第一章楮卷

本章學習重點與難點

重點

一-、彈性力學的內容:彈性力學的研究對象、內容和危困?注意與其它力學在任

務、研究對象和研究方法上的相同點及不同點.

二、彈性力學的基本假定、基本fit和坐標系

1.為簡化計算，彈性力學假定所研究的物體處于連續的、完全彈性的、均勻的、

各向同性的、小變形的狀態.

2.各種基本量的正負號規定.注意彈性力學中應力分量的正負號規定與材料

力學中的正負號規定有何相同點和不同點.

外力（體力、面力）均以沿坐標軸正向為正?面力的正負號與所處的面無關（只

與坐標系有關），注意與應力分量正面正向、負面負向約定的區別.

3.五個基本假定在建立彈力力學基本方程時的用途。

難點

建立正面、負面的概念,確立彈性力學中應力分量的正負號規定。

典型例題講解

例1?1試分別根據在材料力學中,和彈性力學中符號的規定,確定圖中所示

的切應力ri.ri?T3的符號?

O：

例1?1圖

2彈怏?力學的明數枚（第三?施）金也導母及習題全*

【解答】（D在材料力學中規定，凡企圖使單元或其局部順時針轉動的切應力

為正.反之為負.所以,r,.r,為正打八r.為負.

（2）在彈性力學中規定,作用于正坐標面上的切應力以正坐標軸方向為正.作

用于負坐標面L的切應力以負坐標軸方向為正，相反的方向均為負.所以,c，s，

「3，r4均為負o

習題全解

1-1試舉例說明,什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體，什

么是非均勻的各向異性體。

【解答】木材、竹材是均勻的各向異性體;混合材料通常稱為非均勻的各向同

性體?如沙石混凝土構件，為非均勻的各向同性體;有生物組織如長骨?為非均勻的

各向異性體.

1-2一般的混凝土構件和鋼筋混^土構件能否作為理想彈性體？一般的巖

質地基和土質地基能否作為理想彈性體？

【解答】一般的混凝土構件可以作為理想的彈性體?而鋼筋混凝土構件不可

以作為理想的彈性體L?般的巖質地基不可以作為理想彈性體，而土質地基可以作

為理想的彈性體.

1-3五個基本假定在建立彈性力學基本方程時有什么用途？

【解答】（D連續性假定:引用這一假定以后，物體中的應力、應變和位移等物

理量就可看成是連續的，因此,建立用性力學的基本方程時就可以用坐標的連續函

數來表示它們的變化規律。

（2）完全彈性假定:引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應力

成正比的含義，亦即二者成線性的關系，服從胡克定律?從而使物理方程成為線性

的方程。

（3）均勻性假定;在該假定下，所研究的物體內部各點的物理性質顯然都是相

同的.因此，反映這些物理性質的彈性常數（如彈性模垃E和泊松比〃等）就不隨

位置坐標而變化.

（4）各向同性假定:所謂“各向同性”是指物體的物理性質在各個方向上都是相

同的。進一步地說,就是物體的彈性常數也不隨方向而變化.

（5）小變形假定?我們研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的改

變,而仍然按照原來的尺寸和形狀進行計算.同時，在研究物體的變形和位移時，

可以將它們的二次器或乘積略去不計，使得彈性力學中的微分方程都簡化為線性

微分方程.

在上述這些假定下,學性力學問題都化為線性問題?從而可以應用疊加原理。

1-4應力和面力的符號規定有什么區別？鼠分別畫出正面和負面上的正的

應力和正的面力的方向。

?—*紂it3

【解答】應力的符號規定是:當作用面的外法線指向坐標軸的正方向時（即正

面時3這個面上的應力（不論是正應力或切應力）以沿坐標軸的正方向為正.沿坐

標軸的負方向為負.與此相反.當作用面的外法線指向坐標軸的負方向時（即負面

時）.這個面上的應力就以沿坐標軸的負方向為正，沿坐標軸的正方向為負.

面力的符號規定是：當面力的指向沿坐標軸的正方向時為正,沿坐標軸的負方

向時為負.

解14圖

1-5試比較彈性力學和材料力學中關于切應力的符號規定.

【解答】在彈性力學和材料力學中切應力的符號規定不盡相同:材料力學中

規定,凡企圖使微段順時針轉動的切應力為正；在彈性力學中規定，作用于正坐標

面上的切應力以沿坐標軸正方向為正,作用F負坐標面上的切應力以沿坐標軸負

方向為正.相反的方向均為負.

