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數

學

知

識

點

總

結

引言

1.課程內容：

必修課程由5個模塊組成：

必修1：集合、函數概念與基本初等函數（指、對、嘉函數）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統計、概率。

必修4：基本初等函數（三角函數）、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數列、不等式。

以上是每一個高中學生所必須學習的。

上述內容覆蓋了高中階段傳統的數學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數、

數列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎的同時,

進一步強調了這些知識的發生、發展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做過高的要求。

此外，基礎內容還增加了向量、算法、概率、統計等內容。

選修課程有4個系列：

系列1：由2個模塊組成。

選修1一1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用。

選修1—2：統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數、框圖

系列2：由3個模塊組成。

選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修2—2：導數及其應用，推理與證明、數系的擴充與復數

選修2—3；計數原理、隨機變量及其分布列，統計案例。

系列3：由6個專題組成。

選修3—1：數學史選講。

選修3—2：信息安全與密碼。

選修3—3：球面上的幾何。

選修3—4：對稱與群。

選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。

選修3—6：三等分角與數域擴充。

系列4：由10個專題組成。

選修4一1：幾何證明選講。

選修4一2：矩陣與變換。

選修4—3：數列與差分。

選修4—4：坐標系與參數方程。

選修4一5:不等式選講。

選修4—6：初等數論初步。

選修4一7：優選法與試驗設計初步。

選修4—8：統籌法與圖論初步。

選修4—9：風險與決策。

選修4—10：開關電路與布爾代數。

2.重難點及考點：

重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數

難點：函數、圓錐曲線

高考相關考點：

⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件

⑵函數：映射與函數、函數解析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、指數與

指數函數、對數與對數函數、函數的應用

⑶數列：數列的有關概念、等差數列、等比數列、數列求和、數列的應用

⑷三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函

數的圖象與性質、三角函數的應用

⑸平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數量積及其應用

⑹不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應

用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規劃、圓、直線與圓的位置關系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應

用

⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

⑩排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用

(11)概率與統計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態分布

?導數：導數的概念、求導、導數的應用

?復數：復數的概念與運算

高中數學必修1知識點

第一章集合與函數概念

K1.13集合

[1.1.11集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數集及其記法

N表示自然數集，N*或N+表示正整數集，Z表示整數集，Q表示有理數集，R表示實數集.

(3)集合與元素間的關系

對象。與集合M的關系是aeM,或者aeM,兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.

③描述法：｛xlx具有的性質｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.

（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做

空集（0）.

[1.1.2]集合間的基本關系

（6）子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質示意圖

(l)AcA

AcB

A中的任一元素都⑵0=A?(1

子集(或

屬于B(3)若A=B且B=則A=C0

5")或

(4)若且BqA,則A=5

AuB(1)0uA(A為非空子集)

*Aq8,且B中至*

真子集(或少有一元素不屬于(2)若4uB且BuC,則AuC

**H!

B=)A)A

A中的任一元素都

集合(l)AoB

A=B屬于B,B中的任

相等(2)B=A1

一元素都屬于A

（7）己知集合A有〃（〃21）個元素，則它有2"個子集，它有2"-1個真子集，它有2"-1個非空子集，它有2"—2

非空真子集.

[1.1.3]集合的基本運算

（8）交集、并集、補集

名稱記號意義性質示意圖

(1)AA4=A

(x\xeA,S.(2)AC|0=0

3集

xeB}(3)AQficACD

(1)AU4=A

A\JB{x|xeA,或(2)AU0=A

并集

X6B}(3)AU83A

AUB"

且A}14n(”)=0

額AnB)=(0A)U(%B)

補集

覆AUB)=(精加④⑸24U&A)=UIO

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式解集

|x\<a(a>0){x\-a<x<a}

|x\>a(a>0)或x>〃}

把or+b看成一個整體，化成|x|<a,

\ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|>a(a>0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

A=Z?2-4ac

二次函數4\

y=ax2+hx+c(a>0)

0X]_%2

的圖象十

一元二次方程-b±y/b2-4ac

x\,2=-----------------b

ax2+bx+c-Q(a>0)2aX,=x1=-----無實根

la

的根(其中玉<冗2)

ax2+bx+c>0(a>0)

{x[x<X]或X>/}{x|x豐--—}R

la

的解集

ax2+hx+c<0(。>0)

{x|Xj<x<x2}00

的解集

K1.23函數及其表示

[1.2.1]函數的概念

(1)函數的概念

①設A、8是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則/,對于集合A中任何一個數X,在集合6中都有

唯一確定的數/(x)和它對應，那么這樣的對應(包括集合A,B以及A到6的對應法則f)叫做集合A到

8的一個函數，記作f8.

