實驗三十五用動態法測定金屬的楊氏模量楊氏模量是描述固體材料彈性形變的一個重要物理量。用靜態拉伸法可以測出楊氏模量，但此方法的缺點是負荷大，加載速度慢，存在弛豫過程，不能真實地反映材料內部結構的變化；在拉伸過程中，樣品的橫向和縱向都有形變，而此法忽略橫向形變；另外，也不能用于測量脆性材料。動態懸掛法可以克服這些缺點，是一種非常實用的測量方法。【實驗目的】學會用動態懸掛法測量金屬材料的楊氏模量。培養學生綜合應用物理儀器的能力。實驗儀器】DCY-3型動態楊氏模量測定儀，信號發生器，示波器，游標卡尺，千分尺，物理天平等。+XCC溫控器測試棒加熱爐廠換能器測試棒熱電偶500Hz示波器100QC廠、+XCC溫控器測試棒加熱爐廠換能器測試棒熱電偶500Hz示波器100QC廠、耐測玻□開定定關信號發生器支撐支架5-35-1)5-35-1)圖5-35-1DCY-3型動態楊氏模量測定儀【實驗原理】若將一均勻棒懸掛起來，如圖5-35-2所示，并使之發生橫向振動，其振動方程為竺+空dx4EJ式中,y為振動位移,x為縱向變量,t為時間，p為棒的密度,S為棒的截面面積,E為棒的楊氏彈性模量,J稱為慣性矩。振動方程為偏微分方程。用分離變量法求解方程（求解過程見附錄），得:圓形棒E=1.6067糾f2 (5-35-2)d4式中，l為棒長，d為棒的截面直徑，m為棒的質量，f為棒的固有頻率。矩形棒l3mE=0.9464—f2 (5-35-3)bh3式中，b，h分別為棒的寬和厚。在國際單位制中，楊氏模量的單位為牛頓/米2(N?m-2)。實驗原理圖如5-35-3所示。由信號發生器輸出的正弦信號，加到激發換能器I上，通過激發換能器I把信號轉變成機械振動，再由懸絲把機械振動傳給待測試樣，使試樣受迫做橫向振動，試樣另一端的懸絲將振動傳給接受換能器II,這時機械振動又轉變成電信號。該信號送到示波器中顯示。當信號發生器的頻率不等于待測試樣的固有頻率時，試樣不發生共振，示波器上沒有電信號，或波形幅度很小。當信號發生器的頻率等于試樣的固有頻率時，試樣發生共振，這時示波器上電信號波形幅度最大，此時信號發生器輸出的信號頻率，就是試樣在該溫度下的共振頻率，代入公式(5-35-2)，即可求出該溫度下圓形棒試樣的楊氏模量。試樣棒圖5-35-3實驗原理圖【實驗內容】在室溫下測量不銹鋼棒和銅棒的楊氏模量用游標卡尺、物理天平分別測出不銹鋼棒和銅棒的長度1、質量m,單次測量。用千分尺測出兩種金屬棒的直徑d,在不同位置測六次，多次測量，取平均值。在室溫下不銹鋼和銅的楊氏模量分別約為2X10nN/m2和1.03X1011N/m2,先根據公式(5-35-2)估算出兩種金屬棒的共振頻率，以便尋找共振點。將信號發生器的輸出端與支撐支架上的接受端對應連接，并將支撐支架的輸出端與示波器的X和Y軸輸入端對應連接。將不銹鋼棒和銅棒分別用懸絲懸掛于支撐支架上，把兩個換能器的連接線與支撐支架上的接口對應連接。6?調節信號發生器的頻率，當待測棒發生共振時，測出其固有頻率f再利用公式(5-35-2)分別計算出不銹鋼棒和銅棒的楊氏模量E。在加熱爐上測量不銹鋼棒的楊氏模量將不銹鋼棒用高溫懸絲懸掛在加熱爐中，并將熱電偶測溫點放入。注意不要碰及不