1-6試舉例說明正的應力對應于正的形變.

【解答】如梁受拉伸時,其形狀發生改變，正的應力（拉

應力）對應于正的形變.

1-7試畫出題1-7圖中的矩形薄板的正的體力,面力

和應力的方向.

注意：（1）無論在哪一個位置的體力,在哪一個邊界面上

的面力，均以沿坐標軸正方向為正，反之為負.（2）邊界面上

的應力應是以在正坐標面上?方向沿坐標軸正方向為正，反

4彈性力學演明數檢（第三*）金極導學及習網全解

（a）體力和曲力,（b）體力和應力

之為負，在負坐標面上?方向沿坐標軸負方向為正，反之為負。

1-8試畫出題1-8圖中的三角形薄板的正的面力和體力的方向.

題］-8圖

第二,平而同題的基洋理卷

本章學習重點與難點

重點

一、兩類平面問題的概念

平面應力問題平面應變問題

名稱

未知量已知量未知量已知量

位移UtVw#0U，0w=0

二九?=0

應變<J，￡y，YQ/,?=T?=3=。

￡?=一百5十。」

r=r,=0，

應力%Wy，r?r?=r.=a.=0<7,?<7,tTjcyytx

4o,=〃（％十%）

體力、面力的作用面平行于Q平體力、面力的作用面平行于“》平

外力

面?外力沿板厚均勻分布。面，外力沿Z軸無變化.

物體在一個方向的幾何尺寸遠小于

沿一個方向（通常取為Z軸）很長的

形狀其它兩個方向的幾何尺寸（等厚度

等截面棱柱體（等截面長柱體）.

薄板1

二、平面問題的基本方程

平面問題的基本方程共有八個，見下表.其中，E,〃,G分別是彈性模量、泊松

P

比和切變模量,G=57TJ.

1十〃）

名稱基本方程表達式應用基本假定

平衡微連續性，小變

分方程蓼+鬻巖+既形,均勻性

幾何Du3vdu?3v連續性，小變

-F‘，=熱，，”=豆+石?

方程形?均勻性

6“忸■力學演明收桎（第三版）金松導學及習國金解

續表

名稱基本方程表達式應用基本假定

平面應力問題平面應變問題

_1、連續性?小變

€*=三z（。?一/＞）.

物理形，均勻性，

_1、

方程-一二豆（z%——完全彈性，

各向同性

1

y"=不riy?y~亍T2O

三、平面問題的邊界條件

彈性力學平面問題的邊界條件有三類，如下表.其中S..S.分別表示面力、位

移已知的邊界，/和m則是邊界面的方向余弦.

位移邊界條件應力邊界條件混合邊界條件

u="S.上

|d+mr”=?S上

產+mr“=7?，5上

ur^-hw,=/,.

1%+鞏=九?-

四、平面問題的兩條求解途徑

1.處理平面問題時?常用按位移求解和按應力求解這兩條途徑.在滿足相應

的求解方程和邊界條件之后，前者先求出位移再用幾何方程、物理方程分別求出應

變和應力，后者先求出應力再由物理方程、幾何方程分別求出應變和位移.

2.按位移求解平面問題?歸結為在給定邊界條件F,求解以位移表示的平衡微

分方程（平面應力情況）：

?號（票+寧奈+守懸）=。，

“號佛+寧驍+*懸）=。?

3.按應力求解平面問題，除運用平衡微分方程外，還需補充應變相容方程，該

方程可用應變或應力分量表示.

用應力表示的相容方程：

一般情況下：

V:（a,+%）="—（1+〃）（*?+*§）?平面應力問題

▽%+%）=一（心/（蒙+粉）。平面應變沖值

第二案平面阿邂的修本m論7

常體力情況下,

V"%+%）=0?

用應變表示的相容方程：

???，?31一嘰

dy2dxldxdy*

接應力求解常體力情況下的兩類平面問題?歸結為在給定邊界條件下?求解如

下的偏微分方程組?若是多連通（開孔）物體?相應的位移分量需滿足位移單值條件：

符+零+/，=。，

卷+窘+八=。，

▽"%+力）=0.