②函數的三要素:定義域、值域和對應法則.

③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數.

(2)區間的概念及表示法

①設是兩個實數，且a<b,滿足aWxW〃的實數x的集合叫做閉區間，記做切；滿足a<x<人的

實數x的集合叫做開區間，記做(。涉)；滿足或的實數x的集合叫做半開半閉區間，

分別記做[a,b),(a,b]；滿足x>a,x>a,x<b,x<b的實數x的集合分別記做

[a,+co),(a,+oo),(-0°,b],(-<x,b).

注意：對于集合｛x[a<x<。｝與區間(a,。)，前者。可以大于或等于6,而后者必須

a<b,(前者可以不成立，為空集；而后者必須成立).

(3)求函數的定義域時，一般遵循以下原則：

①/(x)是整式時，定義域是全體實數.

②/意)是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數.

③/(無)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合.

④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于L

JI

⑤y=tanx中，k7i+—(kGZ).

⑥零(負)指數基的底數不能為零.

⑦若/(幻是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義

域的交集.

⑧對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若己知/(x)的定義域為[a,句，其復合函數/[g(x)]的定義域

應由不等式a?g(x)<A解出.

⑨對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論.

⑩由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義.

(4)求函數的值域或最值

求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的.事實上，如果在函數的值域中存在一個最小

(大)數，這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度

不同.求函數值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或

最值.

③判別式法：若函數y=f(x)可以化成一個系數含有y的關于x的二次方程+8(y)x+c(y)=0,則

在a(y)H0時，由于為實數，故必須有△=〃(y)—4a(y)-c(y)20,從而確定函數的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角函

數的最值問題.

⑥反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值.

⑦數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值.

⑧函數的單調性法.

[1.2.2]函數的表示法

(5)函數的表示方法

表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對

應關系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

(6)映射的概念

①設A、8是兩個集合，如果按照某種對應法則/,對于集合A中任何一個元素，在集合8中都有唯一的

元素和它對應，那么這樣的對應(包括集合A,B以及A到8的對應法則/)叫做集合A到6的映射，記

作/:A78.

②給定一個集合A到集合B的映射，且“GA/68.如果元素a和元素b對應，那么我們把元素人叫做元

素a的象，元素。叫做元素b的原象.

K1.32函數的基本性質

[1.3.1]單調性與最大(小)值

(1)函數的單調性

①定義及判定方法

函數的定義圖象判定方法

性質

如果對于屬于定義域I內(1)利用定義

某個區間上的任意兩個(2)利用已知函數

y*y=f(x)/

自變量的值XI、X2,當個?的單調性

X2時,都有f(Xl)<f(X?),(3)利用函數圖象

f(X,)

那么就說f(x)在這個區(在某個區間圖

0X,x,X

間上是增國數.象上升為增)

函數的(4)利用復合函數

單調性(1)利用定義

如果對于屬于定義域I內

(2)利用已知函數

某個區間上的任意兩個y=f(x)

y的單調性

自變量的值Xi、X2,當X1<

f(x.)x.

(3)利用函數圖象

X2時，都有f(Xl)>f(X2)，

(在某個區間圖

0

那么就說f(x)在這個區Xix,X

象下降為減)

間上是誠函數.

(4)利用復合函數

②在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數,

減函數減去一個增函數為減函數.

③對于復合函數y=/[g(x)],令"=g(x),若y=/(〃)為增，〃=g(x)為增，則y=/[g(x)]為增；若

'=/(")為減，”=8(%)為減，則y=/[g(x)]為增；若y=/(〃)為增，”=g(x)為減，則y=/[g(x)]為

減；若y=/(〃)為減，〃=g(x)為增，則y=/[g(x)]為減.

