第頁四年級奧數(shù)詳解答案第3講第三講數(shù)陣圖一、知識概要1.數(shù)陣圖就是把一些數(shù)字填入圖形的某種位置上，并使數(shù)字滿足一定的條件。2.數(shù)陣圖的種類，大致分為三種：①封閉型數(shù)陣圖；②開放型數(shù)陣圖；③復(fù)合型數(shù)陣圖3.解數(shù)陣圖的一般方法：(1)分析隱含的數(shù)量關(guān)系和數(shù)字的位置關(guān)系，以特殊的位置為突破口，一般選用使用次數(shù)多的數(shù)作為關(guān)健數(shù)。(2)依據(jù)圖中條件，建立所求的和及關(guān)健數(shù)的關(guān)系式，并通過討論最大值及最小值，以及試驗的辦法確定關(guān)鍵數(shù)的數(shù)值及相等的和。(3)對其他部位上的數(shù)字一般都是作嘗試選填，直至符合題為止二、典型例題精講1.把1～6這6個數(shù)分別填在圖中的○內(nèi)，使每多邊上三個○內(nèi)的數(shù)字和相等。分析指導(dǎo)：21+(a+b+c)=(a+d+b)+(b+f+c)+(a+e+c)a+d+b=b+f+c=a+e+c,且設(shè)a+d+b=k有:21+(a+b+c)=3k當(dāng)a+b+c為最小值，即1+2+3=6時，k=9當(dāng)a+b+c為最大值，即6+5+4=15時，k=12這樣就可以確定，三角形每邊上的三個○內(nèi)的數(shù)字和在9～12之間解：(1)當(dāng)k=9時，a+b+c=6,令a=1,b=2,c=3則：d=9-(2+1)=6e=9-1-3=5f=9-2-3=4其結(jié)果如下圖所示：(2)當(dāng)k=10時，a+b+c=9,則：a.b.c的取值有三種可能：①a=1,b=2,c=6②a=1,b=3,c=5③a=2,b=3,c=4①種情況，a=1,b=2,c=6,則d=10-1-2=7(不合題意，舍去)②種情況，a=1,b=3,c=5,則d=10-1-3=6，e=10-1-5=4;f=10-3-5=2,所以結(jié)果如圖所示。③種情況，a=2,b=3,c=4,則d=10-2-3=5，e=10-2-4=6,f=10-3-4=3,及b=3重復(fù)，不合題意，舍去。(3)當(dāng)k=11時，則a+b+c=12,這時a、b、c的取值，又有如下幾種情況：①a=1,b=5,c=6,d=11-1-1=5及b=5矛盾，舍去。②a=2,b=4,c=6,d=11-2-4=5,e=11-8=3,f=11-10=1結(jié)果如圖所示。③a=3,b=4,c=5,d=11-7=4,及b=4矛盾，舍去。(4)當(dāng)k=12時，則a+b+c=15,這時a、b、c的取值為a=4,b=5,c=6,d=12-9=3,e=12-11=1,f=12-10=2結(jié)果如圖所示：綜合以上分析，本題有四種不同的填法。2.1～12中的部分?jǐn)?shù)字已填入圖中，請將其余的數(shù)字補(bǔ)充填入，使得每條直線上的四個數(shù)的和都相等。分析指導(dǎo)：①求出1～12的和。每個○內(nèi)的數(shù)都重復(fù)計算了一次，六條直線數(shù)字之和=1～12的和的2倍。②求出每條直線上的數(shù)字之和。③中間數(shù)嘗試幾次便可試出。解：①1～12的和：(12+1)×12÷2=78②每條直線數(shù)字之和：78×2÷6=156÷6=26b+a=26-10-1=15,則a和b的取值為只能是8和7，這樣問題就解決了。結(jié)果如圖所示：3.將1～10這十個數(shù)字填入圖中的10個○內(nèi)，使每個四邊形四個頂點(diǎn)上各數(shù)的和等于24。分析指導(dǎo)：這個數(shù)的突破口是：題中有3個“正方形”，兩個位置上的數(shù)字被重復(fù)使用。三個“正方形”的頂點(diǎn)上各數(shù)的總和應(yīng)是：24×3=72，而1～10這十個數(shù)字的總和是：(10+1)×10÷2=55，所以中間重復(fù)使用的兩個數(shù)之和應(yīng)是：72-55=17，重復(fù)使用的兩個數(shù)的取值范圍有10和7；9和8兩種情況，本題可能有兩種答案，先試第一種：當(dāng)中間數(shù)為10和7時，有：10+7+1+6=24，10+9+2+3=2，7+8+4+5=2，符合題意，結(jié)果如圖所示：再試第二種：當(dāng)中間數(shù)為9和8時，有：9+8+4+3=24，10+8+5+1=249+7+6+2=24，符合題意，結(jié)果如圖所示綜合上述分析，此題有2種填法。4.把1～8各數(shù)填入圖中的○內(nèi)，使每個面上四個數(shù)的和等于18。分析指導(dǎo)：這是個立體圖形，四個頂點(diǎn)上的數(shù)字被重復(fù)使用，但沒有“關(guān)鍵數(shù)”，我們可以“1”這個特殊數(shù)填入任意一個位置，則和“1”組成18的情況有：1+2+7+8=18，1+3+6+8=18，1+4+5+8=18，1+7+6+4=18先將上述任意一組的四個數(shù)放入其中一個面的四個圓圈(大、小數(shù)間開)，以其為基礎(chǔ)進(jìn)行調(diào)整，可得到答案。結(jié)果如圖所示：5.20以內(nèi)共有10個奇數(shù)，去掉9和15還剩八個奇數(shù)，將這八個奇數(shù)填入圖中的○內(nèi)，(“3”已填好)，使得箭頭線連接的四數(shù)之和都相等。