五、關于位移解法、應力解法及應變相容方程

1.彈性力學問題按位移求解（或按位移、應變、應力同時求解）時?應變相容方

程能自行滿足。按應力求解時?為保證從幾何方程求得連續的位移分量?需補充應

變相容方程，是保證物體（單連體）連續的充分和必要條件。對于多連體?只有在加

上位移單值條件，才能使物體變形后仍保持為連續體.

2.按位移求解時需聯立求解二階偏微分方程，雖在理論上講適用于各類邊界

條件，但實際運用時較難得到精確滿足位移邊界條件的解析解.因此，使其在尋找

精確解時受到了限制。然而，這?方法在數值解法中得到了廣泛應用。

3.應力解法通常適用于應力邊界條件或僅在局部給定位移的混合邊界條件.

由于可引入應力函數求解，故在尋找平面問題的解析解時.用此法求解比按位移求

解容易。

4.在按應力解法求解的方程組中并不隱含彈性常數，因此,按應力求解單連通

平面彈性體的應力邊界問題時，其應力解答與E.“.G無關（但應變、位移分量與彈

性常數有關），即應力與材料性質無關。這意味著不同彈性材料的物體（不論是屬

于平面應力問題，還是屬于平面應變問題）,只要在卬平面內具有相同的形狀、約

束和荷載,那么,*的分布情況就相同（不考慮體力）.可以證明：對于多連

通（開孔）物體，若作用在同一邊界上外力的主矢為零,上述結論也成立。

難點

一、兩類平面問題的異同點。

二、圣維南原理的適用范圍,對其定義的把握。在利用圣維南原理在小邊界

（次要邊界）上局部放松?使應力邊界條件近似滿足時，注意主矢（主矩）的正負號規

定:應力合成的主矢（主矩）與外力主矢（主矩）方向一致時取正號?反之取負號。

三、列出應力邊界條件.

8J*帙力學藺明效松（H三版）金槿5#及習?金X

典型例題講解

例2?1已知薄板有F列形變關系：，=AzA￡、=BV，y?=C-Dy'式中

A.B.C.D皆為常數,試檢查在形變過程中是否符合連續條件.若滿足并列出應力

分量表達式.

【解】（】>相容條件：

將形變分量代人形變協調方程（相容方程）

"4?乜二嘰

dyzdx2'

其中=°，=°，垓字=°。

djredxdy

所以滿足相容方程，符合連續性條件。

（2）在平面應力問題中，用形變分量表示的應力分量為

*=f一下（―+—>=T-E-2（.Ary+/xBy?

*=[上*i（￡,+-）=]（/iAxy+ByD?

j=Gy“=G（C-D/）.

（3）平衡微分方程

翡+/,=%

言+?+/,=。?

其中空=巖*色=「^<3By—血）,

■=。'=-2GDy.

若滿足平衡微分方程,必須有

[■^y-2GDy+f.=0.

廠一"

C

]（3By?4-/xAj）+/,=0.

分析:用形變分it表示的應力分量,滿足了相容方

程和平衡微分方程條件,若要求出常數A,B?C.D還

需應力邊界條件.

例2?2如圖所示為一矩形截面水壩,其右側面

受好水壓力（水的密度為P）.頂部受集中力P作用.

第二*平面問題的事本理論9

試寫出水現的應力邊界條件.

【解】根據在邊界上應力與面力的關系

左側面t（*）,?》=了*《V）=0.4.）*■*=f、（?y）=0，

右側面：Q,）.?T=7,<y）=一pgy，（rXv）x--A0—3=0?

上下端面為小邊界面，應用圣維南原理,可列出三個積分的應力邊界條件。上

端面的面力向截面形心。簡化，得面力的主矢量和主矩分別為FN.F’,M,,

F、=Psina,Fs=-Pcosa,Mo=華sina?

y=0坐標面,應力主矢量符號與面力主矢量符號相反，應力主矩與面力主矩的轉

向相反。所以

|A（外）,=odx=—FN=-Psina,

[《%），=oN（lr——Me工—I*PAsina,

J-44

[）,=odx=-Fs=Pcosa。■

J-A

下端面的面力向截面形心D簡化,得到主矢18和主矩為

/2

FN=-Psina.Fs=Pcosa----

M[>=P/cosa-粵sina一冬pg.

y=/坐標面,應力主矢量、主矩的符號與面力主矢量、主矩的符號相同.所以

JA（%）,?<tr=FN=-Psina,

f*],3

J&）y?ixdLr=MD=P/cosa—yPAsina----"g,

JrCQ…業=Fs=Pcosa-多圖?