(2)打“J”函數/(x)=x+@(a>0)的圖象與性質

X

/(尤)分別在(fO,—JZ]、[JZ,a)上為增函數，分別在

[-V^,o)s(o,JZ]上為減函數.

(3)最大(小)值定義

①一般地，設函數y=/(x)的定義域為/,如果存在實數〃

滿足：(1)對于任意的xe/,都有

⑵存在X°G/,使得/(%)=M.那么，我們稱M是函

數f（x）的最大值，記作/1rax（x）=M.

②一般地，設函數y=/（x）的定義域為/,如果存在實數力滿足：（1）對于任意的xe/,都有

（2）存在不€/,使得=那么，我們稱血是函數/（X）的最小值，記作7max（X）=m-

[1.3.2]奇偶性

（4）函數的奇偶性

①定義及判定方法

函數的

定義圖象判定方法

性質

如果對于函數f（x）定義（1）利用定義（要

y

域內任意一個X,都有(a,f(a))先判斷定義域是否

*_..一￡g）,那么函數-a「一關于原點對稱）

Joax

f（x）叫做奇西藜.（2）利用圖象（圖

(~a,f(-a))

函數的象關于原點對稱）

奇偶性如果對于函數f（x）定義（1）利用定義（要

y

域內任意一個X,都有先判斷定義域是否

(-a.f(-a)(a,f(a))

f（—x）=f（X），那么函數關于原點對稱）

f（x）叫做假西教.-aoax（2）利用圖象（圖

象關于y軸對稱）

②若函數/（x）為奇函數，且在x=（）處有定義，則/（0）=（）.

③奇函數在y軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函數在y軸兩側相對稱的區間增減性相反.

④在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函

數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數.

K補充知識』函數的圖象

（1）作圖

利用描點法作圖：

①確定函數的定義域：②化解函數解析式；

③討論函數的性質（奇偶性、單調性）；④畫出函數的圖象.

利用基本函數圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、暴函數、三角函數等各種基本初等函

數的圖象.

①平移變換

力>0,左移〃個單位—f（iv—/Yr）%>0,上移k個單位_+K

y-力<0,右移㈤個單位>）一x八"）一J⑴后<0,下移㈤個單位M

②伸縮變換

y=/(x)°募嫌>y=/M)

y-/(x)畸4y=*a)

③對稱變換

y-fMy=-f(x)y=/(x)-~^y=.f(-x)

y=.fMy=y=/(x)-直線尸X^=尸1（尤）

去朝，軸左邊圖象,v—丫n

>-Jw保留》軸右邊圖象，并作其關于y軸對稱圖象J"""

保留X軸上方圖象_____!”1

y=/(x)將x軸下方圖象翻折上去八切

（2）識圖

對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值

域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系.

（3）用圖

函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得

問題結果的重要工具.要重視數形結合解題的思想方法.

第二章基本初等函數（I）

K2.13指數函數

[2.1.1]指數與指數黑的運算

（1）根式的概念

①如果x"=a,aeR,xeR,〃>l,且“eN,,那么無叫做。的〃次方根.當〃是奇數時，。的〃次方根

用符號后表示；當〃是偶數時，正數。的正的〃次方根用符號標表示，負的〃次方根用符號-標表示；0

的〃次方根是0；負數a沒有〃次方根.

②式子布叫做根式，這里〃叫做根指數，。叫做被開方數.當〃為奇數時，a為任意實數；當”為偶數

時，a>0.

a

③根式的性質：（五）"=a；當”為奇數時，丘=a；當〃為偶數時，^=\a\=\.

-a（a<0）

(2)分數指數幕的概念

①正數的正分數指數基的意義是：47=53>0,加,〃€",，且〃>1).o的正分數指數基等于o.

②正數的負分數指數幕的意義是：J=(-)"=心門(a>Q,m,neN*,且〃>1).0的負分數指數幕

aVa

沒有意義.注意口訣：底數取倒數，指數取相反數.

(3)分數指數幕的運算性質

①優?a'=ar+s(a>0,r,seR)②(a)=ars(a>0,r,seR)

③(ab)r=arbr(a>Q,b>0,rG/?)