銹鋼棒。用保溫氈將加熱爐兩邊開口以及頂部開口封死，只留二個小孔讓懸絲通過。把兩個換能器的連接線與支撐支架上的接口對應連接。先將溫控器設定在lOOoC，后至于測溫處。將加熱爐電源線接至溫控器后面的插口內，升溫至lOOoC。測量不銹鋼棒的固有頻率并計算其楊氏模量。改變爐溫，在200°C、300°C、400oC和500°C下分別測量固有頻率并計算楊氏模量。測量完畢后，將加熱爐的電源拔下。（不銹鋼棒的參數:L=0.18m,d=0.006m,m=0.0430kg。）【數據處理】將測量值填入自擬表格中。2?計算E并與公認值比較，求出百分誤差。【注意事項】懸掛試樣時，懸絲應懸掛試樣的兩端。在加熱爐上測量時，換能器二個小鉤應在爐體開口正上方，用?0.05-0.15mm高溫懸絲將試樣綁好綁緊，調整二懸絲在通過試樣直徑的鉛垂面上。將試樣調整到水平位置，測量時二懸絲不能與任何物體接觸。使用加熱爐時，爐殼表面溫度較高，務必注意避免燙傷。當調節信號發生器的頻率時，在示波器上會觀察到波形多次突然增大的現象，但這些頻率并不是共振頻率，只有在估算出的共振頻率附近測出的共振點，才是試樣的固有頻率。【預習思考題】1?試樣棒的固有頻率f如何測量？在示波器上如何觀察到共振現象？要在示波器上觀察正弦波形，示波器應如何調整？【思考題】動態法與靜態法測楊氏模量有何不同？測量中如何確定試樣的固有頻率？【附錄】根據棒的橫振動方程用分離變量法解方程，令代入方程（附5-35-1【附錄】根據棒的橫振動方程用分離變量法解方程，令代入方程（附5-35-1）得棒的橫振動方程的解d4y+

dx4PSEJY(x,t)=X(x)TC)附5-35-1)1d4X__pS1d2TXdx4Xdx4EJTdt2等式兩邊分別是x和t的函數，設等式等于常數K4,得d4Xdx4哎+KEJ=0dt2pSX(xX(x)二BchKx+BshKx+BcosKx+BsinKxT(t)=AcosCot+振動方程的通解為Y(x,Y(x,t)=(BchKx1+BshKx+BcosKx+Bsin2 3 4Kx)?AcosCot+q)K4EJ2式中 o=—— （附5-35-2）IPS丿稱為頻率公式。頻率公式對任意形狀的截面，不同邊界條件的試樣都成立。我們只要用特定的邊界條件定出常數K,代入特定截面的慣性矩J,就可以得到具體條件下的計算公式了。如果懸絲掛在試樣的節點附近，則邊界條件為：自由端的作用力QM d3y=-EJ QX Qx3彎矩M=EJQ2y=0Qx2d3Xdx3=0d3X=0dx3即x=0x=ld2Xd2X=0=0dx2dx2x=0x=l將通解代入邊界條件,得到cosKl?chKl=1用數值解法求得本征值K和棒長l應滿足Kl=0、4.730、7.853、10.996、14.137、…由于其中一個根“0”對應于靜態情況，故將第二根Kl=4.730作為第一個根，記作Kl，通常將Kl對應的頻率稱為基頻，在上述nKl值中，第1、3、5、…個數值對應著“對稱形振動”，第2、4、6、…個數值對應著“反對稱形振動”，最低級次的對稱形和反對稱形振動的波形如附圖所示。可見，試樣在作基頻振動時，存在著兩個節點，位置距兩個端面分別為0.224l和0.776l。4.730將第一本征值K=—^代入（附5-35-2）式，得到自由振動的固有頻率，即基頻

（（4.730）4EJ）t①= I 14PS 丿YL