分析：（D與坐標軸平行的主要邊界只能建立兩個等式,而且與邊界平行的應

力分量不會出現.如在左、右側面?不要加入（八九-=0或——=0。

（2）在大邊界上必須精確滿足應力邊界條件，當在小邊界（次要邊界）上無法精

確滿足時.可以應用圣維南原理使應力邊界條件近似滿足，使問題的求解大為筒

化.應力合成的主矢（主矩）符號的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判斷，二者

方向一致時取正號,反之取負號。

習題全解

2-1如果某一問題中-rty=0,只存在平面應力分量,r“，且

它們不沿N方向變化,僅為工u的函數?試考慮此問題是否就是平面應力問題？

10力學加明敦根（第三版）全權導學及習H金就

【解答】平面應力問題.就是作用在物體上的外力.約束沿N向均不變化，只

有平面應力分量（,?%"0）,且僅為工~的函數的彈性力學問題.所以此問圖是平

面應力問題。，

2-2如果某一問題中?—=71?>=72=0,只存在平面應變分量一?一?

7”.且它們不沿z方向變化,僅為i.y的函數?試考慮此問題是否就是平面應

變問胭？

【解答】平面應變問題,就是物體截面形狀、體力、面力及約束沿？向均不變.

只有平面應變分量（￡,，￡,.7”）.且僅為/，3的函數的彈性力學問題?所以此問題

是平面應變問題。

2-3試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中?題2?3

圖?其應力狀態接近于平面應力的情況，

【解答】在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中,可以認為在該薄

層的上下表面都無面力?且在薄層內所有各點都有*=r?=r0=0,只存在平面

應力分城叫，力.r°，且它們不沿z向變化.僅為工~的函數。可認定此間即是平

面應力問題。

2-4試分析說明?在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄

板中，題27圖?當板上只受向的面力或約束?且不沿厚度變化時?其應力狀

態接近于平面應變的情況.

題24圖

【解答】板上處處受法向約束時3=0,且不受切向面力作用，則y?=y'=o

（相應r0=ro=0）;板邊上只受r.y向的而力或約束?所以僅存在c,，一，人,且不

沿厚度變化?所以其應變狀態接近于平面應變的情況.

2-5在題2-5圖的微分體中.若將對形心的力矩平衡條件ZMc=0?改為對

第二皋平面間反的事本逐詒11

角點的力矩平衡條件，試問將導出什么形式的方程？

題2-5圖

【解】將對形心的力矩平衡條件EM,=0,改為分別對四個角點A,B.D.E

的平衡條件.為計算方便，在z方向的尺寸取為一個單位。

XMA=o.

力drX1X學+(*4--dx)dyX1X學一(「”)dyXIXdx

+(。―+^^血)ctrXIXdy-(%+攀dy)&XIX亨—<r,dyXIX當

(a)

+/,drd_yXIX——/vdrdyXIX-=0.

XM”=0,

(〃+翁dr)d_yXI次學+(I+專打)加*1—4y+

(力+全力)<LrX1X當一jdyX1Xdr'-ardyX1X與—(b)

*drXIX華+/,dxdyX】X學+—dxdyXIX竽=0.

ZM[)=0,

(力+言力)業X1X~一.“dyXIXdr+o*dyX1X學+

ry,drX1Xdy-(yvcLrX1X與一(%+^^cLr)d),X1X當—(c)

f,drdyXIX冬+f,(lrdyXIX竽=0.

SME=O,

JQ+養dy)drX1X+”,dyX1X*+r>,drX1Xdy+%drXIX

12“性力學洵明敷更（第三uia）余核導學及習H全解

1

y_（%+爹dr）dyX1X-^—（r?+苦dr）dyX1Xdr-f,drdyXIX

學十八業出X1X華=0。（d）

略去式（a）、（b）、（c）和式（d）中三階小量（亦即<fxdy.dx^y都趨于零），并將各式

都除以dr力后合并同類項，分別得到

r”=J?

2-6在題2-5圖的微分體中，若考慮每一面上的應力分量不是均勻分布的,

試問將導出什么形式的平衡微分方程？

【解】微分單元體ABCD的邊長dz,d》都是微量,因此可以假設在單元體各

面上所受的應力如圖（a）示,忽略了二階以上的高階微量?而看作是線性分布的.如

圖（b）示.為計算方便?單元體在z方向的尺寸取為一個單位.