[2.1.2]指數函數及其性質

(4)指數函數

函數名稱指數函數

定義函數y=a'(a>0且ax1)叫做指數函數

a>10<a<\

J[2

(0,1)

一

圖象

^1

%X

定義域R

值域(0,+co)

過定點圖象過定點(0,1),即當x=()時，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調性在R上是增函數在R上是減函數

ax>1(x>0)a'<1(x>0)

函數值的

ax=1(x=0)優=1(x=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>\(x<0)

。變化對圖象的影響在第一象限內，。越大圖象越高；在第二象限內，。越大圖象越低.

K2.22對數函數

［2.2.1］對數與對數運算

(1)對數的定義

①若"=N(a>0,且“71),則尤叫做以。為底N的對數，記作x=log“N,其中。叫做底數，N叫做真數.

②負數和零沒有對數.

③對數式與指數式的互化：x=log“Noa，=N(a>O,a羊l,N>0).

(2)幾個重要的對數恒等式

h

logal=0,loga?=l,\ogaa=b.

(3)常用對數與自然對數

常用對數：IgN,即logioN；自然對數：InN,B|Jlog<_N(其中e=2.71828…).

(4)對數的運算性質如果。>0,aHl,M>0,N>0,那么

M

①加法：log“M+log"N=loga(MN)②減法：k>g“M-log〃N=log“一

N

③數乘：〃log“M=log"M"(〃eR)④4N=N

⑤log-Ar=ClogaMSwO,〃wR)⑥換底公式：log“N=g^"S〉0W"l)

"blog"a

(2.2.2］對數函數及其性質

(5)對數函數

函數

對數函數

名稱

定義函數y=log?>0且ar1)叫做對數函數

圖象a>l0<。<1

X=1Ix=1

y=logaXyy=iog?*

廠(1,0)

1L(1,0)x0

1V7

定義域(0,+8)

值域R

過定點圖象過定點(1,0),即當x=l時，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調性在(0,+8)上是增函數在(0,+8)上是減函數

logflx>0(x>l)log(,x<0(x>l)

函數值的

lognx=0(x=l)log(,x=0(x=l)

變化情況

log“x<0(0<x<1)log“x>0(0<x<1)

。變化對圖象的影響在第一象限內，。越大圖象越靠低；在第四象限內，a越大圖象越靠高.

⑹反函數的概念

設函數y=/(x)的定義域為A,值域為C,從式子y=/(x)中解出X,得式子x=°(y).如果對于y在

C中的任何一個值，通過式子x=<p(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應，那么式子x=°(y)表示x是y

的函數，函數x=°(y)叫做函數y=/(x)的反函數，記作x=/T(y),習慣上改寫成y=.

(7)反函數的求法

①確定反函數的定義域，即原函數的值域；②從原函數式y=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x=f-'(y)改寫成y=f-'(x),并注明反函數的定義域.

(8)反函數的性質

①原函數y=f(x)與反函數y=/T(X)的圖象關于直線y=x對稱.

②函數y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數y=/T(x)的值域、定義域.

③若P(a,b)在原函數y=/(x)的圖象上，則P\b,a)在反函數y=f-\x)的圖象上.

④一般地，函數y=/(x)要有反函數則它必須為單調函數.

K2.33嘉函數

(1)幕函數的定義

一般地，函數＞叫做事函數，其中x為自變量，a是常數.

(2)幕函數的圖象

(3)基函數的性質

①圖象分布：基函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.基函數是偶函數時，圖象分布在第一、二

象限(圖象關于y軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖

象只分布在第一象限.

②過定點：所有的幕函數在(0,+8)都有定義，并且圖象都通過點(1,1).

③單調性：如果。〉0,則基函數的圖象過原點，并且在［0,+o。)上為增函數.如果。<0,則基函數的圖象在

(0,+8)上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近x軸與y軸.

④奇偶性：當a為奇數時，幕函數為奇函數，當a為偶數時，幕函數為偶函數.當(其中g互質，p

P

￡里

和geZ),若p為奇數q為奇數時，則y=x0是奇函數，若p為奇數q為偶數時，則y=x,是偶函數，若p為

偶數q為奇數時，則y=x0是非奇非偶函數.

⑤圖象特征：募函數y=無e(0,+8),當a>l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方，若無>1,其圖

象在直線y=x上方，當a<l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若無>1,其圖象在直線y=x下方.

