,n]位置函數y=ax2+bx+c(a>0)圖象值域對稱軸-QUOTEb2a在區間[m,n]左側-QUOTEb2a≤m<n[f(m),f(n)]對稱軸-QUOTEb2a在區間[m,n]上且靠近左端點m<-QUOTEb2a<<n[QUOTE4ac-b24a對稱軸-QUOTEb2a在區間[m,n]上且靠近右端點m<QUOTEm+n2<-QUOTEb2a<n[QUOTE4ac-b24a對稱軸-QUOTEb2a在區間[m,n]右側m<n≤-QUOTEb2a[f(n),f(m)]1.已知函數f(x)=ax2+x+5的圖象均在x軸上方,則a的取值范圍是(C)(A) (B)(C) (D)解析:由于f(x)的圖象均在x軸上方,則f(x)>0恒成立,故有所以a>QUOTE120.2.設函數f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,則g(1)+g(2)+…+g(20)等于(B)(A)56 (B)112 (C)0 (D)38解析:由二次函數圖象的性質得,g(x)=所以g(1)+g(2)+…+g(20)=g(1)+g(2)=112.故選B.3.已知函數f(x)=在R上單調遞減,則實數a滿足(C)(A)a>-2 (B)-2<a<-1(C)a≤-2 (D)a≤-QUOTE12解析:函數f(x)在(-∞,1]上單調遞減時-QUOTEa2≥1,即a≤-2;函數f(x)在(1,+∞)上單調遞減時a<0且-QUOTE12a≤1,即a≤-QUOTE12;同時端點函數值要滿足1+a≥a+1.綜上可知a≤-2.4.(2018·浙江省重點高三聯考)已知函數y=x2-4x+1的定義域為[1,t],在該定義域內函數的最大值與最小值之和為-5,則實數t的取值范圍是(B)(A)(1,3] (B)[2,3] (C)(1,2] (D)(2,3)解析:函數y=x2-4x+1是開口向上,對稱軸為x=2的拋物線,因為函數y=x2-4x+1的定義域為[1,t],所以當x=1時,y=-2,當x=2時,y=-3.因為在定義域內函數的最大值與最小值之和為-5,因為當y=-2時,x=1或x=3.所以2≤t≤3,故選B.5.已知函數f(x)=lg(mx2-mx-m+3)的定義域為R,則實數m的取值范圍為.

解析:函數f(x)=lg(mx2-mx-m+3)的定義域為R等價于對于任意的實數x∈R,mx2-mx-m+3>0恒成立,當m=0時成立,當m≠0時,等價于?0<m<QUOTE125,綜上可得[0,QUOTE125).答案:[0,QUOTE125)考點一二次函數的定義與圖象[例1](1)如圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點A(-3,0),對稱軸為x=-1.給出下面四個結論:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正確的是()(A)②④ (B)①④ (C)②③ (D)①③(2)若函數f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函數,且它的值域為(-∞,4],則該函數的解析式f(x)=.