各點正應力，

0n一

Tlf

lrj

I

UXUIIMUMB

B

T

T[

.-k

也）

解2-6圖

Q/）A=%，《力》A=Oy；

（力）B=%+粉必，（%）s=%+粉dy；

（%）Q=o,+^^dz,（力力=<7,+養dr；

Q,〉c=%+養&+符”?（%）c=%+若業+符dy.

各點切應力，

）A=r,9.（I）A=T,,：

（ru）B=r”+-^dy，（j）B=Ty,+^^力；

（r"）&=r<y4--^^dx.（r?）c=r”+-J^dr，

需二/平E同18的木本理論13

（r”）c=仁，+養&+警力，（fk〉c=「”+作"+得打.

由微分單元體的平衡條件￡F,=0,2F,=0得

｛_｝［%+（%+言的）］）dy十償［（%卜翁dr）

+（。，+養乙+含的）］｝3一（虹~+上+窘dr）］.

+(l[(r>>+得力)+卜”+笠&+警dy)]}dr+/,drdy

=0,

卜十"+（。,+言&）］｝&+｛+［（*+舞動

+（%+柴改+言打）］｝"+（r?+'；jdy）］｝dy

+|l［（r?+若L）+卜,+警力+爭&）］）3+f,drd>

=0.

以上二式分別展開并約簡,再分別除以dzdy.就得到平面問翹中的平衡微分

方程

2-7在導出平面向胭的三套基本方程時，分別應用了哪些基本假定？這些方

程的適用條件是什么？

【解答】（D在導出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時應用的基本假定

是：物體的連續性，小變形和均勻性?

在兩種平面問題（平面應力、平面應變問題）中,平衡微分方程和幾何方程都

適用。

（2）在導出平面問題的物理方程時應用的基本假定是:物體的連續性,完全彈

性,均勻性，小變形和各向同性?即物體為小變形的理想彈性體，

在兩種平面問題（平面應力、平面應變問題）中的物理方程不一樣,如果將平面

應力問題的物理方程中的E換為言了小換為之.就得到平面應變問胭的物理

方程.

2-8試列出題2-8圖（《）.期2-8圖（b）所示問題的全部邊界條件.在其端

部邊界上,應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。

【解】（1）對于圖（a）的向鹿

14彈性力學演明致桎（第三款）仝柱導學及習超全科

在主饕邊界X=O.X-h上.應精確滿足下列邊界條件,

（%）.=（?=-豳>?（丁”）…=0;

《%）…=-W?…=0.

在小邊界（次要邊界）y=0上?能精確滿足卜列邊界條件?

<%>v-n=-pM,<r>r）=0。

在小邊界（次要邊界）y?心上?方位移邊界條件：（“）,04=0.（&）八與=0.

這兩個位移邊界條件可以應用圣維南原理?改用三個積分的應力邊界條件來代替.

當板厚6=1時.

J<a,>y-*2<lr=pg（A|+h?）b.

?［《％》一上產dx*0,

￡<ryr）…與業=0.

?2?8圖

（2）對于圖（b）所示問題

在主要邊界>=±h/2上?應精確滿足下列邊界條件：

（%>>一"4=0,（r^=_Q1，

（Sv）y_—*/*==—q?（Tu）,=f2=0。

在次要邊界*=o上.應用圣維南原理列出三個枳分的應力邊界條件?當板摩

6=1時，

JT.（力）…力=-F、，

,]*_,《%),=oydy=-M,

在次要邊界/=/上，有位移邊界條件：（“）,—=0.?）,』=0。這兩個位移

邊界條件可以改用三個積分的應力邊界條件來代替

基二立平面問我的基本理論15

匚」。，)一心=磯—八?

《%),川力=—M-FJ-*?

J—*2ZL

J<r,v),-.rdj=■一ql一孰?

2-9試應用圣維南原理?列出題2-9圖所示的兩個問胭中(M邊的三個積分

的應力邊界條件,并比較兩者的面力是否靜力等效？

題2-9圖

【解】(D對于圖(a),上端面的面力向截面形心簡化，得主矢和主矩分別為

八=q6/2?Fs=0.M=，詈(5r)&r=—qb?/12?應用圣維南原理,列出三

個枳分的應力邊界條件,當板厚<5=1時，

j(心)>.odr=—qb/2.