［補充知識］二次函數

(1)二次函數解析式的三種形式

①一般式：/(x)=ax2+6x+c(aH0)②頂點式：/(尤)=a(x-/?)2+女(。。0)③兩根式：

f(x)=a(x-x})(x-x2)(a0)(2)求二次函數解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時，常使用頂點式.

③若已知拋物線與X軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求/(X)更方便.

(3)二次函數圖象的性質

①二次函數/(x)=ox2+bx+c(aw0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x=——，頂點坐標是

2a

h4ac-b2

,---:----)-

2a4。

②當〃>0時'拋物線開口向上，函數在(一8,上遞減，在［一~^,+8)上遞增，當工=--■時，

2a2a2a

4uc—b2bhb

fmin(x)=———；當。<°時，拋物線開口向下，函數在(-00,一一］上遞增，在［一一,+00)上遞減，當X=-一

4。2a2a2a

4-ac-b1

時，/max(X)=

4a

③二次函數f(x)-ax2+bx+c(a^0)當△=￡一4°。>()時，圖象與x軸有兩個交點

M（百,0）,%（孫O）,I以必|=|百-%|=

|a|

(4)一元二次方程4比2+云+，=0(<7/0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統

和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理(韋達定理)的運用，下面結合二次

函數圖象的性質，系統地來分析一元二次方程實根的分布.

設一元二次方程0%2+法+。=0(。中0)的兩實根為工］,%2，且占4々.4"f(x)=ax2+bx+c,從以下四個

方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：x=~—③判別式：A④端點函數值符號.

2a

②xWxz<k<=>

⑤有且僅有一個根M（或M）滿足（或X2）〈k。/&）/仇）＜0,并同時考慮/（6=0或/優）=0

這兩種情況是否也符合

?kt<xt<k2^pi<x2<pi<=>

此結論可直接由⑤推出.

(5)二次函數/(x)=aV+bx+c(a#O)在閉區間［p,q］上的最值

設/(x)在區間［p,g］上的最大值為M,最小值為〃?，令/=；(〃+4).

(I)當a〉0時(開口向上)

hhb

①若----<p,則加=/(p)②若〃K----<q,則m=/(----)③若---->q,則加=/(<?)

(II)當。＜0時(開口向下)

bhbb

①若———<〃，則"=/(，)②若——<q,則M=/(—一)③若---->q，則Af=f(q)

2a2a2a2a

第三章函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念:對于函數y=f(x)(xeD),把使/(x)=0成立的實數x叫做函數y=/(x)(xeD)

的零點。

2、函數零點的意義：函數y=/(x)的零點就是方程/(x)=0實數根，亦即函數y=f(x)的圖象與x軸

交點的橫坐標。即：

方程/(?=0有實數根o函數y=/(x)的圖象與x軸有交點o函數y=/(x)有零點.

3、函數零點的求法：

求函數y=/(x)的零點：

①(代數法)求方程/(x)=0的實數根；

(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y=/(x)的圖象聯系起來，并利用函數的

性質找出零點.

4、二次函數的零點：

二次函數y=ax2+bx+c(a豐0).

1)△>0,方程aV+灰+c=o有兩不等實根，二次函數的圖象與1軸有兩個交點，二次函數有兩個

零點.

2)△=(),方程a?+bx+c=O有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖象與x軸有一個交點，二次

函數有一個二重零點或二階零點.

3)△<0,方程依2+法+。=0無實根，二次函數的圖象與％軸無交點，二次函數無零點.

高中數學必修2知識點

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結構特征

(1)棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這

些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱A8CDE-A力。力￡或用對角線的端點字母，如五棱柱AZ>

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的

截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐尸-AgC'D'E'

幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的

平方。

(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺P—AEC'DZ'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖是一個矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。

(6)圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

(1).平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；

(2).平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；

(3).畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側棱(4)成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

(-)空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積5=2勿7+2"23圓錐的表面積5=勿/+勿二

4圓臺的表面積S="/+"2+成/+成25球的表面積S=4成2

(-)空間幾何體的體積

2錐體的體積丫=；5底'/?

I柱體的體積V=S底*〃

3臺體的體積3=；(5卜+)5卜5下+S下)x〃4球體的體積

第二章直線與平面的位置關系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)

(2)平面通常用希臘字母a、8、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂

點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直