解析:(1)因為圖象與x軸交于兩點,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正確;對稱軸為x=-1,即-QUOTEb2a=-1,2a-b=0,②錯誤;結合圖象,當x=-1時,y>0,即a-b+c>0,③錯誤;由對稱軸為x=-1知,b=2a.又函數圖象開口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正確.故選B.(2)因為f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函數,則其圖象關于y軸對稱,所以2a+ab=0,所以b=-2或a=0(舍去).又因為f(x)=-2x2+2a2且值域為(-∞,4],所以2a2=4,f(x)=-2x2+4.答案:(1)B(2)-2x2+4(1)二次函數解析式的求法根據已知條件確定二次函數解析式,一般用待定系數法,選擇規律如下:①已知三個點坐標,宜選用一般式;②已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等,宜選用頂點式;③已知圖象與x軸兩交點坐標,宜選用零點式.(2)二次函數圖象的繪制與識別可按以下順序進行:一看開口,二看軸,三看交點,四看參.對參數要分類討論.1.函數y=logax(a>0且a≠1)與函數y=(a-1)x2-2x-1在同一坐標系中的圖象可能是(C)解析:當a>1時,y=logax單調遞增,y=(a-1)x2-2x-1開口向上,不過原點,且對稱軸x=QUOTE1a-1>0,可排除A,B選項;當a<1時,y=logax單調遞減,y=(a-1)x2-2x-1開口向下,可排除D,故選C.2.已知函數f(x)與函數g(x)=(x-1)2的圖象關于y軸對稱,若存在a∈R,當x∈[1,m](m>1)時,使得f(x+a)≤4x成立,則m的最大值為(C)(A)3 (B)6 (C)9 (D)12解析:由于函數f(x)與函數g(x)=(x-1)2的圖象關于y軸對稱,因此f(x)=(x+1)2.設h(x)=f(x+a)-4x=x2+2(a-1)x+(1+a)2,由題意知f(x+a)-4x≤0成立,即h(1)≤0且h(m)≤0,分別解得a∈[-4,0],m2+2(a-1)m+(1+a)2≤0.當a=0時,得m2-2m+1≤0,解得m=1;當a=-4時,得m2-10m+9≤0,解得1≤m≤9.因此m的最大值為9.故選C.考點二二次函數的性質[例2]已知函數f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在區間[2,3]上有最大值5,最小值2.(1)求a,b的值;(2)若b<1,g(x)=f(x)-m·x在[2,4]上單調,求m的取值范圍.解:(1)f(x)=ax2-2ax+2+b=a(x-1)2+2+b-a,若a>0,則f(x)在區間[2,3]上是增函數.則有解得若a<0,則f(x)在區間[2,3]上是減函數,則有解得綜上可知,a=1,b=0或a=-1,b=3.(2)由b<1知,a=1,b=0,則f(x)=x2-2x+2,所以g(x)=x2-(m+2)x+2.因為g(x)在區間[2,4]上是單調函數,所以≥4或QUOTEm+22≤2,解得m≥6或m≤2.即m的取值范圍為(-∞,2]∪[6,+∞).(1)二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型:軸定區間定、軸動區間定、軸定區間動,不論哪種類型,解題的關鍵都是考查對稱軸與區間的關系,當含有參數時,要依據對稱軸與區間的關系進行分類討論;(2)二次函數的單調性問題主要依據二次函數圖象的對稱軸進行分析討論求解.1.(2019·紹興適應性考試)已知函數f(x)=若a>0,b<0,且f(a)=f(b),則f(a+b)的取值范圍是.

解析:在平面直角坐標系內畫出函數f(x)的圖象如圖所示,由圖易得要使a>0,b<0,f(a)=f(b),則b<-QUOTE32,且-2b-3=a2,即b=QUOTE-3-a22則a+b=a+=-QUOTE12(a-1)2-1,當a>0時,a+b=-QUOTE12(a-1)2-1∈(-∞,-1],所以f(a+b)=-2(a+b)-3∈[-1,+∞).答案:[-1,+∞)2.已知函數f(x)=x2-2x|x-a|,a∈R.(1)當a=2時,求函數f(x)的單調區間;(2)若函數f(x)在區間[0,2]上的最小值是-1,求實數a的值.解:(1)當x≥2時,f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4在[2,+∞)上遞減,當x<2時,f(x)=3x2-4x=3(x-QUOTE23)2-QUOTE43在(-∞,QUOTE23)上遞減,在[QUOTE23,2)上遞增,所以f(x)在(-∞,QUOTE23),[2,+∞)上遞減,在[QUOTE23,2)上遞增.(2)f(x)=a≥6時,f(x)在[0,2]上遞減,f(2)=12-4a=-1,a=QUOTE134,不成立.6>a≥2時,-QUOTEa23=-1,a=±QUOTE3,不成立,0≤a<2時,a=QUOTE3或QUOTE34,a<0時,f(x)在[0,2]上遞減,f(2)=-4+4a=-1,a=QUOTE34,不成立.所以a=QUOTE3或QUOTE34.考點三二次函數的綜合問題[例3]函數f(x)=x2+ax+3.(1)當x∈R時,f(x)≥a恒成立,求a的范圍;(2)當x∈[-2,2]時,f(x)≥a恒成立,求a的范圍.解:(1)f(x)≥a恒成立,即x2+ax+3-a≥0恒成立,只需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,所以-6≤a≤2,即a的范圍為[-6,2].(2)f(x)=x2+ax+3=(x+QUOTEa2)2+3-QUOTEa24.①當-QUOTEa2<-2,即a>4時,f(x)min=f(-2)=-2a+7,由-2a+7≥a得a≤QUOTE73,所以符合題意的a不存在.②當-2≤-QUOTEa2≤2,即-4≤a≤4時,f(x)min=3-QUOTEa24,由3-QUOTEa24≥a,得-6≤a≤2.所以-4≤a≤2.③當-QUOTEa2>2,即a<-4時,f(x)min=f(2)=2a+7,由2a+7≥a,得a≥-7,所以-7≤a<-4.綜上得a∈[-7,2].有關二次函數的問題,數形結合,密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法.用函數思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點.由不等式恒成立求參數取值范圍,常用分離參數法,轉化為求函數最值問題,其依據是a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.(2019·溫州適應性測試)已知函數f(x)=x2-ax,若對任意的a∈R,存在x0∈[0,2],使得|f(x0)|≥k成立,則實數k的最大值是.