<j(*)-oidj=q加/12,

[JT2(r”>?idr=0?

(2)對于圖(b).應用圣維南原理，列出三個積分的應力邊界條件,當板厚S=1時.

J(%),=odLr=一馳/2,

<J(*=#/12,

j)y.ocLr=0.

所以.在小邊界QA邊上，兩個問題的三個積分的應力邊界條件相同.這兩個問

16彈性力學藺明數極（茶三瓶）全棧導學及習fl!全解

題為靜力等效的。

2-10檢驗平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？

【解】（1）用位移表示的平衡微分方程

上（含+寧券+*就）+"。，

缶一+〒票+字懸）+“。?

（2）用位移表示的應力邊界條件

言也袈+虛）+"*寧既+給卜力丁

,.（在S?上）

當口原+假）+,〒第+機1f.

（3）位移邊界條件

（u）,Na,（V）,=V.（在5.上）

2-11檢驗平面問題中的應力分量是否為正確解答的條件是什么？

【解】（1）平衡微分方程

（2）相容方程

+%）=-"+"）（養+粉）.

（3）應力邊界條件（假定全部為應力邊界條件,s=s.）

/（d+mj），=乙，/夫,x

（.f（在3=S上）

1（皿十/r”），=九?t

（4）若為多連體?還須滿足位移單值條件.

2-12檢驗平面問題中的應力函數0是否為正確解答的條件是什么？

【解】應力函數須滿足以下條件

（1）相容方程

V*<J>=0.

（2）應力邊界條件（假定全部為應力邊界條件?$=$?）

H-mr?>,=.

{7（在$=力上）

（<WVf-hr,）,=fy.

（3）若為多連體,還須滿足位移單值條件.

求出應力函數。后,可以按下式求出應力分量，

s=每一/>，力=5?一/0'、=Sxdy'

第二案平面間M的a本理論17

2-13檢驗下列應力分量是否是圖示問題的解答：

（a）@2-13圖（a）,%=gq，*=rr二。?

（b）02-13圖M由材料力學公式必0卷,“=等（取梁的厚度6=1）.

得出所示問題的解答：

%=-2q舒，丁”=一舞（爐-4九

又根據平衡微分方程和邊界條件得出

_3qiy八x>3qx

%―彳仄-2q市一方。

試導出上述公式,并檢驗解答的正確性.

【解】按應力求解時（本題體力不計），在單連體中應力分量外必須滿

足:平衡微分方程、相容方程、應力邊界條件（假設$="）.

⑴題2-13圖⑸0=方qg=ro=0.

①相容條件:將應力分量代人相容方程，教材中式（2-23）

（備+券）（*+9>=1?X0，

不滿足相容方程.

②平衡條件:將應力分量代入平衡微分方程

言+需=。，

'粉+窘=。?

顯然滿足.

③應力邊界條件:在H=±。邊界上，

=（下“）*=裁=。。

在y=±6邊界上，

《力）,皿獷h。，“〃），"="=。.

滿足應力邊界條件。

⑵題2-13圖（b）,由材料力學公式.*=%，r“=皆（取梁的厚度&=1），

得出所示問題的解答孫=一2q家,r”一?言又根據平衡微分

方程和邊界條件得出a,=學會'-2qJTT~^~j.試導出上述公式,并檢驗解答的

￡rIflin4H

正確性.

18嫌性力學簡明敷程（第三版）金根導學及習到全科

題2?13圖

①推導公式：

在分布荷栽的作用下,梁發生彎曲變形，梁橫截面是寬度為1?高為人的矩形.

其對z軸（中性軸）的慣性矩為h=差，應用截面法可求出任意截面的彎矩方程和

剪力方程分別為MJ）=$，—%

所以截面內任意點的正應力和切應力分別為

3

M（J:）V°xy

°'=~T.------Tq肝,

r“=喙2（一務）一學融―八

根據平衡微分方程的第二式（體力不計）

.+.=。，

得到

%=4*一2<7/+A?

根據邊界條件（*）,-*,?=0,

得A=一好，

所以?=的紅一2。士一里三

②相容條件：

將應力分量代入相容方程

（或+給——云。?