分析指導(dǎo)：要填的七個數(shù)是：1、5、7、11、13、17、19。這七個數(shù)之和是：1+5+7+11+13+17+19=73。最后一個○里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。因為兩頭一去掉，中間只有6個字，(73-1)÷3=24，也就是說，中間每組兩數(shù)之和是24。當(dāng)最后一個○內(nèi)填1時，則中間六個數(shù)為：5和19，7和17，11和13，結(jié)果如圖所示：171317131571119當(dāng)最后一個○內(nèi)填5時，則中間六個數(shù)的和為73-5=68，不能被3整除，不合，舍去。當(dāng)最后一個○內(nèi)填7時，則中間六個數(shù)的和為73-7=66，66÷3=22，22-19=3，不合，舍去。當(dāng)最后一個○內(nèi)填11時，則中間六個數(shù)之和為73-11=62，不能被3除，不合舍去。當(dāng)最后一個○內(nèi)填13時，則73-13=60，60÷3=20，20-17=3，超出可選范圍，不合，舍去。當(dāng)最后一個○內(nèi)填17時，則73-17=56，不能被3整除，不合，舍去。當(dāng)最后一個○內(nèi)填19時，則73-19=54，54÷3=18，18-17=1，18-13=5，18-11=7。51511119131775綜合上面分析，本題有兩種填法。6.將1～12這十二個數(shù)分別填入圖中的○內(nèi)，使每條線上五個數(shù)的和相等，并且兩個六邊形六個頂點(diǎn)上○內(nèi)的數(shù)的和也相等。分析指導(dǎo)：1.先考慮每條線上五個數(shù)和相等2.再考慮六個頂點(diǎn)上的數(shù)的和相等。1.1～12的和為：(12+1)×12÷2=78每行四個○內(nèi)的數(shù)之和應(yīng)該是78÷3=26,26÷2=13則為兩個○內(nèi)數(shù)之和，兩數(shù)之和為13的情況有：1和12，2和11，3和10，5和8，6和7如圖所示：2.為滿足六個頂點(diǎn)數(shù)字之和相等，其數(shù)字之和應(yīng)該是26+13=39。將右圖適當(dāng)調(diào)整可得。結(jié)果如圖所示。三、練習(xí)鞏固及拓展1.將4、5、6、7、8、9六個數(shù)，填在圖中的“○”里，使每條線上的三個數(shù)的和都是18。2.圖中有10個小三角形，4個大三角形，請把0～9填入小三角形內(nèi)，使4個大三角形內(nèi)的數(shù)字之和相等。3.把1-8個數(shù)分別填入圖中的○里，使四邊形每條邊上三個數(shù)的和都等于12.4.把10～19這十個數(shù)分別填入右圖中的○內(nèi)，使三角形每條邊上四個數(shù)的和相等。5.在下圖中各圓的空含部分填上1、2、4、6，使每個圓中4個數(shù)的和都是156.將數(shù)字1～7填入圖中圓錐的7個小圓圈內(nèi)，使三條線段上的3個數(shù)之和，兩圓周上3個數(shù)之和均相等。7.將1-7這七個數(shù)字填入圖中的○內(nèi)，使每條線上三個數(shù)的和相等。8.在圖中的幾個○內(nèi)各填一個數(shù)，使每一條直線上的三個數(shù)中，當(dāng)中的數(shù)是兩邊兩個數(shù)的平均數(shù)，現(xiàn)在已經(jīng)填好兩個數(shù)，則x=()9.將1、3、5、7…19，這十個數(shù)分別填入圖中的○內(nèi)，使每條線段上四個○內(nèi)數(shù)的和相等，每個三角形三個頂點(diǎn)上的數(shù)的和也相等。10.將1～8這八個數(shù)字分別填入圖中，使每個圓圈上五個數(shù)的和分別為20、21、22。第三講<練習(xí)鞏固及拓展>答案1.每條線三個數(shù)的和是18，三條線九個數(shù)的和18×3=54，但三個頂點(diǎn)上的數(shù)已重復(fù)計算，所以應(yīng)用54(4+5+6+7+8+9)的和，即54-39=15這個“15”就是三個頂點(diǎn)上的數(shù)的和.2.解：①中心那個特殊位置放“0”②0～9的和為：(9+0)×10÷2=4545÷3=15即每個三角形里的數(shù)的和為15。下列三組數(shù)的和為15：<a>1、6、8；<b>3、7、5；<c>2、4、93.解：1～8的和是：(8+1)×8÷2=36而四條邊的和則為12×4=48四角上的四個數(shù)之和應(yīng)為：48-36=1212=1+2+3+6 四角上要滿足填1、2、3、64.(提示：三個頂點(diǎn)上先填12、13、17這三個數(shù)。)5.已知三個圓中的兩數(shù)之和分別為8、12、10；而圓中的四數(shù)之和又為15。15-8=715-12=315-10=5為了不出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象取7=1+6、3=1+2、5=1+4、“1”是共有的數(shù)，填入中心位置。6.設(shè)頂點(diǎn)數(shù)為a，則有：2×(1+2+…+7)+a=56+a(7個圓圈的數(shù)字之和)。由于線段和圓圈的數(shù)字和相等，因而(56+a)應(yīng)能被5整除，則，a只能為4，56+4=6060÷5=12即三個數(shù)的和為12。12-4=8(兩數(shù)之和)兩數(shù)之和等于8的情形有：3+5，2+6，1+7。7.此題要