解析:設g(x)=x2,h(x)=ax,則|f(x)|可以看成是函數g(x)=x2與h(x)=ax的圖象上橫坐標相同的點的縱向距離,當a≤0時,可得當x=2時,|f(x)|取得最大值,則4-2a≥k,k≤4.當a>0時,平移直線h(x)=ax分別與函數g(x)=x2的圖象相切和過端點(2,4),由圖易得當切點與端點到直線h(x)=ax的距離相等時,|f(x)|的最大值取得最小值,由g′(x)=2x=a得x=QUOTEa2,則切線方程為y=ax-QUOTEa24,過端點的平行線為y=ax-2a+4,則當-2a+4=QUOTEa24,即a=-4+4時,縱向距離的最大值取得最小值,此時縱向距離為-2a+4=QUOTEa24=12-8QUOTE2,又12-8QUOTE2<4,所以k的最大值為12-8QUOTE2.答案:12-8QUOTE2考點四易錯辨析[例4]函數f(x)=ax2+(a-3)x+1在區間[-1,+∞)上是單調遞減的,則實數a的取值范圍是()(A)[-3,0) (B)(-∞,-3](C)[-2,0] (D)[-3,0]解析:當a=0時,f(x)=-3x+1顯然成立,當a≠0時,需解得-3≤a<0,綜上可得-3≤a≤0.故選D.本題易忽視a=0這一情況而致誤,失誤的原因是將關于x的函數誤認為是二次函數.所以審題時一定要關注是否指明了“二次”函數.若二次項系數含參數,應對參數分類討論,分類的標準就是二次項系數與0的關系.1.若函數y=在[1,2]上為減函數,則a的取值范圍是(B)(A)[0,1)∪(1,2] (B)[0,2](C)[-2,2] (D)(-∞,2]解析:令g(x)=(a-1)x2-(a+2)x+8,要使y=在[1,2]上為減函數,則當a-1<0即a<1時,需可得0≤a<1.當a-1=0即a=1時,y=,顯然在[1,2]上為減函數,故符合要求.當a-1>0即a>1時,需可得1<a≤2.綜上可知,0≤a≤2.2.設函數f(x)=ax2+2x-3在區間(-∞,4)上是單調遞增函數,則實數a的取值范圍是.

解析:a=0顯然成立.a≠0時,二次函數對稱軸為x=-QUOTE1a,所以a<0且-QUOTE1a≥4,解得-QUOTE14≤a<0,綜上,得-QUOTE14≤a≤0.答案:[-QUOTE14,0]二次函數的最值[例題]已知函數f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區間[-1,1]上的最大值.(1)證明:當|a|≥2時,M(a,b)≥2;(2)當a,b滿足M(a,b)≤2時,求|a|+|b|的最大值.(1)證明:由f(x)=(x+QUOTEa2)2+b-QUOTEa24,得對稱軸為直線x=-QUOTEa2.由|a|≥2,得|-QUOTEa2|≥1,①故f(x)在[-1,1]上單調,②所以M(a,b)=max{|f(-1)|,|f(1)|}.③當a≥2時,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{-f(-1),f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.當a≤-2時,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.綜上,當|a|≥2時,M(a,b)≥2.(2)解:由M(a,b)≤2得④|f(-1)|=|1-a+b|≤2,|f(1)|=|1+a+b|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,⑤因為|a|+|b|=所以|a|+|b|≤3.⑥當a=2,b=-1時,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值為2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值為3.規范要求:(1)證明中第①步很關鍵,已知區間為單調區間,則最值只需考慮端點值即可.(2)證明中第②步可