不滿足相容方程。

③平衡條件：

票二塞平面同題的孤本設論19

將應力分貴代人平衡微分方程顯然滿足。

④應力邊界條件：

在主要邊界y=士人/2上,應精確滿足卜列邊界條件：

(。>),h—hfl1*《T"j1r),=T/2=。0

(%),-*々=0.=0。

自然滿足.

在”=0的次要邊界上?外力的主矢量.主矩都為零.有三個枳分的應力邊界

條件：

0/2產

L“Q,〉,idy=0，L“<%〉，7dy=0,

)匚“…dy=0.

在工=/次要邊界上，(〃)-/=0,(>),?，=0.這兩個位移邊界條件可以改

用三個積分的應力邊界條件來代替.

J.2(%),_,dy=Jf“-2q/dy=0,

“J:5L刁二一2q京加工一哈.

J-a-T二-￥君⑴一4戶出=一￥.

所以.滿足應力的邊界條件.

雖然上兩圖中的應力分量都滿足平衡微分方程和應力邊界條件,但都不滿足

相容方程,所以兩題的解答都不是問題的解.

2-14試證明：在發生最大與最小切應力的面上,正應力的數值都等于兩個主

應力的平均值.

【證明】任意斜截面上.的切應力為r,=/m<6—6〉，其中6，G為兩個主

應力.

用關系式八+m?=l消去m,得

r.=±/?/1—z2-6)=±je—4(6—6)=±J}--尸)㈤-6).

由上式可見.當十一廠=0時”.為最大和最小.于是得I-±JJ.

而%=八(G-6)十。2，得到="^金?

2-15設已求得一點處的應力分量，試求62—，

(a)(yx=100,%=50,rjy=10/50;

(b)%=200,力=0,=-400;

20舞M力學前明效植（第三J?）金枚導學及習餐全解

(c)”=-2000,*=1000,r,y=-400j

(d)w=-1000.%=—1500,rx,=500.

【解】根據教材中式（2-6）和tana,二51二2可分別求出主應力和主應力的

方向：

3）%=100,ay=50,r?==10>/50；

;卜100^50土.1^9）2+（10^7.

得

<b)

::卜咿土J（毛）丁+《二嬴,

o\—a,-691+1000NQ

tana,=F-=-500—=0A-618-

得Ox=-691.“二-1809,ai=31*43\

2-16設有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計?在全部邊界上（包括孔口

邊界上）受有均勻壓力q.試證乙=*=一。及r”=。能滿足平衡微分方程、相容

方程和應力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答.

第二*平面內題的事本理論21

解276圖

【證明】(1)將應力分量=-q.r”=0和/,=八=0分別代入平衡

微分方程、相容方程

■+需+….

</儲)

用+*+八=。??

(3+弄)<%+%)-《1+小空+駕)=0.⑸

顯然式(a)、(b)是滿足的。

(2)對于微小的三角板A,dz,dy都為正值?斜邊上的方向余弦Z=COS(%N).

m=cos(〃.y),將%=%=-q,r1y=0代入平面問題的應力邊界條件的表達式

八包+mj),=/*《5),,、

,r(0

I(w,+ITJ9),=/,($)?

則布'

011cos(n,x)=-qcos(ntx)*

%cos(〃，y)=-qcos

所以%=-q,。,=—g?

對于單連體?上述條件就是確定應力的全部條件.

(3)對于多連體，應校核位移單值條件是否滿足。

該題為平面應力的情況，首先，將應力分量久=-q及下0=0代入物理

方程，教材中式(2?12),得形變分量

(〃―1)C

=Eq，y”=。。

然后，將式(d)的形變分量代入幾何方程.教材中式(2-8),得

du(〃一】)dv(隰一1)dv.8u八

si=-E-g'石豆=①

22彈位力學福明數桎I第三麻)全程與學及習現全JW

前二式的積分得到

U-"宜―'r+/i(y)，0=、￡飛"qy+'2(N)，(f)

其中的人和人分別是丫和1的待定函數?可以通過幾何方程的第三式求出。

將式(力代人式”)的第三式，得

_d/1(y)_df,(JC)

dydr

等式左邊只是y的函數?而等式右邊只是工的函數。因此，只可能兩邊都等于

同,個常數3.于是有

”《y)d/2(j)

-37^=i-

積分以后得

/i(>)=—<?y\u(>?/zCxJ^cur-Fv0.

代人式(f)得位移分址

(〃一］)

u=~￡-9"—wy+“0?

,<<-1)")

v=--.